Proportionalitet

I den här lektionen lär du dig vad proportionalitet är och hur du kan se att ett samband är proportionellt.

Vi börjar med ett exempel där mängden godis är $x$x hg och kostnaden för godiset $y$y kr. Om du exempelvis idag köper dubbelt så mycket godis som i går så kommer även priset för ditt godisinköp att dubbleras, eftersom att då $x$x dubbleras, så kommer även $y$ att dubbleras.

Om du i stället köper en tredjedel så mycket godis kommer inköpet landa på en tredjedel av kostnaden, eftersom att så $x$x blir tre gånger så litet, blir även $y$y bli tre gånger så litet.

I exemplet med kostnaden för godiset ovan gäller även en annan av proportionalitetens regler, nämligen att det turligt nog inte finns någon fast kostnad, en så kallad startavgift, för att köpa godis. Du betalar endast för hur mycket godis som du köper och kostnaden är en multipel av mängden godis. Ett sådant här samband kallas för ett proportionellt samband.

Nedan följer ett antal exempel på där proportionella samband beskrivs med text och med grafer.

Det är ganska lätt att känna igen en proportionell linjär funktion. Två kriterier ska uppfyllas.

Så genom att kolla dessa två kriterier kan man bestämma om den linjära funktionen är proportionell. 

Genom att undersöka om funktionen kan skrivas på formen $y=kx$y=kx kan man avgöra om den har ett proportionellt samband mellan sin oberoende och beroende variabel.

Bra att känna till är att variabeln $x$x i detta sammanhang kan motsvarar vilken funktion som helst. Det måste alltså inte vara en linjära funktion utan ett proportionellt samband kan lika gärna vara ett samband mellan en konstant och en potensfunktion. Exempelvis kommer du i fysiken på gymnasiet stöta på detta i samband med så kallad kinetisk energi och beräkningar av krafter.

Den kinetiska energin $E_k$E_k för en punktformig kropp med massan $m$m och hastigheten $v$v är  $E_k=$E_k=$\frac{mv^2}{2}$mv²2 .
Energin är alltså proportionell mot hastigheten i kvadrat, det vill säga $v^2$v² och proportionalitetskonstanten är här massan delat på två, $\frac{m}{2}$m2 .

Och förenklat kan vi säga att kraftens storlek motsvarar

$F=$F= $\frac{k\cdot q_1\cdot q2}{r^2}$k·q₁·q2r²  

där $q_1$q₁ och $q_2$q₂ är partiklarnas laddningar, $r$r avståndet mellan partiklarna och $k$k är det som kallas Coulombs konstant.

Man säger att kraften är omvänt proportionell mot avståndet i kvadrat, det vill säga $r^2$r² och proportionalitetskonstanten är här Columbuskonstant multiplicerat mer produkten av partiklarna laddning.

Men i denna kursen kommer vi framför allt jobba med proportionalitet med linjära samband.

• I en godisaffär betalar du 5 kr per hg godis. Beskriv denna proportionalitet med en formel och en graf.
• Vilka av följande 5 grafer visar en proportionalitet?
  
• Att hyra en festlokal i 4 timmar kostar 2500 kr. Hyran för 8 timmar är 4000 kr. Är hyran proportionell mot antalet timmar?