Pythagoras Sats

Pythagoras sats är ett matematiskt samband för rätvinkliga trianglar, dvs. trianglar där en vinkel är $90$ grader. Sambandet beskriver förhållandet mellan de två kateterna och hypotenusan i en rätvinklig triangel, dvs en triangel som ser ut enligt följande.

Att triangeln är rätvinklig innebär att en av triangelns vinklar är $90^{\circ}$90^∘, detta beskriver vi med att göra en kvadrat vid den räta vinkeln.

I en rätvinklig triangel är alltid hypotenusan den längsta sidan i triangeln.

Fyll i två sidor och låt kalkylatorn beräkna den sista. Fyll exempelvis i den närliggande kateten och den motstående kateten så beräknar räknaren hypotenusan. Använd endast positiva tal och inga enheter.

Det som gäller för att en triangel ska vara rätvinklig är att en av triangelns vinklar är $90$ grader. Endast en vinkel kan vara $90$ grader i en triangel, annars är det inte en triangel (då blir vinkelsumman större än $180$ grader). Ett exempel på en rätvinklig triangel skulle kunna vara en triangel som har vinklarna $30^{\circ}$30^∘, $60^{\circ}$60^∘ och $90^{\circ}$90^∘. Tillsammans har de vinkelsumman $30^{\circ}+60^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$30^∘+60^∘+90^∘=180^∘.

Det finns hundratals bevis för att Pythagoras sats verkligen stämmer, här samlas exempelvis 102 av dessa bevis.

Ett lite enklare visuellt bevis visas nedan i animationen.

Här är en rätvinklig triangel som har kateterna 4 och 3 och hypotenusan 5 där pythagoras ger att $ 3^2+4^2=5^2 $. I bilden visas hur kvadraterna av kateterna ritas, 16 respektive 9 stycken, samtidigt som kvadraten av hypotenusan, 16+9=25, ritas ut. Här ser vi att summan av kateternas kvadrater är lika med hypotenusans kvadrat.

Ibland är en av sidorna i en rätvinklig triangel okänd och beskriven med bokstaven $x$x eller någon annan bokstav. Då kan vi lösa den ekvation med hjälp av att räkna ut alla värden och använda oss av roten ur. När vi har en sida som är okänd i en rätvinklig triangel får vi en så kallad andragradsekvation. När vi löser en andragradsekvation med roten ur får vi oftast två lösningar. När vi arbetar med sträckor och längder i trianglar använder vi dock bara den positiva lösningen. En sträcka kan ju inte vara negativ.

Viktigt här att känna till är att även $-\sqrt{369}$−√369 är en lösning till andragradsekvationen. Men då längden är en sträcka som inte kan vara negativ så utelämnas den lösningen.

Det finns speciella fall av rätvinkliga trianglar där alla sidor är heltal. Dessa trianglar kallas för pythagoreiska tripplar och sådana trianglar brukar vara smidiga att arbeta med då vi slipper decimaltal (rationella tal) eller irrationella tal. Det finns oändligt antal sådana trianglar där några med lägst heltal finns i listan här nere. Vi skriver trianglarnas sidor inom parentesen enligt (katet1, katet 2, hypotenusa).

(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(8, 15, 17)
(7, 24, 25)
(20, 21, 29)
(12, 35, 37)
(9, 40, 41)
(28, 45, 53)

Vi kan använda Pythagoras sats för att beräkna avståndet mellan två punkter $(x_1,y_1)$ och $(x_2,y_2)$ genom att använda att det går att rita ut dessa två punkter i en rätvinklig triangel där hypotenusans längd (om de inte ligger i linje lodrätt eller horisontellt) blir avståndet mellan punkterna. Metoden som används här, och grundar sig i Pythagoras sats, kallas för avståndsformeln och ger

$ d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Pythagoras är en av historiens mest kända matematiker, mycket beroende på att Pythagoras sats är uppkallad efter honom. Han levde cirka 500 år f.Kr. och under sin livstid så startade han ett matematiskt sällskap i Crotone i Italien (Pythagoras var född på ön Samos, nuv. Grekland). Om det är just han som skapat Pythagoras sats är lite osäkert då källorna till hans liv är få och det är svårt att veta om de stämmer.

• Du behöver gå upp på taket för att ställa in parabolen inför VM-finalen i fotboll men du har ingen stege. Hur lång stege behöver du minst ha om det är 4 meter upp till takkanten och stegen ska stå 1,5 meter från huset?
• Beräkna avståndet mellan punkterna $\left(1,1\right)$(1,1) och $\left(4,3\right)$(4,3).