Matematik 3

Mina Kursgrupper
MV Kurser

00:00

Dela

/ Derivatan och grafen

Derivata

Derivatans graf och Funktionens graf

Name: Derivatans graf och Funktionens graf - (Ma 3, Ma 4) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 3.41 (32 reviews)

Författare:Simon Rybrand

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Samband mellan derivatans graf och funktionens graf
Polynomfunktionens graf
Andraderivata – Derivata – Funktion
Exempel i videon
Kommentarer

Samband mellan derivatans graf och funktionens graf

Att representera en funktion med hjälp av en graf är något som man ofta gör. Om vi exempelvis har funktionen $f(x) = x^2 + 3x + 1$ så känns det ganska naturligt att denna funktion går att rita ut som en graf i ett koordinatsystem. Om vi deriverar f(x) så får vi derivatan $f’(x) = 2x + 3$ som i sig självt faktiskt är en linjär funktion som ritas ut som en rät linje i ett koordinatsystem. Mellan dessa bägge funktioner finns det förstås ett antal samband som genomgången behandlar.

Kortfattat kan dessa beskrivas enligt:

När andragradsfunktionen f(x) har en max-, eller minimipunkt så är dess derivata noll. Detta kommer i derivatans graf visas genom att dess graf där skär x – axeln.
När funktionen växer (ökar i y – värde) så kommer derivatan att vara positiv. Detta visar sig genom att derivatans graf där har ett positivt funktionsvärde (y – värde).
På samma vis är det när funktionen avtar (minskar i y – värde) där då derivatans graf kommer att ha ett negativt funktionsvärde.

Polynomfunktionens graf

För att lättare kunna avgöra vilken graf som tillhör vilket funktionsuttryck är det bra att ha lite koll på polynomfunktionens grad. Här är en sammanfattning och skissen är grovt generaliserade. Så tänk på att grafen till funktionerna varierar beroende på koefficienternas och konstantens värden. Om exempelvis grafens derivata har sammanfallande rötter kan extrempunkter sammanfalla, vilket leder till att grafens utseende förändras.

Andraderivata – Derivata – Funktion

På samma sätt som derivatan och funktionen har ovanstående samband så finns samma samband mellan derivatan och andraderivatan.
På det här viset kan man gå från andraderivata till derivata och därefter till funktionen för att se de olika sambanden mellan dessa och hur de representeras i grafer. Vi visar två exempel på detta i genomgången.

Exempel i videon

Två uppgifter där andraderivatan är beskriven som graf och där vi skissar derivata och funktion utifrån denna.
En uppgift där derivatan är beskriven och vi skissar möjliga funktioner utifrån denna.

Nästa lektion: Tillämpning Derivata – Optimeringsproblem

Kommentarer

Rasmus Mononen

2018-02-05

I uppgift 6 fås att rätt svarsalternativ är fel, men själva förklaringen säger att rätt alternativ är rätt.

// Rasmus

Simon Rybrand (Moderator)

2018-02-12

Vi korrigerar den uppgiften.

MatMar

2015-04-29

Det står i min mattebok ”Lös ekvationerna grafiskt.” Kan du svara på om det är med miniräknare de menar? Detta gäller polynomekvationer. Tack

Simon Rybrand (Moderator)

2015-05-01

Hej
Ja om du skall lösa ekvationen grafiskt så gäller det att antingen använda dig av en grafritande räknare eller ett datorprogram/onlinelösning för att lösa ekvationen. Det går förstås att skissa upp funktionen själv men det är lite mer tidskrävande.

jaalle

2013-05-07

Hej Simon!
jag fått en matematik fråga om derivata och linjär funktion men jag förstår inte riktigt så här är frågan ”förklara på två olika sätt varför derivatan till en linjär funktion är konstant”
a) förklara med hjälp av en graf?
b) förklara med hjälp av derivatans definition?

Simon Rybrand (Moderator)

2013-05-07

Hej, derivata beskriver ju förändringshastigheten för en funktion men kan också beskrivas som tangentens lutning i en punkt. En rät linje har ju inga tangenter på samma vis utan har samma lutning överallt på linjen, därför kommer derivatan att vara samma i alla punkter,dvs den är konstant.

