Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Fysik 2
/ Kvantfysik
Wiens förskjutningslag och Stefan - Boltzmanns lag
Den förra lektionen handlade om absolut svarta kroppar och att detta är teoretiska objekt som absorberar all infallande strålning. En viktig egenskap hos svartkroppar är att det inte spelar någon roll vad svartkroppen är gjord av eller hur stor densiteten är, den emitterade strålningen från en svartkropp beror ENDAST på dess temperatur och kallas svartkroppsstrålning.
Vi tittade också på Plancks lag som är ett samband mellan temperaturen, emittansen och våglängderna hos den emitterade strålningen från en svartkropp, vilket ger grafen ovan. Eftersom den emitterade strålningen från en svartkropp endast beror på temperaturen får varje temperatur en separat kurva.
Arean under kurvan motsvarar den totala emittansen, dvs hur mycket strålning som objektet emitterar per tid och area, och vi ser att ju högre temperatur objektet har desto mer strålning emitterar objektet. Det finns ett samband som kopplar ihop emittansen med temperaturen hos en svartkropp: Stefan – Boltzmanns lag.
Stefan - Boltzmanns lag
$M=\text{σ}T^4$M=σT4
$M$M är emittans [W/m$^2$2]
$T$T är temperatur [K]
$\text{σ}=5,67\cdot10^{-8}$σ=5,67·10−8 [W/(m$^2$2K$^4$4)]
Sambandet kopplar ihop emittansen och temperaturen hos en svartkropp
Sambandet säger alltså att emittansen $M$M från en svartkropp är proportionell mot temperaturen upphöjt till $4$4. Konstanten $\text{σ}$σ (sigma) är en uppmätt konstant. Vi ser att ett objekt med dubbelt så hög temperatur har $16$16 gånger så hög emittans ($2^4=16$24=16). Emittansen har alltså ett mycket kraftigt temperaturberoende.
Exempel 1
En glödlampa har en effekt på $60$60 W. Glödtråden i lampan har längden $2,5$2,5 cm och diametern $0,50$0,50 mm. Vi approximerar att glödtråden har en emittans som är $80\%$80% av en svartkropps. Vilken är glödtrådens temperatur?
Lösning
Vi börjar med att beräkna hur mycket strålning glödtråden skulle emittera om den vore en absolut svart kropp. Vi kan då använda sambandet $M=\frac{P}{A}$M=PA .
Men vad är arean? Vi har fått glödtrådens längd och diameter. Vi kan tänka oss glödtråden som en tunn cylinder, och dess mantelarea ges då av $A=2\pi r\cdot l$A=2πr·l, där $l$l är glödtrådens längd och $r$r är glödtrådens radie. (Kom ihåg att radien är halva diametern.)
$A=2\pi r\cdot l=2\pi\cdot\frac{0,0005}{2}\cdot0,025=1,25\cdot10^{-5}\text{ }\pi$A=2πr·l=2π·0,00052 ·0,025=1,25·10−5 π m$^2$2
$M=$M= $\frac{P}{A}=\frac{P}{2\pi r\cdot l}=\frac{60}{1,25\cdot10^{-5}\text{ }\pi}=$PA =P2πr·l =601,25·10−5 π = $1,527...\cdot10^6$1,527...·106 W/m$^2$2
För att bestämma temperaturen använder vi Stefan-Boltzmans lag. Approximationen är att glödtråden strålar som $80\%$80% av en svartkropp, vi multiplicerar därför emittansen med faktorn $0,80$0,80.
$M=0,80\text{σ}T^4$M=0,80σT4
$T=$T= $\sqrt[4]{\frac{M}{0,80\cdot\text{σ}}}=\sqrt[4]{\frac{1,527\cdot10^6}{0,80\cdot5,67\cdot10^{-8}}}=$4√M0,80·σ =4√1,527·1060,80·5,67·10−8 = $2408,7...$2408,7... K
Svar: Glödtrådens temperatur är $2\text{ }400$2 400 K.
Obs. I motsvarande exempel i videon har faktorn $0,8$0,8 hamnat fel, och därmed har även det sista beräkningssteget och svaret blivit felaktigt. Det är lösningen här ovan som är korrekt. Vi jobbar på att ändra i videon.
Wiens förskjutningslag
$\text{λ}_{max}\cdot T=2,90\cdot10^{-3}$λmax·T=2,90·10−3
$\text{λ}_{max}$λmax är den våglängd där emittansen från en svartkropp har sitt maximum
$T$T är temperaturen i Kelvin
Sambandet knyter ihop temperaturen och den våglängd där en svartkropps emittans har sitt maximum.
Exempel 2
Vi tittar på samma glödtråd som i föregående exempel, men nu ska vi ta reda på vid vilken våglängd som glödtråden har sin maximala emittans.
Lösning
Vi använder Wiens förskjutningslag.
$\text{λ}_{max}\cdot T=2,90\cdot10^{-3}$λmax·T=2,90·10−3
$\text{λ}_{max}=$λmax= $\frac{2,90\cdot10^{-3}}{T}=\frac{2,90\cdot10^{-3}}{2154,7...}=$2,90·10−3T =2,90·10−32154,7... = $1,345...\cdot10^{-6}$1,345...·10−6 m
Obs. Det är viktigt att vi använder det icke avrundade värdet på temperaturen från det förra exemplet.
