Ganska ofta i gymnasiematematiken behöver du känna till att det inte går att dividera men noll. I det här blogginlägget reder vi ut varför detta inte är möjligt (odefinierat) och när du behöver tänka på detta.

Varför kan man inte dividera med noll?

För att förstå tanken bakom att division med noll är odefinierat, d.v.s. omöjligt att genomföra, kan vi försöka att se ett mönster. Vi testar att dividera 1 med mindre och mindre tal:
$ \frac{1}{1} = 1 $
$ \frac{1}{0,1} = 10 $
$ \frac{1}{0,001} = 1000 $
$ \frac{1}{0,00001} = 100 000 $
$ \frac{1}{0,00000001} = 100 000 000 $
$ \frac{1}{0.00000000000001} = 100 000 000 000 000 $

Nu förstår du säkert att om vi låter nämnaren i divisionen bli mycket litet så kommer förstås resultatet av divisionen bli mycket mycket stort. Det kommer helt enkelt att bli så stort att resultatet blir oändligt. Men vad händer då egentligen när vi dividerar med noll?

Svaret på den frågan är då helt enkelt att det inte är möjligt för det finns inget (i alla fall inte som jag känner till) som faktiskt är större än oändligheten. Flera matematiker har förstås försökt att definiera hur man faktiskt kan dividera med noll men det visar sig att detta kan leda till rätt tokiga saker. Se exempelvis den här ”ekvationen”

$ a = b $ (*a)
$ a^2 = ab $ ($-b^2$)
$ a^2 – b^2 = ab – b^2 $ (faktorisera, bl.a. med konjugatregeln)
$ (a+b)(a-b) = b(a – b) $ (dividera med (a-b) )
$ a+b = b $ (a = b)
$ 2b = b $ (/b)
$ 2 = 1 $ (??!!)

Ser du vad som blir fel här ovan? Någonstans dividerar vi med 0…

Att hålla koll på divisionen med 0

Det är framförallt när du jobbar med rationella uttryck i exempelvis matematik 3b och 3c eller andra algebraiska uttryck som står skrivna som kvoter som du behöver hålla koll på att inte dividera med nollan. Exempelvis är ju

$ \frac{x^2 + 45}{2x – 10} $

inte definierat för x = 5 då vi får 2*5 – 10 = 10 – 10 = 0 i nämnaren då. Därmed behöver vi kunna nämna att uttrycket inte är definierat för x = 5 eller att uttrycket är definerat för alla x ≠ 5.

I senare matematikkurser som matematik D och matematik 3 så börjar matteläraren helt plötsligt babbla om ett nytt vinkelmått som kallas radianer inom området trigonometri. I det här blogginlägget tänkte jag att vi skulle definiera det här begreppet och sättet att mäta vinklar så bra så att du sedan själv kan jobba vidare med det. Om du istället föredrar en video om detta så hittar du den här.

Att förstå hur radianer definieras

Tänk dig att du har en cirkel med radien 1 l.e (längdenhet) liggande på bordet framför dig. Så tar du fram din tårtspade och och skär ut en tårtbit som har den exakta båglängden 1 (se figur). Vinkeln v som då skapas definieras som 1 rad (rad = radian). Vips så har vi både fått tårta och definitionen av radianer som vinkelmått. När vi har en tårtbit med radien 1 och båglängden 1 så har vi därmed vinkeln 1 rad.

Om vi istället skär ut en tårtbit med båglängden 2 (se figur) så får vi istället vinkeln v 2 radianer.

Om vi nu skulle låta vinkeln gå hela varvet runt på enhetscirkeln så kommer båglängden att bli hela omkretsen på vår cirkel. Så hur stor är egentligen omkretsen på en cirkeln med radien 1 och diametern 2?

Eftersom vi beräknar omkretsen för en cirkel med formeln π*diameter så blir här båglängden = omkretsen π*2 = 2π. Alltså gäller att ett varv har vinkeln 2π rad.

