Matematik 1

Mina Kursgrupper
MV Kurser

00:00

Dela

/ Problemlösning sannolikhetslära

Problemlösning sannolikhetslära

Name: Problemlösning sannolikhetslära - (Matte 1) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 3.82 (22 reviews)

Författare:Simon Rybrand

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

I denna lektion får du möjlighet att träna på att tillämpa det du lärt dig i tidigare lektioner om sannolikhet.

Vi samlar vi kort det vi gått igenom tidigare. Återvänt till de lektionerna för att få fördjupande förklaringar och tärna mer om det känns oklart.

Definition för sannolikhet

Värdet för sannolikheten för att en händelse A inträffar, motsvaras av kvoten

$P(A)=$P(A)= $\frac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Antal möjliga utfall}}$Antal gynnsamma utfallAntal möjliga utfall

Sannolikhet betecknas med $P$ och kan jämföras med engelskans probability eller franskans probabilité . $A$ är den händelse vi vill beräkna sannolikheten för.

Ett utfall eller en samling av olika utfall efter ett slumpförsök motsvarar det man kallar för en händelse. Sannolikheten för en händelse kan aldrig vara minder än noll eller större än ett, utan måste vara ett värde där emellan.

Sannolikheten $P$ för händelse $A$ motsvarar alltid ett värde

$0\le P\left(A\right)\le1$0≤P(A)≤1

Med hjälp av multiplikationsprincipen kan du beräkna en sannolikhet av en händelse som omfattar flera olika utfall.

Multiplikationsprincipen

Om sannolikheten för en första händelse är $P(A)$ och följande händelse är $P(B)$ så är sannolikheten för att de bägge sker i följd $P(A)\cdot P(B) $.

En händelse som motsvarar alla utfall som inte ingår i en given händelse kallas för komplementhändelse. Summan av en händelses sannolikhet och dess komplementhändelses sannolikhet är alltid $1$1.

Komplementhändelse

Om $A^c$A^c är komplementhändelse till händelse $A$A gäller att

$P\left(A\right)+P\left(A^c\right)=1$P(A)+P(A^c)=1

I ett träddiagram redovisas alla olika utfall för att förenkla beräkning av sannolikheter i flera steg. Det kommer till störst nytta då det finns olika grenar, vilket motsvarar olika möjliga vägar, att nå fram till det önskade resultatet.

Sannolikheten i ett träddiagram

Sannolikheten för en händelse fås i ett träddiagram genom att summera de gynnsamma grenarnas sannolikheter.

Tänk på att en händelse kan vara antigen beroende eller oberoende av tidigare utfall. Beroende händelser kan komma att påverka sannolikheten för de olika utfallen som följer på varandra.

Exempel i videon

Tre kort har dragits där två ligger uppåt och visar att de är damkort. Vilken är sannolikheten att även det sista kortet är en dam?
Per ger sina klasskamrater en chans att vinna pengar. Han säger:
”Spela mitt spel! Satsa en krona och kasta sedan två sexsidiga tärningar. Högst tre prickar sammanlagt ger 10 kronor tillbaka”
a) Vad är sannolikheten att få högst tre prickar när man kastar två tärningar?
b) Vem tjänar på spelet? Klasskamraterna eller Per?
Olle har fått chansen att vinna två kaffepaket på ett lyckohjul. Han får två val: 1. Snurra tre gånger och få minst två orange. 2. Snurra fyra gånger och få minst tre av samma färg. Vilket alternativ ska han välja för att ha störst vinstchans?

Nästa lektion:

Kommentarer

Lena Bergström

2021-04-21

Hej!
Jag undrar om sista övningen på den här sidan. Det står: ”Vad är chansen att få två stjärnträffar träffar på fyra försök?” Jag hade räknat på chansen att få EXAKT två stjärnträffar, men jag förstår av svaret att man skulle räkna på chansen att få MINST två stjärnträffar. Om det inte står ”exakt” bör jag då förutsätta att det är ”minst” som menas?
Jag undrar även om det finns nån allmän regel för när man ska ange sannolikhet, som bråktal, procenttal eller decimaltal om det inte står specifikt angivet hur svaret ska skrivas. I fråga 1 och 3 hade jag svarat i decimalform men det skulle vara bråkform, och i fråga 4 svarade jag med bråkform men då skulle det vara decimalform.
Tack på förhand!