$\text{λ}_{max}\approx1300$λmax≈1300 nm
Tittar vi på grafen till Plancks strålningslag så ser vi att detta kan vara rimligt. Vi ser även att det allra mesta av strålningen från glödtråden inte är i det synliga området utan i IR-området, dvs strålningen avges mestadels som värme, inte synligt ljus.
Svar: Glödtråden emitterar som mest vid våglängden $1300$1300 nm.
Omvandla mellan Celsius och Kelvin
När vi löser uppgifter i detta avsnitt använder vi att
$T_K=T_C+273$TK=TC+273
där $T_K$TK är temperaturen i Kelvin och $T_C$TC är temperaturen i Celsius.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
En absolut svart kropp har temperaturen $3500^{\circ}$3500∘C. Hur stor är emittansen? Svara i MW/m$^2$2 med tre värdesiffror.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
En varm spisplatta har diametern $18$18 cm och temperaturen $800^{\circ}$800∘ C. Hur stor effekt strålar ut från ytan? Svara i kW.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Ett varmt objekt som kan approximeras som en absolut svart kropp har följande Planckkurva (emittans som funktion av våglängd). Vilken temperatur har objektet? Svara i K.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Solen kan approximeras som en svartkropp. Om den utstrålade effekten från solen är $4,0\cdot10^{26}$4,0·1026 W och solens radie är $0,70\cdot10^6$0,70·106 km, vad är då solens yttemperatur? Svara i K.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Solen kan approximeras som en svartkropp med yttemperaturen $5780$5780 K. Vid vilken våglängd har solen sin maximala intensitet? Svara i nm med tre värdesiffror.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (2)
-
6. Premium
En glödlampa har effekten $75$75 W. Glödtråden i lampan har längden $3,0$3,0 cm och diametern $0,35$0,35 mm. Vi approximerar att glödtråden har en emittans som är $75$75 % en svartkropps, vad är då glödtrådens temperatur? Svara i K.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
En svartkropp har temperaturen $4560^{\circ}$4560∘ C . Vilken färg upplevs svartkroppen ha?
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
En glödlampa har sitt strålningsmaximum vid $λ_{max}=1230$λmax=1230 nm. Glödtråden i lampan har längden $2,5$2,5 cm och diametern $0,30$0,30 mm. Vi approximerar att glödtråden har en emittans som är $85$85 % en svartkropps. Bestäm glödlampas effekt.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
greta lankutyte
Hej jag undrar bara i videon har man räknat arean på glödtråden som mandelarean?, emitteras ingen strålning från "botten" och "toppen" av den då? för att det är fäst i något? Varför räknar man inte med hela cylinders area 2πr(r+h).
Eddler
Hej Greta!
Ändarna strålar också, men deras area är försumbar. Glödtråden är mycket tunn och lång, så $2\pi r^2$ är bara en liten bråkdel av mantelarean $2\pi rh$. Ändarna sitter dessutom fast i hållare, så man räknar bara med mantelarean.
Dante Massella
Hej, i fråga 5 har ni använt svaret 502nm men om man använder konstanten i wiens förskjutningslag som är 2,8978*10^3 så blir det avrundade svaret 501nm? kan man verkligen avrunda en konstant?
Eddler
Hej!
Du har helt rätt — om man använder konstanten $2{,}8978 \cdot 10^{-3}$ m·K (med fyra värdesiffror) blir $\lambda_{max} \approx 501$ nm. Vi använder den avrundade konstanten $2{,}90 \cdot 10^{-3}$ i förklaringen, vilket ger $502$ nm. Båda är korrekta beroende på vilken precision man har i konstanten.
Hör av dig om du har fler frågor!
Matiin Axner
Uppgift 2. lösningen är fel. Arean är som ni själva skrivit 0,0081pi. Sen har ni i uträkningen tagit 0,081pi som arean istället. Men ni har fått fram rätt svar då ni säkert räknat med 0,0081pi på eran räknare men skrivit ut fel.
Eddler
Tack för att du uppmärksammade det! Du har rätt, det stod $0{,}081\pi$ i uträkningen men ska vara $0{,}0081\pi$. Förklaringen är nu rättad.
Felix Back
Hej,
Vid 9:20 i genomgången tar ni *0.8 t.v. om likhetstecknet men i förklaringen i uppgift 6 ser det ut som att ni tar *0,75 t.h. om likhetstecknet, med resultatet att svaret verkar bli galet? Svaret verkar bli en högre temp nu än om man räknar med en total svart kropp i uppg. 6. Kan vara jag som är ute och cyklar, men tacksam för guidning kring det. Tack på förhand!
Sara Petrén Olauson
Hej! Det är lösningen i videon som tyvärr har blivit fel. Faktorn $0,8$ borde sättas till höger om likhetstecknet, eftersom emittansen från glödtråden ska vara $80$% av en svartkropps emittans: $M=0,80\text{σ}T^4$
Eftersom glödtrådens emittans är "mindre effektiv" än en svartkropps stämmer det att temperaturen då blir högre än om vi räknar med en svartkropp. Det är alltså lösningarna till exempel 1 i lektionstexten och uppgift 6 som är korrekta. Hoppas att det blev tydligare nu!
Endast Premium-användare kan kommentera.