När du skall använda derivatans definition
$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
för att förklara detta kan du om du vill utgå från ett exempel på en rät linje, tex y= 3x+1, eller från räta linjens ekvation y = kx + m och beräkna derivatan för denna med hjälp av definitionen. Kika gärna på genomgången om derivatans definition för mer förklaring där.

nti_ma3

2013-01-03

varför är inte svaret 0 på uppgift 3, är det inte i origo derivatan korsar x axeln? för att om svaret blir 1 då är ju derivatan konstant under x axeln och parallell med den men korsar inte den, vet inte om jag förstod frågan exakt, behöver lite mer förklaring på det

Simon Rybrand (Moderator)

2012-11-08

Hej, metoden här är att derivera och sedan ta reda på när derivatan är 0.

Scaleform2012

2012-11-07

Behöver alltså hjälp med talet ovan hur man kom fram till svaret.

Endast Premium-användare kan kommentera.

Träna mer

E
0/4
C
0/10
A
0/9

Totalpoäng

0/23

e-uppgifter (4)

1.
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Vilken grad har andraderivatan till funktionen $f(x) = 2x^3 + 2x + 1$ ?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: andraderivatantillfunktionenärenförstagradsfunktion,alltsågrad $1$ .
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B

Rättad
Rättar...
2.
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

I koordinatsystemet ser du grafen till funktionen $f(x)$ ƒ (x).

Ange $x$ x -värdet där grafen till $f'(x)$ ƒ ´(x) skär $x$ x -axeln.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Då $x=1$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( $x=1$ )

Rättad
Rättar...
3.
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Figuren visar grafen till derivatan $f'\left(x\right)$ ƒ ´(x) till andragradsfunktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x).

Ange det $x$ x -värdet där funktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x) har en extrempunkt.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: För $x=-2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( $x=-2$ )

Rättad
Rättar...

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Figuren visar grafen till derivatan $f'\left(x\right)$ ƒ ´(x) till andragradsfunktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x).

Ange karaktären på extrempunkten för $f\left(-2\right)$ ƒ (−2).

Alltså är den en minimi- eller maximipunkt?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Den är en minimipunkt.
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( Minimipunkt )

Rättad
Rättar...

c-uppgifter (4)

5. Premium
(0/1/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Figuren visar grafen till derivatan $f'\left(x\right)$ ƒ ´(x) till andragradsfunktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x).

Är funktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x) växande eller avtagande för $x=-1$ x=−1?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Funktionen $f\left(x\right)$ är växande i $x=-1$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Korrekt svar. ( Växande )

Rättad
Rättar...
6. Premium
(0/2/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K 1

I koordinatsystemet nedan ser du grafen till derivatan $y=f'\left(x\right)$ y=ƒ ´(x) för en fjärdegradsfunktion $f\left(x\right)$ ƒ (x).

För vilket $x$ x -värde har funktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x) en minimipunkt?

Ange svaret x= , men träna på att motivera ditt svar.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: För $x=1$ , eftersom att derivatan har teckenväxlingen negativ-noll- positiv kring $x=1$ .
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Korrekt svar. ( $x=1$ )
+1 c_K Eleven motiverar på en nivå som motsvarar nivå C, tex med hjälp av en teckentabell eller resonemang kring att derivatas teckenväxling kring en extrempunkt.

Rättad
Se mer: Derivatan och grafen
Rättar...
7. Premium
(0/2/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K

I koordinatsystemet är graferna till $f(x)$ ƒ (x), $f'(x)$ ƒ ´(x) och $f''(x)$ ƒ ´´(x) inritade.

Vilken färg har förstaderivatans graf?

Träna på att motivera ditt svar.
- Blå.
- Grön.
- Röd.
- De kan inte vara de tre funktionerna $f(x)$ , $f'(x)$ och $f''(x)$ som är ritade i koordinatsystemet.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_B Korrekt val. (Grön)
- +1 c_R Godtagbart resonemang som leder till korrekt svar.
- Rättad
Rättar...
8. Premium
(0/1/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Figuren visar grafen till funktionen $f'(x)$ . Välj det alternativ du anser stämmer då $f'(x)$ är funktionen $f(x)$ derivata.

Träna även på att motivera ditt svar.
- Funktionen $f(x)$ har en maximipunkt då $x=2$ .
- Funktionen $f(x)$ har en minimipunkt då $x=2,5$ .
- Funktionen $f(x)$ har en maximipunkt då $x=3$ .
- Vi kan inte veta något säkert om $f(x)$ genom att studera funktionen $f'(x)$ .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_B
- Rättad
Rättar...

a-uppgifter (5)

9. Premium
(0/1/1)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K 1

I koordinatsystemet visas $y=f(x)$ .