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2021-05-12

Hej Lena,

du kan välja att svara i procent-, bråk- eller decimalform om inget särskilt anges. Jag ber om ursäkt för att dessa korrekta varianter saknats i systemet. Jag lägger till dem.

Däremot kan det vara bra att ha med sig att om man behöver avrunda kan det varar bar att ange i bråkform för att få exakt svar. Tänk då på att alltid svara i förenklad bråkform.

När det gäller din fråga om tolkning kring ”minst” eller ”exakt” så finns där möjlighet för olika tolkningar i vardagen. Det som menas förtydligas kanske med en enkel fråga. Men det är dumt när det är en uppgift här. Så jag försöker förtydliga den med.
Tack för att du hör av dig så att vi kan bli bättre!

Ciro Silva

2019-09-29

Förklaringen till sista uppgiften i övningarna verkar behöva en liten uppdatering då i övningen talas det om att träffa stjärnan två gånger och i förklaringarna om att träffa blå färg.

Tack för fantastiska videos och förklaringar! Ni är super bra!

David Admin (Moderator)

2019-10-15

Hej Ciro!
Tack för ditt påpekande. Förklaringen är nu uppdaterad.

Stina Lindahl

2017-04-12

Såg en tidigare kommentar och förstår nu varför han vinner, tack för en bra sida!

Stina Lindahl

2017-04-12

Hej
Jag förstår inte hur det är Per som kan tjäna på spelet? Sedan säger ni också att 1000-830=870 lite förvirrande!
Mvh Stina

Josefine Rosmark

2017-03-14

Hur räknar man ut vissa uppgifter utan miniräknare med alla decimaler? ex. 10/64? kanske jag som måste börja från början o lära mig på nytt att ställa upp dessa tal 😛 var ett tag sen skolgången.. men undra, eller om de är så att de inte kommer krävas på högskoleprovet att räkna ut såna tal som krävs miniräknare.
Mvh Josefine

Simon Rybrand (Moderator)

2017-03-15

Där är det ju bråkräkning och att förkorta bråktal som du kan titta mera på. Där kan du exempelvis förkorta på följande vis
$\frac{10}{64}=\frac{10/2}{64/2}=\frac{5}{32}$
I det här fallet blir det inte jättemycket enklare men om du exempelvis har följande så blir det enklare:
$\frac{21}{28}=\frac{21/7}{28/7}=\frac{3}{4}=0,75$

Fredrik Hellberg

2017-03-08

Du råkar säga 870kr när du skall säga 170kr i slutet av exemplet med per och hans tärningar hence delvis förvirringen bland kommentarerna.

Mvh Fredrik

Simon Rybrand (Moderator)

2017-03-10

Tack för kommentaren här, vi får kika på det!

Pelle

2015-10-14

Hej
Tack för en bra sida, Jag har en fråga om uppgift 5 på ”testa dina kunskaper”.
är det inte så att i förklaringen finns inte alternativet:
inte blå, blå, blå med? (alltså 5/6*1/6*1/6)
Ska det vara så eller har jag missat något?
Med vänlig hälsning Pelle

Simon Rybrand (Moderator)

2015-10-14

Hej, ja det bråket missades i det första steget i den uträkningen, det är korrigerat nu. Tack för att du kommenterade detta!

Johanna Olofsson

2015-05-07

Fattar absolut ingenting i det första exemplet.

0.083x1000x10=830kr som hans kompisar får och då blir det ju endast 170 kr KVAR till Per så tänker jag. Har jag missat nått steg som du förväntar dig att alla bara ska kunna?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-05-07

Hej
Nej du verkar inte ha missat något steg utan tänker helt rätt.
Klasskamraterna har betalat 1000 kronor för de 1000 försöken och de får endast tillbaka 830 kr vilket gör att de förlorar 170 kr och Per går 170 kr plus (han har ju inte betalat något).
Dvs av de satsade 1000 kronorna så får klasskamraterna bara tillbaka 830 och förlorar 170.
Säg till om det fortfarande är otydligt så fortsätter vi diskussionen.

Gabriel Cappelen Holst

2015-05-07

Bra video! Bara en grej jag inte hängde me på det är i exemplet med Olle och hans chans på det där hjulet. Jag förstår inte hur man ska tänka där när man delar upp det i 1/4 och 3/4 osv. kan man få en liten förklaring på det så vore jag tacksam!:)

Simon Rybrand (Moderator)

2015-05-07

Hej
Eftersom att 1/4 av hjulet är orange och 3/4 är inte orange så är det alltså större chans att inte få orange. Så istället för att få med alla alternativ koncentrerar vi oss på det vi vill ha och det vi inte vill ha.
Du kan tänka att det orangea området fyller upp 1/4 av hjulet och det område som inte är orange fyller upp 3/4.
Går detta att förstå? Säg till annars så fortsätter vi diskussionen.

