Tangentens ekvation och lutning

Exempel 1

Figuren föreställer en andragradsfunktion och dess tangent i punkten  $P$P .

Bestäm derivatan $f’\left(2\right)$ƒ ’(2)  med hjälp av figuren.
 

Lösning

Genom att bestämma tangentens lutning i den punkt där $x=2$x=2 kan vi bestämma värdet på derivatan  $f’\left(2\right)$ƒ ’(2), eftersom att de har samma värde.

Vi ser att tangentens riktningskoefficient är  $k=$k=  $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$△y△x =y₂−y₁x₂−x₁   $=\frac{3-\left(-1\right)}{4-0}=\frac{4}{4}$=3−(−1)4−0 =44   $=1$=1 

Vi får då att även derivatans värde när $x=2$x=2 har värdet  $1$1.
Vi kan skriva detta med matematiska symboler som  $f’\left(2\right)=1$ƒ ’(2)=1. 

Exempel 2

Funktionen  $f\left(x\right)=x^3+4x^2$ƒ (x)=x³+4x²  har en tangent i punkten där  $x=-3$x=−3 .

Bestäm tangeringspunktens koordinater.

Lösning

Vi använder funktionsuttrycket  $f\left(x\right)=x^3+4x^2$ƒ (x)=x³+4x² för att bestämma koordinaterna för punkten, eftersom att vi vet att alla punkter på en graf ges av $\left(x,\text{ }f\left(x\right)\right)$(x, ƒ (x)).

För  $x=-3$x=−3  gäller att  $f\left(-3\right)=\left(-3\right)^3+4\left(-3\right)^2=-27+36=9$ƒ (−3)=(−3)³+4(−3)²=−27+36=9 vilket ger oss tangeringspunkten $\left(-3,\text{ }9\right)$(−3, 9).

Exempel 3

Figuren visar funktionen  $f(x)=2x^2+2$ƒ (x)=2x²+2 och dess tangent i $x=2$x=2.

Ange tangentens ekvation.

Lösning

Tangenten är en rät linje. För att bestämma dess ekvation behöver vi ta fram dess lutning och en punkt på linjen. Vi börjar med att ta fram tangeringspunkten.

När $x=2$x=2 får vi $y$y-värdet  $y=f(2)=2\cdot2^2+2=8+2=10$y=ƒ (2)=2·2²+2=8+2=10 

Det ger oss att tangeringspunkten är $\left(2,\text{ }10\right)$(2, 10) .

För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Vi börjar med att derivera funktionen.
  $f(x)=2x^2+2$ƒ (x)=2x²+2   ger att  $f'(x)=4x$ƒ ’(x)=4x 

För att bestämma derivatan i tangeringspunkten ersätter vi  $x=2$x=2 i derivatans funktionsuttryck.

 $f'(2)=4\cdot2=8$ƒ ’(2)=4·2=8 

Nu vet vi tangentens lutning, även kallat  $k$k-värde, i denna punkt är lika med åtta.

Tangentens ekvation är så här långt bestämd till  $y=8x+m$y=8x+m.

För bestämma $m$m-värdet använder vi tangeringspunkten $(2,\text{ }10)$(2, 10).

 $10=8\cdot2+m$10=8·2+m               

 $10=16+m$10=16+m  

 $m=-6$m=−6 

Nu  har nu bestämt både $k$k och $m$m och tangentens ekvation är  $y=8x-6$y=8x−6 

Exempel 4

Figuren visar funktionen  $f(x)=x^2-3x$ƒ (x)=x²−3x

a) Ange funktionens derivata i punkten  $x=1$x=1. 

b) Ange tangentens lutning i punkten  $x=1$x=1.

c) Ange funktionens derivata i punkten  $x=a$x=a . 

d) Ange tangentens lutning i punkten  $x=a$x=a .

e) Ange funktionens derivata för alla definierade punkter.

f) Ange tangentens lutning för alla definierade punkter.

Lösning

a) Vi börjar med att derivera funktionen.

  $f(x)=x^2-3x$ƒ (x)=x²−3x   ger att  $f'(x)=2x-3$ƒ ’(x)=2x−3 

Sedan beräknar vi funktionens derivata i punkten  $x=1$x=1 med derivatans funktionsuttryck.

 $f'(1)=2\cdot1-3=-1$ƒ ’(1)=2·1−3=−1 

b) För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Med hjälp av a)-uppgiften får vi att tangentens lutning är  $k=-1$k=−1  eftersom att  $f’\left(1\right)=-1$ƒ ’(1)=−1 

Vi börjar med att derivera funktionen.

c) Då derivatan till funktionen är  $f'(x)=2x-3$ƒ ’(x)=2x−3 får vi att funktionens derivata i punkten  $x=a$x=a  är $f'(a)=2a-3$ƒ ’(a)=2a−3 

d) För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Med hjälp av c)-uppgiften får vi att tangentens lutning också är $k=f'(a)=2a-3$k=ƒ ’(a)=2a−3 

e) Derivatan till funktionen är $f'(x)=2x-3$ƒ ’(x)=2x−3 för alla definierade värde på  $x$x. 

f) För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Med hjälp av e)-uppgiften får vi att tangentens lutning för alla definierade punkter också är $k=f'(x)=2x-3$k=ƒ ’(x)=2x−3