Välj det påstående du anser säkert stämmer.

Motivera ditt val.
- $f(-2)=0$ och $f'(-2)<0$
- $f(0)<0$ och $f'(0)=0$
- $f(1)<0$ och $f'(1)>0$
- $f(2)=0$ och $f'(2)<0$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_K
- +1 a_B
- Rättad
Rättar...
10. Premium
(0/1/2)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K 1

I koordinatsystemet ser vi grafen till funktionen $y=f'(x)$ .

Vilket funktionsuttryck motsvarar $f(x)$ om vi vet att punkten $(1,\,-4)$ tillhör grafen $f(x)$ ?

Träna på att motivera ditt svar.
- $f(x)=2x-2$
- $f'(x)=x^2-2x-3$
- $f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-3x-\frac{1}{3}$
- $f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-3x-3$
- $f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-3x$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_P
- +1 a_PL
- +1 a_K
- Rättad
Rättar...

11. Premium

(0/2/2)

	C	A
B	1
P	1
PL		1
M
R		1
K

I koordinatsystemet ser vi graferna till $f'(x)$ ƒ ´(x) och $f''(x)$ ƒ ´´(x) .

Bestäm $a$ a och $b$ b då $f(x)=ax^2+bx$ ƒ (x)=ax²+bx.

Två räta linjer

Svara på formen a= och b= .

Svar:

Ditt svar:

Rätt svar:

a=3

och

b=-3

()

Bedömningsanvisningar/Manuell rättning

+1 c_B Visar förståelde för att graferna motsvarar $f\left(x\right)$ derivata och andraderivata.
+1 c_P Anger ett korrekt värde på antingen $a$ eller $b$ .
+1 a_PL Redovisad lösning med korrekt svar. ( $a=3$ och $b=-3$ )
+1 a_R Tydligt och nyanserat resonemang som leder till ett korrekt svar.
Rättad

12. Premium
(0/0/1)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K
NP

Funktionen $f$ ƒ  har derivatan $f'$ ƒ ´. Figuren nedan visar grafen till $f'$ ƒ ´.

Avgör vilket påstående A-F som alltid är sant.

A. $f\left(2\right)$ ƒ (2) är positiv

B.    $f\left(2\right)-f\left(0\right)$ ƒ (2)−ƒ (0) är positiv

C.    $f\left(1\right)$ ƒ (1) är noll

D. $f\left(2\right)$ ƒ (2) är noll

E. $f\left(1\right)-f\left(2\right)$ ƒ (1)−ƒ (2) är positiv

F. $f\left(0\right)-f\left(1\right)$ ƒ (0)−ƒ (1) är positiv
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Alternativ B
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_B Korrket svar. ( Alternativ B )

Rättad
Se mer: Växande och avtagande funktioner
Rättar...
13. Premium
(0/0/3)
E C A

B

P

PL

M

R 3

K
För en tredjegradsfunktion $f$ ƒ gäller att
- $f'(0)=3$ ƒ ´(0)=3
- $f''(2)=0$ ƒ ´´(2)=0
Bestäm $f'(4)$ ƒ ´(4)
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $f'\left(4\right)=3$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_R Godtagbar ansats. (T.ex.förklarar att derivatan är en andragradsekvation med extrempunkt då $x=2$ )
+1 a_R Godtagbart slutfört resonemang. (T.ex utifrån symmetrilinjen)
+1 a_R Lösningen kommuniceras på A-nivå med korrekta matematiska symboler och begrepp.

Rättad
Se mer: Nollställen och Symmetrilinje
Rättar...

Nästa lektion: Tillämpning Derivata – Optimeringsproblem

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

Eddler AB
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
info@eddler.se

Säker SSL-server

Vad är detta?

Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)

Förhandsvisning Latex:

Latexkod:

Matematik 3

Välj kurs

KURSER /

Matematik 3

/ Derivatan och grafen

Derivatans graf och Funktionens graf

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Rasmus Mononen

Simon Rybrand (Moderator)

MatMar

Simon Rybrand (Moderator)

jaalle

Simon Rybrand (Moderator)

nti_ma3

Simon Rybrand (Moderator)

Scaleform2012

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

12. Premium

13. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...