Dimitrios Sria

2015-02-26

Kan du hjälpa mig med detta?
I spelet Lotto ska man välja 7 nummer av 35 möjliga. Vid dragningen dras 7 nummer och 4 ”tilläggsnummer” utan återläggning. Varje rad kostar 3 kr.
Vinst utbetalas enligt följande plan:7 rätt=35%,6+1=12%,6=7%,5=12%,4=34%
a)Hur stor är sannolikheten att det först dragna numret finns på din rad?
b)Hur stor är sannolikheten att de tre först dragna numren finns på din rad?
c)Tänk dig att de fem först dragna numren finns på din rad. Hur stor är
sannolikheten att även de två sista numren finns på din rad?
d)Hur stor sannolikhet är det att en slumpvis vald vinstrad ger mer än 1000 kr?

Lars

2015-01-02

Hej.

I den sista uppgiften med lyckohjulet så finns det väl ytterligare en chans till vinst?

Om du får en annan färg på snurr två, då kan du ju få den färgen två gånger till, ditt träd utgår väl bara från att den första färgen ska fås igen?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-01-05

Hej, ja det stämmer. Vi skall göra så att vi formulerar om den uppgiften något så att den blir tydligare.

Pedro Veenekamp

2014-11-16

Jag vill förresten uppmärksamma vilket bra jobb ni gör. Jag är imponerad! Webbsidan blev ännu bättre med den sista ”uppdatering”. Tack så jättemycket!

Simon Rybrand (Moderator)

2014-11-16

Hej
Kul att du gillar det, vi jobbar hårt varje dag för att göra den ännu bättre för studenter att lära sig matematik så det är härligt att höra vi är på rätt väg!

Pedro Veenekamp

2014-11-14

Problem med sannolikhet tillämpningar är ju att situationen måste beskrivas på detaljerade sätt … utan några slarviga fel. Förutom kommentarer som redan finns ovanför undrar jag om den första meningen i den första frågan: ”Karl spelar med en kompis.” Jag skulle lätt kunna tro att kompisen har också tre kort framför sig … och då ändras kalkyleringarna. Man spelar inte med given (the dealer) trots att han deltar i spelet. Om den andra spelar med då blir 46 kort kvar och inte 49. En annan sak som kanske inte tillhör just här: Jag behövde söka hur många kort finns i en kortlek för att jag visste inte det.

Simon Rybrand (Moderator)

2014-11-14

Hej
Ja det behövs nog förtydligas i den frågeställningen så att man inte missuppfattar vad frågan går ut på.
Tack för att du kommenterade och tyckte till om detta.

kalander

2014-11-04

Vänta lite Martin hur förenklar du 1/16 + 3/64 + 3/64 till 10/64??? Vart kommer tian ifrån?

antwatch

2013-02-12

Hej,

I 21 finns det tvåor, treor, fyror, femmor, sexor och ess som alla i olika kombinationer kan ge 21 eftersom man kan dra mer än ett kort. Om vi antar att man bara spelar med en lek och att detta är första given så blir det rätt många olika möjligheter i trädet som kan ge 21 eftersom bara en 2a och en 6a är spelade. men sannolikheten borde bli högre än i det angivna svaret på fråga 1. Men om man skriver om frågan så att den istället frågar om sannolikheten att få 21 på nästa kort så borde det bli rätt.

Sackeus

2014-01-11

Jag tänkte lite på samma sätt, att det måste finnas en stor mängd möjligheter om man ska vänd på flera av korten för att nå upp till 21*. Men jag orkade inte räkna ut sannolikheten för allt det så jag chansa – och fick rätt! 0,25 % chans för det 🙂

*Jag vet mycket lite om kortspel och liknande och därför tycker jag sådana här exempel blir gåtfulla för mig…. Men jag tycker att det är bra matematiska förklaringar!

Littleprincess

2012-10-03

Om dom kastar 100 kast så får ju Per 100kronor. Han får ju den där kronan även om eleven vinner. Så han går ju bara back nio kronor varje gång en elev vinner.
Och eleverna tjänar ju bara 9 kronor. Dom har ju redan betalat en krona och den får dom ju inte tillbaka plus vinsten eller har jag fel?

