...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Fysik 2
 /   Fält

Rörelse i fält

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Fredrik Vislander
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

OBS! LEKTIONEN ÄR UNDER UPPBYGGNAD!

Vi ska nu börja titta på rörelse i homogena fält. I synnerhet ska vi jämföra rörelse i gravitationsfält med rörelse i elektriska fält. Vi har ju tidigare i kursen gått igenom kaströrelse i jordens tyngdkraftfält, dels fritt fall då objektet inte har någon utgångshastighet men även i två dimensioner dvs. horisontella och sneda kast. Vi kan nu se på dessa rörelser i ett lite nytt ljus om vi applicerar fältmodellen på dem.

Rörelserna sker ju i ett gravitationsfält och eftersom de sker i närheten av jordytan så har vi använt sambandet $F_g=mg$Fg=mg för att beskriva hur tyngdkraften påverkar objekten. Och vi vet nu att vi kan tolka tyngdaccelerationen $g$g som gravitationsfältets styrka. Vi börjar med att titta på fritt fall, dvs. situationen då en massa släpps utan någon utgångshastighet. Vi ser denna situation illustrerad till vänster i figuren ovan.

Eftersom massa påverkas av tyngdkrafter så säger ju Newtons andra lag att massan kommer accelerera enligt $a=\frac{F_g}{m}$a=Fgm . Och vi vet ju att om vi släpper ett objekt ovanför markytan så kommer det att falla med en ökande hastighet mot marken, dvs. en accelererad rörelse. Vi noterar nu också att accelerationens storlek just är tyngdaccelerationen $g$g.

Vi tittar nu på ett homogent elektriskt fält, dvs. ett fält mellan två laddade plattor med den positiva plattan överst. Detta är illustrerat till höger i figuren ovan. Placerar vi en positiv elementarladdning $q$q i fältet så kommer den att påverkas av en elektrisk kraft $F_e=qE$Fe=qE riktad nedåt.

Vad blir accelerationen för laddningen? Vi använder Newtons andra lag igen men nu är kraften den elektriska kraften på laddningen  $F_e=qE$Fe=qE  istället för tyngdkraften $F_g=mg$Fg=mg. Elektriska fält kan alltså användas för att accelerera elektriska laddningar!

”Fritt fall” i homogent gravitationsfält och homogent elektriskt fält

Så om vi placerar den positiva elementarladdningen vid den positiva plattan så får vi en situation som är mycket lik den vid fritt fall i tyngdkraftfältet. Laddningen kommer precis som massan att accelerera ”nedåt”, dvs. mot den negativa plattan.

När vi arbetat med fritt fall tidigare har vi även tittat på rörelsen ur ett energiperspektiv. Dvs. att en massa har en energi p.g.a. sitt läge i tyngdkraftfältet $E_p=mgh$Ep=mgh, den s.k. potentiella energin eller lägesenergin där $h$h är höjden från nollnivån, dvs. markytan i det här fallet. När objektet sedan släpps så kommer det att börja accelerera och därmed succesivt omvandla den potentiella energin till rörelseenergi $E_k=\frac{mv^2}{2}$Ek=mv22 . Enligt energiprincipen försvinner ju ingen energi utan dessa två måste vara lika stora och vi kan ställa upp $mgh=\frac{mv^2}{2}$mgh=mv22 . Ur detta kan vi t.ex. lösa ut hastigheten som objektet har efter att fallit sträckan $h$h som $v=\sqrt{2gh}$v=2gh.

Den potentiella energin $E_p=mg\cdot h$Ep=mg·h , kan man se som det arbete som krävs för att lyfta objektet med massan $m$m mot fältet en sträcka $h$h. Vi vet ju att arbete ges av $W=F\cdot s$W=F·s (där $s$s är sträckan) eller omskrivet för den här situationen $W=F_g\cdot h=mg\cdot h$W=Fg·h=mg·h

På samma sätt kan man prata om den potentiella energin som en laddning har då man lyfter den mot det elektriska fältet mellan två laddade plattor, dvs.  $W=F_e\cdot d=qE\cdot d$W=Fe·d=qE·d där $d$d är avståndet mellan plattorna.

Vi ser återigen hur lika situationerna med homogena gravitationsfält och homogena elektriska fält är varandra. Vi ska dock komma ihåg att en viktig skillnad mellan dessa typer av fält är att kraften som laddningar påverkas av kan vara både attraherande och repellerande. 

