Wiens förskjutningslag och Stefan - Boltzmanns lag

Exempel

En glödlampa har en effekt på $60$60 W. Glödtråden i lampan har en längd på $2,5$2,5 cm och en diameter på $0,5$0,5 mm. Om vi approximerar att glödtråden har en emittans som är $80\%$80% av en svartkropps, vad är då glödtrådens temperatur?

Lösning

Vi börjar med att beräkna hur mycket strålning glödtråden emitterar om den vore en absolut svart kropp. Vi kan då använda sambandet $M=\frac{P}{A}$M=PA . Men vad är arean? Vi har fått glödtrådens längd och diameter. Vi kan ju tänka oss glödtråden som en tunn cylinder och en sådan har en mantelarea som ges av $2\pi r\cdot l$2πr·l , där $l$l är glödtrådens längd och $r$r är glödtrådens radie. Vi sätter in det i uttrycket för emittansen och sätter in värden. Kom ihåg att radien ju är halva diametern.

 $M=\frac{P}{A}=\frac{P}{2\pi r\cdot l}=\frac{60}{2\pi\cdot\left(\frac{0,5\cdot10^{-3}}{2}\right)\cdot0,025}\approx1,5\cdot10^6\text{ }\frac{W}{m^2}$M=PA =P2πr·l =602π·(0,5·10⁻³2 )·0,025 ≈1,5·10⁶ Wm²  

Nu ska vi koppla detta till temperaturen och då använder vi Stefan-Boltzmans lag. Men nu ska vi komma ihåg att approximationen var att glödtråden endast strålar som $80\%$80% av en svartkropp, så vi måste multiplicera emittansen med $0,80$0,80.

 $0,80M=\text{σ}T^4$0,80M=σT⁴ 

Nu löser vi ut temperaturen..

 $T=\sqrt[4]{\frac{0,80M}{\text{σ}}}=\sqrt[4]{\frac{0,80\cdot1,5\cdot10^6}{5,67\cdot10^{-8}}}\approx2200$T=⁴√0,80Mσ =⁴√0,80·1,5·10⁶5,67·10⁻⁸ ≈2200 K

Svar

Glödtråden har en temperatur på ca 2200 K.

Exempel

Vi tittar på samma glödtråd som i föregående exempel men nu ska vi ta reda på vid vilken våglängd som glödtråden har sin maximala emittans.

Lösning

Vi använder Wiens förskjutningslag. Vi har ju temperaturen och $a$a är ju en konstant så vi löser ut $\text{λ}_{max}$λ_max och sätter in värden (notera att även om vi skriver det avrundade värdet på temperaturen i uträkningen så använder vi det exakta värdet som vi förhoppningsvis har kvar i miniräknaren sedan förra exemplet).

 $\text{λ}_{max}\cdot T=a\Rightarrow\text{λ}_{max}=\frac{a}{T}=\frac{2,90\cdot10^{-3}}{2200}\approx1300$λ_max·T=a⇒λ_max=aT =2,90·10⁻³2200 ≈1300 nm 

Tittar vi på grafen till Plancks strålningslag så ser vi att detta kan vara rimligt. Vi ser även att det allra mesta av strålningen från glödtråden inte är i det synliga området utan i IR-området, dvs. strålningen avges mestadels som värme, inte synligt ljus.

Svar

Glödtråden emitterar som mest vid våglängden $1300$1300 nm.