Jag tänkte så här. Att om jag spelar på nått spel så satsar man kanske 100 kronor med chansen att vinna 1400. Men vinner jag så får jag ju 1400kronor men har ju bara gått plus 1300 eftersom jag betalade 100kronor för att spela.

Simon Rybrand (Moderator)

2012-10-06

Hej
Tack för en bra och insiktsfull kommentar. Vi har uppdaterat videon så att resonemanget förhoppningsvis blir tydligare och mer korrekt.

juliastenius

2012-02-27

Är inte sannolikheten för Per 91,7% (100-8,3)?

Simon Rybrand (Moderator)

2012-02-28

Hej Julia, ja det var ett räknefel i vår video. Videon blir uppdaterad under dagen så att den sannolikhetsberäkningen är helt korrekt.

Endast Premium-användare kan kommentera.

Träna mer

E
0/5
C
0/13
A
0/4

Totalpoäng

0/22

e-uppgifter (3)

1.
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Uno har två sexsidiga tärningar och undrar hur stor chansen är att få två sexor på ett slag. Beräkna sannolikheten.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\frac{1}{36}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( $\frac{1}{36}$ )

Rättad
Rättar...
2.
(2/0/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K

I en burk ligger det $5$ 5 svarta bollar och $4$ 4 vita bollar. Åsa sticker ner handen i burken och drar en svart boll. Burken är svartmålad med liten öppning – så det går inte att se färgerna på bollarna!

Hur stor är sannolikheten att hon får en svart boll till när hon drar nästa boll?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $0,5$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_PL Godtagbar ansat tex anger att den nu är åtta möjliga utfall eller att det finns fyra svarta kvar.
+1 e_P Korrekt svar. ( $0,5$ )

Rättad
Rättar...
3.
(2/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K

Du spelar Yatzy. Efter två kast har du lyckats få i hop fyra sexor och en tvåa.
Vilken är den största sannolikheten för att du kommer få Yatzy, alltså att alla fem tärningarna är lika efter tre kast?
Enligt spelets regler väljer du fritt varje kast vilka av dina fem tärningar du vill kasta om eller inte.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\frac{1}{6}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar... ( $\frac{1}{6}$ )
+1 e_R ..med motivering.

Rättad
Rättar...

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

c-uppgifter (6)

4. Premium
(0/3/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R 1

K

Klara spelar kortspelet $21$ 21 med en kompis. De använder en kortlek som har $52$ 52 kort.
Hon har nu $3$ 3 kort framför sig; en $2$ 2:a en $7$ 7:a och en $6$ 6:a.

Klara ska nu dra ytterligare ett kort ur kortleken.

Hur stor är sannolikheten att hon får summan $21$ 21 tillsammans med de tre tidigare korten?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\frac{3}{49}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansat tex bestämmer att hon behöver en sexa för att få summan $21$ .
+1 c_R Kommer fram till att det finns tre sexor kvar.
+1 c_P Redovisning med korrekt svar. ( $\frac{3}{49}$ )

Rättad
Rättar...
5. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P

PL 1

M

R 1

K

Du har dragit fyra kort i en kortlek och fått två par.

Vad är sannolikheten för att du får en kåk om du drar ytterligare ett kort?

Kåk kallas den hand då du har fem kort vara av två kort är av en valör och tre av en annan. Två par kallas det när två kort är av en, samma, valör och två av en annan valör.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\frac{1}{12}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansats tex bestämmer att det finns frya gynnsamma utfall.
+1 c_R Redovisad lösning med korrekt svar. ( $\frac{1}{12}$ )

Rättad
Rättar...
6. Premium
(0/3/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K 1

Bobo har busat med sin mormor och pillat av alla etiketter på hennes konservburkar.
Nu ska mormor göra köttfärssås och behöver två burkar med krossade tomater.
Hon vet att hon hade $4$ 4 burkar med krossade tomater, $3$ 3 burkar med champinjoner, $2$ 2 burkar med ananas och $2$ 2burkar med vita bönor.