Ställer vi upp sambandet mellan potentiell och kinetisk energi för den här situationen får vi nu: $qEd=\frac{mv^2}{2}$qEd=mv22 . Men vi vet också från Fysik 1 att vi kan uttrycka spänningen mellan två laddade plattor som $U=Ed$U=Ed vilket gör att sambandet kan skrivas $qU=\frac{mv^2}{2}$qU=mv22 . Löser vi ut hastigheten ur detta får vi att den ges av $v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$v=2qUm . Notera att detta då är hastigheten då laddningen når den negativa plattan.

Exempel 1

Vi har ett homogent elektriskt fält enligt figuren. Mellan plattorna ligger en spänning på $1,0$1,0 kV. En proton släpps vid den positiva plattan. Vad har den för hastighet då den träffar den negativa plattan?

Lösning

Laddningen kommer ju att påverkas av en elektrisk kraft riktad mot den negativa plattan och kommer därför att accelerera nedåt i figuren. Vi har ju tagit fram ett samband för hastigheten då en laddning $q$q rör sig över spänningen $U$U som såg ut på följande sätt:

 $v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$v=2qUm  

Vi sätter in värden och beräknar…

 $v=\sqrt{\frac{2\cdot1,602\cdot10^{-19}\cdot1,0\cdot10^3}{1,67\cdot10^{-27}}}\approx4,4\cdot10^5$v=2·1,602·1019·1,0·1031,67·1027 4,4·105 m/s 

Svar

Vi får att protonens hastighet är ca  $4,4\cdot10^5$4,4·105 m/s när den når den negativa plattan.

”Horisontellt kast” i homogent gravitationsfält och homogent elektriskt fält

Vi ska nu se om vi kan hitta likheter mellan horisontella kast i homogena gravitationsfält och vad som händer då en elektrisk laddning kommer in i ett elektriskt fält med en horisontell starthastighet.

Horisontella kast är ju kaströrelser där objektet har en starthastighet i horisontell riktning, dvs. det vi brukar beteckna som $x$x-led. Observera att det fortfarande bara är en enda kraft som verkar på objektet under rörelsen och det är tyngdkraften som hela tiden är riktad rakt nedåt, i vad vi brukar kalla $y$y-led. Detta resulterar i att objektet färdas i en kastbana vilket illustreras till vänster i figuren ovan. Hastigheten i $x$x-led är hela tiden konstant eftersom inga krafter verkar i den riktningen medan hastigheten i $y$y-led ökar pga. att tyngdkraften accelererar objektet nedåt. Detta gjorde att vi behövde komposantuppdela rörelsen i $x$x– och $y$y-led när vi arbetade med problem av den här typen.

Om vi nu tittar på ett homogent elektriskt fält (till höger i figuren ovan) där vi har en positiv elementarladdning som kommer in vinkelrätt mot fältlinjerna så har vi ju en situation som liknar den vi nyss tittade på med objektet i gravitationsfältet. Dvs. laddningen har en horisontell hastighet när den kommer in i fältet som sedan är konstant och medan den befinner sig i fältet så verkar en kraft rakt nedåt i figuren och accelererar laddningen mot den negativa plattan. Laddningen kommer därför precis som objektet att röra sig i en kastbana i det elektriska fältet.

Vi inser kanske nu att eftersom vi kan skriva den elektriska fältstyrkan uttryckt i spänningen $E=\frac{U}{d}$E=Ud  så kan vi ju även skriva den elektriska kraften på laddningen uttryckt i spänningen mellan plattorna,  $F_e=qE=\frac{qU}{d}$Fe=qE=qUd . Och eftersom vi kan styra spänningen så kan vi, till skillnad från tyngdkraften, styra kraften på laddningarna som befinner sig i fältet och därmed styra laddningarna.

Exempel 2

En proton kommer in i ett elektriskt fält med en hastighet $v_x=1,5\cdot10^6$vx=1,5·106  m/s vinkelrät mot fältlinjerna enligt figuren. Avståndet mellan plattorna är $5,0$5,0  cm och fältet är $7,0$7,0 cm långt. Över plattorna ligger en spänning på $30$30 V.

a) Hur stor är laddningens hastighet då den lämnar fältet?

b) Hur mycket avlänkas protonen i y-led?

c) Hur stor är avlänkningsvinkeln?

