...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Fysik 2
 /   Harmonisk svängningsrörelse

Periodtid för vikt i vertikal fjäder

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Fredrik Vislander
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I den här lektionen ska vi ta fram en formel för periodtiden hos en vikt i vertikal fjäder som utför en periodisk svängningsrörelse. Vi har i en tidigare lektion sett att viktens position, eller elongation, kan uttryckas med sambandet  $y=Asin\left(\text{ω}t\right)$y=Asin(ωt).

Vi såg i samma lektion att vinkelhastigheten ω, kunde uttryckas i termer av fjäderkonstanten $k$k och massan $m$m hos vikten som  $\text{ω}=\sqrt{\frac{k}{m}}$ω=km .

Vi vet också sedan tidigare att vinkelhastigheten definieras som $\text{ω}=\frac{2\pi}{T}$ω=2πT 

Vi sätter dessa uttryck lika med varandra och löser ut periodtiden $T$T :

Periodtid för vikt på vertikal fjäder

 $\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{2\pi}{T}\Rightarrow$km =2πT  

 $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$T=2πmk    

Notera att amplituden inte ingår i uttrycket. Det spelar alltså ingen roll för periodtiden hur mycket vi drar vikten från jämviktsläget när vi startar rörelsen. En större massa ger dock en längre period, alltså en långsammare rörelse. Det kan vi förstå om vi tänker att en större massa har större tröghet, dvs. motstånd mot förändring av rörelsen. En fjäder med större fjäderkonstant ger däremot en snabbare rörelse. Det är också rimligt, en styvare fjäder ger större återförande kraft.

Exempel 1

En vikt som väger 200 g hängs i en fjäder med en fjäderkonstant på $12$12 N/m och sätts i vertikal svängningsrörelse. Vad blir periodtiden?

Lösning:

Vi skriver upp vad vi vet:

 $m=0,200\text{ }$m=0,200 kg 

 $k=12\text{ }$k=12 N/m 

Vi sätter in dessa värden i uttrycket för periodtiden:

 $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0,200}{12}}\approx0,811…\text{ }$T=2πmk =2π0,20012 0,811… s

Eftersom vi fått fjäderkonstanten med två värdesiffror så ger vi även svaret med två värdesiffror:

Svar: 

Periodtiden är  $T\approx0,81\text{ }$T0,81 s

Exempel 2

En vertikal fjäder belastas med en vikt på $120$120 g. Vikten dras ned en bit och släpps varvid vikten utför en harmonisk svängningsrörelse. Fjäderkonstanten är $22$22 N/m.

a) Vad är svängningens frekvens?

b) Vilken massa ska vikten ha om vi vill att periodtiden ska vara $0,9$0,9 s?

Lösning:

Vi skriver upp vad vi vet:

 $m=0,120$m=0,120 kg 

 $k=22\text{ }$k=22 N/m 

a)

Vi vet sedan tidigare att frekvens och periodtid har ett samband på formen  $f=\frac{1}{T}$ƒ =1T  så om vi kan beräkna periodtiden så kan vi beräkna frekvensen.
Vi använder formeln för periodtiden och sätter in våra värden.

 $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0,120}{22}}\approx0,46$T=2πmk =2π0,12022 0,46 s

Vi får en periodtid på ungefär $0,46$0,46 sekunder.

Vi sätter in detta i sambandet mellan frekvens och periodtid 

  $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,46}\approx2,2$ƒ =1T =10,46 2,2 Hz

och får att frekvensen blir ungefär $2,2$2,2 Hz.

b) 

Nu ska vi lista ut vilken massa en vikt ska ha för att periodtiden ska bli $0,9$0,9 sekunder.

Vi löser ut massan ur uttrycket för periodtid:

 $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\Rightarrow$T=2πmk    $\frac{T}{2\pi}=\sqrt{\frac{m}{k}}\Rightarrow$T2π =mk   $\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2=\frac{m}{k}\Rightarrow$(T2π )2=mk   $m=k\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2$m=k(T2π )2 

Vi sätter in periodtiden $0,9$0,9 sekunder

 $m=22\cdot\left(\frac{0,9}{2\pi}\right)^2\approx0,45\text{ }kg$m=22·(0,92π )20,45 kg 

och får att massan bör vara ungefär $0,45$0,45 kg, alltså $450$450 gram.

Vi ser att det verkar stämma med att en ökad massa ger en längre periodtid.

Svar: 

a) Frekvensen är  $f\approx2,2\text{ }$ƒ 2,2 Hz 
b) Massan är  $m=0,45$m=0,45 kg

Kommentarer

Adam Norberg

Jag är förvirrad.
är 2π /T=√(m/k) samma sak som T/2π=√(m/k)

    Sara Petrén Olauson

    Hej,

    Formeln för periodtiden $T$ vid fjädersvängning brukar skrivas som $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$, vilket kan skrivas om som $\frac{T}{2\pi }=\sqrt{\frac{m}{k}}$. Det första sambandet du skriver är däremot inte korrekt. Hittar du det här på sidan, så säg gärna till var, så att vi kan korrigera.

    Däremot kan en likhet skrivas om genom att man inverterar båda sidor (upphöjer båda sidor till $-1$). I detta fall innebär det att $\frac{T}{2\pi }=\sqrt{\frac{m}{k}}$ $\Rightarrow $ $\frac{2\pi }{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

    Hoppas att det blev tydligare nu!


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    En vikt som väger $150$150 g hängs i en fjäder med en fjäderkonstant på $8,3$8,3 N/m och sätts i vertikal svängningsrörelse. Vad blir periodtiden?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    En vertikal fjäder belastas med en vikt på $250$250 g. Vikten dras ned en bit och släpps varvid vikten utför en harmonisk svängningsrörelse. Fjäderkonstanten är $18$18 N/m. Beräkna svängningens frekvens.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    En vertikal fjäder belastas med en vikt med massan $m$m. Vikten dras ned en bit och släpps varvid vikten utför en harmonisk svängningsrörelse. Fjäderkonstanten är $14$14 N/m. Vilken massa ska vikten ha om vi vill att periodtiden ska vara $1,0$1,0 s? Svara i kg.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    En vikt med massan $0,175$0,175 kg hängs i en fjäder och sätts i vertikal svängningsrörelse. Grafen nedan visar elongationen som funktion av tiden. Bestäm fjäderns fjäderkonstant.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    En vikt med massan $400$400 g hängs i en vertikal fjäder. Fjädern sträcks då ut $6,0$6,0 cm och stabiliserar sig i ett nytt jämviktsläge. Vikten dras sedan ned ett par centimeter och släpps varvid vikten börjar utföra en harmonisk svängningsrörelse.

    Vad blir svängningstiden (dvs. periodtiden)?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se