Punkter, koordinatsystem och koordinataxlar - Högstadiet

Ett koordinatsystem består av två stycken tallinjer som placerats vinkelrätt mot varandra. Tallinjerna kallas i detta sammanhang för koordinataxlar. Den horisontellt placerade tallinjen motsvarar vad man kallar $x$x -axeln och den lodräta $y$y-axeln.

Tallinjen för $x$x -axeln pekar vanligt vis åt höger och $y$y-axeln uppåt.

Den punkt som har både $x$x -koordinaten och $y$y-koordinaten noll kallas för origo och återfinns där $x$x -axeln skär $y$y-axeln. Denna punkt skrivs som $(0,0)$.

För att lättare kunna hitta och beskriva olika punkter i koordinatsystemet delar man upp det i så kallade kvadranter. 

I första kvadranten är värdena för både $x$x- och $y$y-koordinaten positiva.
I andra kvadranten är $x$x-koordinaten negativ, medan $y$y -koordinaten positiv.
I tredje kvadranten är värdena för både $x$x- och $y$y-koordinaten negativa.
I fjärde kvadranten är $x$x-koordinaten positiv, medan $y$y-koordinaten negativ.

I stället för att vara begränsad till punkter på en linje, ger denna kombination ett oändliga antal punkter i ett plan. Koordinatsystemet möjliggör beräkningar inte bara i en dimension, utan två. Något förenklat kan du tänka dig skillnaden från att endast kunnat rita på ett snöre nu ges möjlighet att också rita på ett papper. Möjligheterna för mer komplexa avbildningar ökar.

Koordinataxlar kan vid matematiskt tillämpning motsvarar olika värden och då ges andra variabler. Exempelvis är det vanligt att $x$x -axeln tilldelas variabeln $t$ och motsvarar då tid, medan $y$y -axeln betecknas $s$ och beskriver då en sträcka .

Koordinatsystem används inom mängder av olika områden. Alltifrån att visualisera statistik och ekonomiska förlopp till att rita ut grafer till funktioner. Det är därför mycket viktigt att känna till grunderna till koordinatsystem, koordinater, hur man läser av koordinatsystem och hur man markerar ut punkter.

För att kunna ange en specifik punkt i ett koordinatsystem, ges var punkt en så kallad $x$x-koordinat och en $y$y-koordinat. Dessa bestäms av punktens placering i förhållande till $x$x-axeln och $y$y-axeln.

För att beteckna en punkt matematiskt, använder man sig av $x$x -värdet och $y$y-värdet med kommatecken emellan, inskrivet i en parentes, så här $(x, y)$. 

Man skriver alltid $x$x -koordinaten först, följt av kommatecknet och därefter $y$y-värdet. Allt inom en parentes. Ett tips för att minnas är att koordinaterna kommer i bokstavsordning, x,y.

Genom att dra en rät linjen från punkten lodrätt ner mot $x$x -axeln kan man läsa av $x$x-koordinaten för punkten. 

För att läsa av $y$y-koordinaten drar vi en horisontell rät linjen från punkten mot $y$y-axeln och avläser $y$y-värdet.

Ju längre åt höger från $y$y-axeln antar punkten större och större positiva värden för $x$x . Till vänster om $y$y-axeln motsvaras $x$x-koordinaten av negativa värden. 

Punkter ovanför $x$x -axeln har positiva  $y$y -koordinater, medan de är negativa och punkten befinner sig under $x$x -axeln.

För att komma från origo till punkten $\left(1,\text{ }3\right)$(1, 3) måste vi flytta oss ett steg i positivt $x$x -led och tre steg i positivt $y$y -led. Det är från denna rörelse från origo punktens koordinat härstammar.

Om koordinaten inte är ett heltal använd i stället ett semikolon som skiljetecken mellan koordinaterna. Detta för att det inte ska uppstå några tolkningsfel. Exempelvis är det omöjligt att läsa av punkten $\left(3,2,5\right)$(3,2,5) entydigt. Är $x$x-värdet $3$3 eller $3,5$3,5?

För att undvika detta skriver man då i stället  $\left(3;\text{ }2,5\right)$(3; 2,5) vilket ger att koordinaternas värde är $x=3$x=3 och $y=2,5$y=2,5.

En del väljer att alltid använda semikolonet, men i svensklitteratur är det ganska vanligt att välja kommatecknet vi heltals koordinater.

• Rita ut punkterna $(2, 3), (-2, 2), (-1, -3), (0,5; 0,5)$ i ett koordinatsystem.
• Beräkna arean för rektangeln som bildas om punkterna  $ (-2,4), \,(1,-2), \,(-2,-2), \,(1,4) $ binds samman med linjer till en rektangel.