Vad är sannolikheten att hon får två burkar med krossade tomater om hon öppnar två slumpmässigt valda burkar?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\frac{6}{55}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansats tex bestämmer sannolikheten föra tt första burken som öppnas är en tomatburk.
+1 c_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $11\%$ )
+1 c_K Lösningen kommuniceras på en nivå som motsvarar betygskriterier för C

Rättad
Rättar...
7. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K

Vilken är sannolikheten att inte få något spaderkort när $4$ 4 stycken kort slumpmässigt dras ur en kortlek med $52$ 52 kort? Det finns totalt $13$ 13 spaderkort i kortleken.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $30,4\ \%$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_P Redovisning med korrekt svar. ( $30,4\%$ )
+1 c_PL Godtagbar ansats tex visar förståelse för att antalet möjliga kort minskar hela tiden.

Rättad
Rättar...
8. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P

PL

M

R 1

K

På en julbasar kan man snurra på ett lyckohjul, som visas i bilden nedan.

Viken av händelserna H nedan har sannolikheten $P(H)=0,25$ P(H)=0,25 .
- H= {En stjärna}
- H= {Ett jämnt tal}
- H= {Ett rött fält och en stjärna}
- H= {Ett grönt fält eller en stjärna}
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_R Tydligt resonemang med korrekt svar.
- Rättad
Rättar...
9. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P

PL 2

M

R

K

Brolle och Lina hoppas på att få tre barn.
Hur stor är chansen att de får tre barn av samma kön, d.v.s. $3$ 3 flickor eller $3$ 3 pojkar?

Vi förutsätter här att det är lika stor chans att få en pojke som en flicka.
Ange svaret i procent. Rita gärna ett träddiagram för att lättare se resultatet.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $25\ \%$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansats tex beräknar sannolikheten för att få tre barn av ett av könen.
+1 c_PL Redovisning med korrekt svar. ( $25\ \%$ )

Rättad
Rättar...

a-uppgifter (2)

10. Premium
(0/0/2)
E C A

B

P

PL

M

R 1

K 1

Din morfar har tre små burkar. Han säger att han har lagt små stenar under två av burkarna och en tiokrona under den tredje burken.

Du får först välja en burk som han inte kommer lyfta på. Sedan lyfter morfar, som vet vad som ligger under varje burk, på en av de andra två burkarna, där det visar sig ligga en sten.

Han säger att du nu får chansen att ändra ditt val – d.v.s. antingen behålla den burk du valde från början, eller byta till den andra burken.

Vad ska du välja för att få störst sannolikhet att få tiokronan?
- Sannolikheten är lika stor oavsett om du byter eller inte.
- Sannolikheten minskar om du byter.
- Sannolikheten ökar om du byter.
- Det går överhuvudtaget inte att räkna på sannolikhet här.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 a_R Redovisning med korrekt svar. ( Sannolikheten ökar om du byter. )
- +1 a_K Lösningen kommuniceras på en nivå som motsvarar betygskriterierna för nivå A.
- Rättad
Rättar...
11. Premium
(0/0/2)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K

Kusin Vitamin har gjort ett lyckohjul.

Vad är chansen att få minst två stjärnträffar träffar på fyra försök?

Ange exakt svar i bråkform.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\frac{19}{144}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_PL Godtagbar ansat tex ritar ett korrekt träddiagramm eller anger alla möjliga utfall.
+1 a_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $\frac{19}{144}$ )

Rättad
Rättar...

Nästa lektion:

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

Eddler AB
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
info@eddler.se

Säker SSL-server

Vad är detta?

Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)

Förhandsvisning Latex:

Latexkod:

Matematik 1

Välj kurs

KURSER /

Matematik 1

/ Problemlösning sannolikhetslära

Problemlösning sannolikhetslära

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Definition för sannolikhet

Multiplikationsprincipen

Komplementhändelse

Sannolikheten i ett träddiagram

Exempel i videon

Kommentarer

Lena Bergström

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Ciro Silva

David Admin (Moderator)

Stina Lindahl

Stina Lindahl

Josefine Rosmark

Simon Rybrand (Moderator)

Fredrik Hellberg

Simon Rybrand (Moderator)

Pelle

Simon Rybrand (Moderator)

Johanna Olofsson

Simon Rybrand (Moderator)

Gabriel Cappelen Holst

Simon Rybrand (Moderator)

Dimitrios Sria

Lars

Simon Rybrand (Moderator)

Pedro Veenekamp

Simon Rybrand (Moderator)

Pedro Veenekamp

Simon Rybrand (Moderator)

kalander

antwatch

Sackeus

Littleprincess

Simon Rybrand (Moderator)

juliastenius

Simon Rybrand (Moderator)

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...