Några vanliga vinkelmått i radianer

• 720˚ = 4π rad
• 360˚ = 2π rad
• 180˚ = π rad
• 90˚ = π/2 rad
• 45˚ = π/4 rad
• 30˚ = π/6 rad
• 1˚ = π/180 rad

Varför skall vi använda radianer istället?

Nu kanske du frågar dig varför du egentligen skall använda radianer istället för grader? Vad är egentligen meningen med det?

finns det lite olika fördelar med detta men framförallt vill vi gå över till vinkelmåttet radianer för att vi skall få en enklare, och snyggare, derivata vi derivering av trigonometriska funktioner. Det visar sig nämligen att när man deriverar trigonometriska funktioner, t.ex. f(x) = cos x och f(x) = sin x, så får vi krångligare uttryck med grader än med radianer.

Från grader till radianer och tillbaka igen

Kanske du nu känner att du både har förstått radianer och vet varför vi egentligen skall använda oss av detta vinkelmått istället och är redo för lite räkneexempel. Låt oss börja att ta några exempel där vi går från grader till radianer och vice versa. Viktigt att känna till när du jobbar med dessa omvandlingar är att 1˚ = π/180 rad.

• 55˚ = 55 * (π/180) = 55π/180 = 11π/36 rad
• 120˚ = 120 * (π/180) = 120π/180 = 2π/3 rad
• π/9 = 180/9 = 20˚
• 2π/5 = 360/5 = 72˚

Träna gärna själv nedan på att göra dessa omvandlingar.

Trigonometriska ekvationer och radianer

Det är framförallt bra att ha koll på att ett helt varv är 2π radianer, ett halvt π radianer och att 90˚ = π/2 radianer när du löser ekvationer och skall svara med radianer i svaret. Det som spelar roll här är att du alltid måste ange periodiciteten för alla lösningar till en ekvation då dessa återkommer om och om igen för sin, cos och tan. Periodiciteten för sin och cos är 360˚ (2π rad) och för tan 90˚ (π/2 rad).

Låt oss ta ett exempel på detta.

Lös ekvationen sin 2x = 0,5
$ sin 2x = 0,5 \Leftrightarrow $
$ 2x = \frac{ pi }{ 6 } + n \cdot 2 \pi \Leftrightarrow $
$ x = \frac{ pi }{ 12 } + n \cdot \pi $
eller
$ 2x = \pi – \frac{ pi }{ 6 } + n \cdot 2 \pi \Leftrightarrow $
$ x = \frac{ 5 pi }{ 12 } + n \cdot pi $

Nu börjar det närma sig den där dagen då många kämpar för att klara högskoleprovet så bra som möjligt och knipa en möjlighet att komma in på en utbildning som man vill komma in på.

Den 27 Oktober Hösten 2012 öppnar provsalarna och det är då dags att räkna matte, kunna en massa ord och statistik.

Här på matematikvideo märker vi som vanligt av detta då det kommer en hel del högskoleprovsrelaterade frågor både på mail och i kommentarsfält. I vår högskoleprovskurs har vi också passat på att fylla på med fler interaktiva test och förklaringar till alla uppgifter så att våra besökare skall kunna träna med ett bra stöd. Vi har gjort uppgifterna till XYZ delen helt gratis så att du kan testa dig på två test här eller här. En bra startpunkt för dig som skall sätta igång och förbereda dig.

Hur lyckas man på högskoleprovet?

Det finns mängder med bra tips för att lyckas med sitt högskoleprov. Här på MatematikVideo är vi förstås ganska ensidiga i vår matematiska nördighet och kan framförallt de delarna och skall därför undvika goda råd på de språkliga delarna.

Men på matematikdelarna hjälper det med goda grundkunskaper i de matematikdelar som ingår och därefter en hel del träning på gamla högskoleprov. Framförallt är det viktigt att träna upp sin snabbhet att inse vilket svar som är rätt av de alternativ som ges. Detta gör man genom att träna mycket och förstå hur de olika delproven byggs upp.