Lösning

a)

Det första vi ska inse är att i likhet med fallet med horisontella kast så verkar en konstant elektrisk kraft på laddningen i y-led, dvs. nedåt i figuren. Vi ser att hastigheten kommer vara riktad snett nedåt höger då laddningen lämnar fältet. Vi behöver komposantuppdela hastigheten i en vertikal och en horisontell komposant:

Den horisontella hastigheten $v_x$vx är ju konstant och vi kan därför använda hastighetsformeln för icke-accelererad rörelse för att beräkna tiden som laddningen befinner sig i fältet, dvs. 

 $t=\frac{s}{v}=\frac{L}{v_x}=\frac{0,070}{1,5\cdot10^6}\approx4,7\cdot10^{-8}$t=sv =Lvx =0,0701,5·106 4,7·108 s

I y-led så har ju laddningen accelererat från en utgångshastighet på $0$0 m/s till hastigheten $v_y$vy. Den kan vi beräkna med hastighetsformeln för likformigt accelererad rörelse. Men vad är accelerationen i y-led? Jo, den tog vi ju fram tidigare: $a_y=\frac{qE}{m}$ay=qEm .

Men vi vill ju uttrycka fältstyrkan i spänningen och avståndet mellan plattorna så vi ersätter fältstyrkan med $E=\frac{U}{d}$E=Ud . Till sist ska vi komma ihåg att det är en elementarladdning det handlar om så vi kan ersätta $q$q med $e$e. Vi sätter in värden och beräknar. 

 $v_y=v_{0y}+a_yt=0+\frac{qE}{m}t=\frac{qU}{md}t=\frac{eU}{md}t=\frac{1,602\cdot10^{-19}\cdot30}{1,67\cdot10^{-27}\cdot0,050}\cdot4,7\cdot10^{-8}\approx2,7\cdot10^3$vy=v0y+ayt=0+qEm t=qUmd t=eUmd t=1,602·1019·301,67·1027·0,050 ·4,7·1082,7·103 m/s

Vi får att hastigheten i y-led då protonen lämnar fältet är ca $2,7$2,7 km/s.

Nu har vi båda hastighetskomposanterna $v_x$vx och $v_y$vy och kan använda Pythagoras sats för att beräkna hastigheten $v$v:

 $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{\left(1,5\cdot10^6\right)^2+\left(2,7\cdot10^3\right)^2}\approx1,5\cdot10^6$v=vx2+vy2=(1,5·106)2+(2,7·103)21,5·106 m/s

Laddningens hastighet då den lämnar fältet är ca $1,5\cdot10^6$1,5·106 m/s.

b)

I b-uppgiften ska vi beräkna hur långt från horisontalplanet som protonen har rört sig. Det är ju helt enkelt sträckan som den rört sig i y-led som vi betecknat $y$y i figuren.

I y-led har vi ju en likformigt accelererad rörelse och vi använder därför sträckformeln för likformigt accelererad rörelse. Protonen har ju ingen starthastighet i y-led så den termen försvinner och vi har dessutom att accelerationen i y-led ges av $a_y=\frac{eU}{md}$ay=eUmd . Vi sätter in värden och beräknar:

 $y=v_{0y}t+\frac{a_yt^2}{2}=\frac{eUt^2}{2md}=\frac{1,602\cdot10^{-19}\cdot30\cdot\left(4,7\cdot10^{-8}\right)^2}{2\cdot1,67\cdot10^{-27}\cdot0,050}\approx6,3\cdot10^{-5}$y=v0yt+ayt22 =eUt22md =1,602·1019·30·(4,7·108)22·1,67·1027·0,050 6,3·105 m. 

Vi får att avlänkningen i y-led blir ca $6,3\cdot10^{-5}$6,3·105 m.

c)

I c-uppgiften ska vi istället beräkna avlänkningsvinkeln relativt horisontalplanet, dvs. vinkeln $\theta$θ i komposantuppdelningen av hastigheten.

Vi använder lite trigonometri och får att:

 $\theta=\tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{2,7\cdot10^3}{1,5\cdot10^6}\right)\approx0,1^{\circ}$θ=tan1(vyvx )=tan1(2,7·1031,5·106 )0,1 

Vi får att avlänkningen blir ca $0,1^{\circ}$0,1.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se