Volymintegraler och Cylindriska skal

Beräkna volymen som skapas då vi låter $f(x)=2x-x^2$ƒ (x)=2x−x² rotera kring $y$-axeln och begränsas av $x$-axeln.

Linjerna $y=1$y=1 , $x_1=2$x₁=2 och $x_2=3$x₂=3 bildar tillsammans med $x$-axeln ett slutet område i första kvadranten. Använd cylindriska skal och beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.

Beräkna volymen som skapas då vi låter $f(x)=3x^2-x^3$ƒ (x)=3x²−x³ rotera kring $y$-axeln och begränsas av $x$-axeln.

Använd metoden med cylindriska skal och beräkna volymen som skapas då det färgade området roteras runt $y$y-axeln.

Försök sedan att komma på ett alternativt (och gärna enklare) sätt att bestämma rotationsvolymen.

Beräkna volymen som bildas då funktionen $y=\sqrt{x}+1$y=√x+1 roteras kring $y$-axeln i intervallet $1\le x\le4$1≤x≤4 .

Funktionerna $y_1=2x$y₁=2x och $y_2=\frac{x^2}{2}$y₂=x²2  bildar ett slutet område i första kvadranten. Beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.

Funktionen $y=\frac{x^2}{2}-2$y=x²2 −2 och linjen $x=4$x=4 bildar ett slutet område i första kvadranten. Beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.

Beräkna volymen som bildas då funktionen $y=sin\left(x\right)$y=sin(x) roteras kring $y$-axeln i intervallet $0\le x\le2\pi$0≤x≤2π.