Något som kan vara lite ovant för dig som är van vid att komma fram till det rätta svaret är att det ibland kan vara onödigt att räkna ”hela vägen”. För att spara så mycket tid som möjligt kan du svara på uppgiften så fort du ser att logiken stämmer och du vet vilket svarsalternativ som är rätt.

Försök också att simulera det verkliga provet när du tränar i så stor utsträckning som möjligt. Sätt äggklockan på den tid som du kommer att ha vid provtillfället och träna på att hålla dig inom de gränserna. Om du fastnar på en uppgift kan du också lämna den så länge och gå vidare så att du inte missar värdefull provtid.

Vilka resurser finns till Högskoleprovet här?

På studera.nu som anordnar högskoleprovet så hittar du mängder med gamla prov och övningar, däremot får du ingen hjälp med att fräscha upp matematikkunskaperna utan hänvisas till att själv träna på dessa. Här på MatematikVideo kan du både träna på dina matematikkunskaper och göra gamla högskoleprov där vi också gett ordentliga förklaringar till varje uppgift. Så kika gärna in och kolla igenom vår högskoleprovskurs här.

Några mer tips

• Några videos på vår facebook sida med högskoleprovsuppgifter.

Har du fler bra tips om högskoleprovet? Kommentera gärna här nedan och tipsa andra!

I den första delen i den här bloggserien om att kämpa med att klara av matematiken så skrev jag framförallt om motivation och att vara medveten om den röda tråden som slingrar sig genom matematisk kunskap.

Det är många som kämpar med just det här ämnet i Sverige och istället för att strunta i att läsa det (som det debatterats om i tidningarna) så tycker jag det finns bättre vägar för att faktiskt lära sig det här väldigt viktiga ämnet.  I det här blogginlägget tänkte jag att vi fortsätter med några smarta knep för att lära sig mer effektivt samt att ha bra rutiner i sina studier.

Beskriv din egen process och lär dig mera

En av de allra bästa metoderna för att lära sig är att bedöma eller beskriva sin egen inlärningsprocess själv. Det finns t.o.m. forskning som tyder på att detta kanske är en av de allra största faktorerna för ökad inlärning (Se faktaruta till höger).

Så när du pluggar kan ett tips vara att skriva lite om hur det har gått under dagen, vad hade du svårt med? Vilka begrepp lärde du dig och vilka behöver du träna mera på? Det finns flera olika fördelar med detta, särskilt för dig som har svårt för matematik.

• Genom att skriva ner dina frågor hjälper du hjärnan att komma på svaret. Det finns exempel på där sådana frågor klarnar efter en natts sömn eller att man är extra redo för svaret när det väl dyker upp. Det är alltså viktigt att medvetandegöra sig själv om de frågor man har.
• Ett sätt att lära sig mycket och det snabbt och effektivt är att rätta sig själv. Testa att göra några uppgifter utan facit för att sedan försöka bedöma dessa uppgifter.
• Du kommer förstås även att på ett bättre vis se din egen inlärningsprocess. När du ser tillbaka på denna kommer du se att du har lärt dig mycket vilket ger dig självförtroende för att gå vidare.

Svårt att komma igång – Gör bra och enkla rutiner

I början av en ny kurs brukar jag alltid fråga mina elever vilket betyg de siktar på. Följdfrågan på detta är förstås hur de tror att de skall nå just dit? De allra vanligaste svaren brukar vara att jag skall plugga hårt, plugga mycket eller att hänga med hela tiden.

Det här är väldigt intressant för att det antagligen stämmer med hur du kan lyckas med en kurs i matematik. Men jag skulle vilja poängtera att det finns olika sätt som också varierar i effektivitetsgrad på hur du pluggar hårt! Det behöver inte låta så otroligt jobbigt och svåröverkomligt.

