00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Derivata
Statistik

Standardavvikelse

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Standardavvikelse är ett spridningsmått som beskriver hur mätdata avviker från medelvärdet. I den här genomgången lär du dig både hur detta spridningsmått fungerar samt hur du för hand kan räkna ut det.

Varians

För att kunna beräkna standardavvikelsen behöver man även beräkna variansen. Variansen är ett medelvärde av hur mycket observationsvärdena i kvadrat skiljer sig från undersökningens medelvärde. 

 Varians=\text{Varians}=Varians= summan av avvikelserna i kvadratantal observationer−1\frac{\text{summan av avvikelserna i kvadrat}}{\text{antal observationer}-1}summan av avvikelserna i kvadratantal observationer−1   

Variansen beräknas genom att du först beräknar varje observationsvärdes avvikelse mot medelvärdet, kvadrerar den differensen och sedan summerar alla dessa avvikelser i kvadrat. Du dividerar sedan med antalet observationsvärden −1-1−1.

Då varje avvikelse är differensen mellan observationsvärdet  xnx_nxn och medelvärdet x‾\overline{x}x  skriver vi variansen med följande kvot.

 Varians=\text{Varians}=Varians=  (x1−x‾)2+(x2−x‾)2+…+(xn−x‾)2n−1\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+…+(x_n-\overline{x})^2}{n-1}(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2n−1 

Anledningen till att man kvadrerar avvikelsen är att man vill få alla avvikelser till positiva värden. Det gör man för att undvika att  positiva och negativa värden på avvikelser tar ut varandra. Att man tar −1-1−1 i nämnaren beror på att det har visat sig stämma bättre med avvikelsen i den totala populationen om man gör det. Har man däremot gjort en totalundersökning utan att behöva göra ett stickprov dividerar man med bara n.

Exempel 1

Stina vet att medelvärde är  x‾=4\overline{x}=4x=4. Hur stor är variansen för datamängden 2, 2, 52,\text{ }2,\text{ }52, 2, 5 och 777?

Lösning

Vi beräknar variansen med formeln ovan. Vi vet att  x‾=5\overline{x}=5x=5 och  n=4n=4n=4 då vi har fyra värden i datamängden.

Varians=\text{Varians}=Varians= (2−4)2+(2−4)2+(5−4)2+(7−4)24−1=\frac{(2-4)^2+(2-4)^2+(5-4)^2+(7-4)^2}{4-1}=(2−4)2+(2−4)2+(5−4)2+(7−4)24−1 = (−2)2+(−2)2+12+323=\frac{(-2)^2+(-2)^2+1^2+3^2}{3}=(−2)2+(−2)2+12+323 =  4+4+1+93=183≈\frac{4+4+1+9}{3}=\frac{18}{3}\approx4+4+1+93 =183 ≈666   

Variansen är ca 666.

Standardavvikelse

Nästa steg är att beräkna själva standardavvikelsen. När du väl har variansen är detta mycket enkelt. Man tar helt enkelt bara roten ur variansen (vilket kan kännas logiskt med tanke på att vi tidigare kvadrerade värdena på avvikelserna).

 Standardavvikelse=Varians\text{Standardavvikelse}=\sqrt{\text{Varians}}Standardavvikelse=√Varians

Lägger man ihop dessa formler så får man

S=S=S= (x1−x‾)2+(x2−x‾)2+…+(xn−x‾)2n−1\sqrt{\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+…+(x_n-\overline{x})^2}{n-1}}√(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2n−1   

Vi kan sammanfatta metoden att beräkna standardavvikelsen i en undersökning så här:

  1. Beräkna medelvärdet av undersökningens resultat
  2. Beräkna varje observationsvärdes avvikelse från medelvärdet
  3. Kvadrera alla avvikelse-värden och summera dessa
  4. Beräkna variansen
  5. Beräkna standardavvikelsen

Exempel 2

Stina vet att medelvärde är  x‾=4\overline{x}=4x=4 . Hur stor är standardavvikelsen för datamängden  2, 2, 52,\text{ }2,\text{ }52, 2, 5  och 777?

Lösning

I exempel 1 beräknade vi att variansen var 666. Vi repeterar.

Varians=\text{Varians}=Varians= (2−4)2+(2−4)2+(5−4)2+(7−4)24−1=\frac{(2-4)^2+(2-4)^2+(5-4)^2+(7-4)^2}{4-1}=(2−4)2+(2−4)2+(5−4)2+(7−4)24−1 = 666  

Eftersom att standardavvikelsen motsvarar  s=variansens=\sqrt{\text{variansen}}s=√variansen kan vi nu enkelt beräkna standardavvikelsen.

s=6≈2,4s=\sqrt{6}\approx2,4s=√6≈2,4 

Vad innebär detta? Jo, att den genomsnittliga avvikelsen från medelvärdet  x‾=4\overline{x}=4x=4 på datamängden 2, 2, 52,\text{ }2,\text{ }52, 2, 5  och 777 är ca 2,42,42,4. Två stycken värden har exakt avvikelsen två. Men ett har bara avvikelsen ett och en annan tre. Det ger att det genomsnittliga avvikelsen är större än två, nämligen 2,42,42,4. 