Mitt råd här är att istället för att plugga hårt dagen innan provet eller läxförhöret så plugga hårt genom att dela upp pluggandet i mindre pass men med en högre frekvens. Istället för att samla ihop allt i en stor hög så bestäm dig för att ta plugga matte 30 – 60 minuter per dag två eller tre dagar varje vecka.  Varje studiepass kommer då att kännas mer överkomligt och lätthanterligt. Dessutom ger du din hjärna tid att smälta ny kunskap och fördjupa denna.

Jag tycker själv att det är väldigt skönt att ha en smidig räknare enkelt tillgänglig på datorn då jag jobbar med matematik. Tänkte därför tips dig om några olika alternativ som både går att ladda ner från nätet eller att köra online för beräkningar.

Vår egen grafritande räknare och kalkylator

Matematikvideo har en egen kalkylator och grafräknare där du kan beräkna dina uträkningar och spara dem till senare. Dessutom kan du rita ut funktioners grafer och koordinatpunkter. Du hittar den på länken här ovan.

Desmos

Desmos kalkylator kan både beräkna uttryck och rita ut grafer. Den är ganska enkel att komma igång med och gör det enkelt för användaren att skriva i funktionsuttrycken.

Microsoft Mathematics

Det här programmet har egentligen bara en nackdel, det fungerar endast till windows då det är ett microsoftprogram. Annars är det min egna personliga favorit för tillfället då det är möjligt att inte bara göra beräkningar, rita grafer utan också att spara sina beräkningar och se dem på ett visuellt väldigt trevligt vis. Så har du en dator med windows så kan jag varmt rekommendera denna programvara:

Gå till Microsoft Mathematics

Wolfram Alpha

För dig som inte har windows så är ett bra alternativet wolframalpha som är en online räknare med enormt mycket kapacitet. Denna är gjord av företaget bakom programmet mathematica och de säljer även en pro variant av wolfram alpha. Dock klarar man sig galant på gratis varianten som kan göra allt som behövs för gymnasiestudenten.

Till wolfram alpha

Web 2.0 scientific calculator

Det sista tipset jag skulle vilja skicka ut i det här blogginlägget är egentligen bara en vanlig online räknare som det förstås finns mängder av ute på nätet. Anledningen till att jag tycker att det här är ett bra bokmärke är för att den visar beräkningarna på ett visuellt pedagogiskt vis.

Kolla gärna in Web 2.0 scientific calculator

Har du några favoriter vad det gäller räknare och datorer? Skriva gärna en kommentar så kan jag lägga till det i listan här.

Ett återkommande inslag varje år i svensk skola är de nationella proven. Jag vet att många elever tycker att dessa prov är tunga, långa och ganska ofta upplevs som svåra. Men de är också en bra möjlighet att visa sina kunskaper och att kanske ta det där sista betygssteget som du vill uppnå. I det här blogginlägget tänkte jag skicka ut mina bästa tips för att du som elev skall lyckas på ditt nationella prov i matematik.

Förberedelserna innan provet gör väldigt mycket

Bland det bästa jag vet som lärare är de där tillfällena då en elev bestämmer sig för att ta kontroll och lyckas med sina studier i matematik. Man kan nästan se i ögonen den där bestämdheten när eleven tar tag i det som behövs. Det är helt enkelt underbart att se när en elev lyfter sig, lär sig och förstår det där ekvationssystemet eller formeln.

Jag tror ju att alla har denna möjlighet om man själv vill. Så om du väl har bestämt dig och tänker lägga ner tid för att lyckas på ditt nationella prov så är det bra att förbereda sig så bra som möjligt. Några tips på vägen här kan vara att:

• Ladda ner ditt formelblad och se till att ”lära känna det” så slipper du leta efter den där formeln under själva provtillfället.
• Träna på 2 – 3 tidigare utgivna nationella prov. Det här är det absolut viktigaste sättet att repetera hela kursen. Dessutom får du på detta vis lite vana på hur uppgifterna formuleras.
• Förbered dig också innan med bra penna, sudd och räknare. Det är skönt att slippa springa runt och försöka låna en penna 2 minuter innan provet ;-).

Tips att ta med sig under själva provet

Så sitter man där med 2-3 timmard provskrivande framför sig och kanske känner att det finns andra saker man hellre skulle ha gjort. Ändå vill man kanske lyckas så bra som möjligt. Vad kan man då göra för att skriva så bra resultat som möjligt under själv provtillfället? Några tankar jag tycker att du skall ta med dig under själva provtillfället är tex att:

• Om du fastnar på en uppgift (vilket man nästan alltid gör) så stanna inte för länge på den utan gå vidare och återkom till den du känner att du har tid över. På det viset slipper du fastna alltför länge på en uppgift.
• Använd formelbladet så mycket som möjligt för att se om du kan få tips om en lösning eller se till att du skriver formeln rätt.
• Kontrollera gärna att ditt svar stämmer. Tex går alla ekvationer att kontrollera svaret på. I vissa fall (som när du jobbar med funktioner) kan du även kontrollera ditt svar med en grafritande räknare.

Slutligen, ett stort lycka till från oss på MatematikVideo.se

Slutligen så vill vi här på MatematikVideo.se önska alla kunder, besökare och elever ett jättestort lycka till och skicka ut en digital lyckospark till alla elever!

Har du mer tips? Dela gärna med dig av dessa i kommentarerna nedan.

Det är alltid intressant att konstatera att mycket förvirring som uppstår kring matematiska begrepp för gymnasieelever eller andra som lär sig matematik beror på att många beteckningar ser exakt likadana ut i matematiken men betyder helt olika saker.

Det här skapar problem och i det här blogginlägget tänkte jag lyfta fram tre sådana områden där lite förvirring kan uppstå så att det blir enklare för dig att hålla utkik efter dessa!

Negativt tal eller minus – Operation eller Beteckning?

Den första saken jag vill lyfta fram är skillnaden mellan beteckning av ett negativt tal och räkneoperationen minus. Bägge brukar betecknas med det som på tangentbordet kallas för bindestreck -. Men i själv verket är detta två olika saker. Ett tal som är negativt beskriver ett tal som är mindre än 0 och operationen minus innebär att du skall dra ifrån/subtrahera något från ett tal. Vi kan ta ett exempel:

• 9 – (-9) = 9 + 9 = 18, här är det första bindestrecket räkneoperationen subtraktion och det andra bindestrecket inom parantesen betecknar att vi har det negativa talet (-9).

En god vana här är att skriva negativa tal inom en parantes så att du håller koll på vad som är ett negativt tal och vad som är en räkneoperation.

En funktion som är y eller f(x)?

Nästa problem/förvirring är när man egentligen skall använda sig av y och när skall man använda sig av f(x) för att beskriva en funktion? Här gäller det att förstå att y = f(x), det vill det som du får ut när du beräknar funktionen f(x) kan beskrivas med y – värdet när du har två koordinataxlar. Ofta brukar ju böcker/prov/lärare variera just dessa två sätt att beteckna en funktion och det finns en poäng med detta då det är viktigt att förstå att dessa är lika med varandra.

Division eller bråk?

Ibland, men inte lika ofta som i fallet negativa tal, så blir det en aning förvirring mellan räkneoperationen division och beteckningen av ett bråktal. När är egentligen 3 femtedelar just 3 femtedelar och inte uppmaningen att dividera 3 med 5? Dessutom går det ju alldeles utmärkt att dividera två bråktal med varandra och få ett nytt bråktal. Det viktiga här är att ha koll på att division finns och att det liknar beteckningen av ett bråktal men när ett svar skall skrivas på bråkform är det viktigt att inte slå det på räknaren och skriva det i decimalform.

Tycker du att det finns fler områden där matematiken känns förvirrande eller där olika begrepp ”flyter ihop”? Kommentera gärna så reder vi ut det tillsammans!