Använda digitala hjälpmedel för beräkning av standardavvikelse

För en större datamängd förväntas du aldrig beräkna standardavvikelsen för hand. Detta är ett typexempel på när räknaren eller datorn kommer väl till pass. Se lektion: Digitala metoder för att bestämma spridningsmått

När du skriver in datamängd i ditt digitala verktyg får du två olika standardavvikelser

 sss – standardavvikelsen i ett stickprov (som beräknas med formeln ovan)

 σ\sigmaσ – standardavvikelsen om datamängden utgör en totalpopulation (samma formel med skillnaden att man dividerar med n och inte  n−1n-1n−1 )

I denna lektion tänker vi att du i huvudsak använder ett digitalt hjälpmedel för att göra dina beräkningar, men du behöver även känna till hur dessa beräkningarna görs.

Exempel 2

Tabellen nedan visar vikten av fem godispåsar. Beräkna standardavvikelsen.

Tabell över vikt

Lösning

Vi skriver in vår datamängd och ber vårt digitala verktyg beräkna standardavvikelsen. Här har vi använt GeoGebra. 

I lektionen Digitala metoder för att bestämma spridningsmått kan du se hur du bestämmer standardavvikelsen steg för steg.

Vi läser av standardavvikelsen sss till ca 14,114,114,1.

Om du ska göra det förhand gör du så här.

Vi börjar med att bestämma medelvärdet. 

 Medelva¨rdetA\text{Medelvärdet}_AMedelvärdetA  =200+196+202+225+1875==\frac{200+196+202+225+187}{5}==200+196+202+225+1875 = 202202202 

Sätter vi sedan in alla värden direkt får vi att 

  S=S=S= (200−202)2+(196−202)2+(202−202)2+(225−202)2+(187−202)25−1\sqrt{\frac{(200-202)^2+(196-202)^2+(202-202)^2+(225-202)^2+(187-202)^2}{5-1}}√(200−202)2+(196−202)2+(202−202)2+(225−202)2+(187−202)25−1  ≈\approx≈ 14,114,114,1  

Men det kan vara vist att dela upp det i steg till att börja med för att inte få fel.

Beräkna i så fall först differensen mellan alla värden och medelvärdet, det vi kallas avvikelserna, och kvadrera dem.

 (200−202)2=(−2)2=4(200-202)^2=\left(-2\right)^2=4(200−202)2=(−2)2=4  

 (196−202)2=(−6)2=36(196-202)^2=\left(-6\right)^2=36(196−202)2=(−6)2=36

(202−202)2=0(202-202)^2=0(202−202)2=0 

 (225−202)2=232=529(225-202)^2=23^2=529(225−202)2=232=529

 (187−202)2=(−15)2=225(187-202)^2=\left(-15\right)^2=225(187−202)2=(−15)2=225 

för att sedan addera dem

 4+36+0+529+225=7944+36+0+529+225=7944+36+0+529+225=794 

och dividera med antalet observationer minus ett

 Variansen=\text{Variansen}=Variansen= 4+36+0+529+2255−1=\frac{4+36+0+529+225}{5-1}=4+36+0+529+2255−1 = 198,5198,5198,5 

Nästa steg är att dra roten ur variansen för att få standardavvikelsen.

   S=198,5≈14,1S=\sqrt{198,5}\approx14,1S=√198,5≈14,1 

Standardavvikelsen är ca 14,114,114,1.

Som du märker är det både tidskrävande och lätta för slarvfel när detta görs förhand, så se till att lära dig hur du gör dem ett digitalt hjälpmedel. 

Exempel i videon

  • Per har ett fint jordgubbsland och registrerar sin totala skörd i kg under sex år. Medelvärdet blir 515151 kg. Se tabell för data kring skördarna.
  • Beräkna standardavvikelsen för följande datamängd: 11, 12, 15, 8, 911,\text{ }12,\text{ }15,\text{ }8,\text{ }911, 12, 15, 8, 9.
  • För att mäta spridning av antalet mördarsniglar (spansk skogssnigel) i en trädgård mäter man frekvensen av antal sniglar med olika längd och får datan nedan (se video). Beräkna medelvärde, avvikelser, varians och standardavvikelse.
Nästa lektion: Kvotregeln

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server