...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Trigonometri och trigonometriska funktioner

Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus är mycket användbara vid omskrivningar av trigonometriska uttryck. De kan också användas för att ta fram vissa exakta värden, som inte finns med i tabellen i formelsamlingen. Dessutom behövs de för att härleda deriveringsregler för trigonometriska funktioner.

Additions- och subtraktionsformler

 $\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$sin(u+v)=sinucosv+cosusinv 
 $\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$sin(uv)=sinucosvcosusinv 
 $\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$cos(u+v)=cosucosvsinusinv 
 $\cos\left(u-v\right)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$cos(uv)=cosucosv+sinusinv 

Exempel 1

Förenkla och beräkna exakt  $\sin95^{\circ}\cos35^{\circ}-\cos95^{\circ}\sin35^{\circ}$sin95cos35cos95sin35.

Lösning

Vi förenklar med hjälp av subtraktionsformeln för sinus.
 $\sin95^{\circ}\cos35^{\circ}-\cos95^{\circ}\sin35^{\circ}=\sin\left(95^{\circ}-35^{\circ}\right)=\sin60^{\circ}$sin95cos35cos95sin35=sin(9535)=sin60  

Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet, och ser att  $\sin60^{\circ}=$sin60=$\frac{\sqrt{3}}{2}$32 .

Exempel 2

Visa att  $\frac{\cos\left(u+v\right)}{\cos u\cos v}=$cos(u+v)cosucosv = $1-\tan u\tan v$1tanutanv 

Lösning

Vi skriver om västerledet med hjälp av additionsformeln för cosinus.

VL:  $\frac{\cos\left(u+v\right)}{\cos u\text{ }\cos v}=$cos(u+v)cosu cosv = $\frac{\cos u\cos v-\sin u\text{ }\sin v}{\cos u\text{ }\cos v}=$cosucosvsinu sinvcosu cosv =  $\frac{\cos u\cos v}{\cos u\text{ }\cos v}-\frac{\sin u\text{ }\sin v}{\cos u\text{ }\cos v}=$cosucosvcosu cosv sinu sinvcosu cosv =  $1-\frac{\sin u}{\cos u}\cdot\frac{\sin v}{\cos v}=$1sinucosu ·sinvcosv = $1-\tan u\text{ }\tan v$1tanu tanv 

HL:  $1-\tan u\tan v$1tanutanv 

VL = HL   v.s.v

Additions- och subtraktionsformlerna kan härledas på flera olika sätt. Här visas en av formlerna utifrån geometriska förhållanden i enhetscirkeln, och därefter kan de övriga tre härledas.

Härledning av subtraktionsformeln för cosinus

Vi utgår från enhetscirkeln och markerar två punkter på cirkelns rand samt tillhörande vinklar och koordinater.

Vi drar nu en linje mellan de två punkterna och kallar längden för $d$d. Den motstående vinkeln är  $u-v$uv.

Vi kan nu uttrycka $d^2$d2 på två olika sätt, med hjälp av tidigare kända formler:

Cosinussatsen anger ett samband mellan de tre sidorna i en triangel samt en av vinklarna. I detta fall får vi
 $d^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\left(u-v\right)=$d2=12+122·1·1·cos(uv)= $2-2\cos\left(u-v\right)$22cos(uv)  

Avståndet $d$d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x1, y1) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x2, y2) ges av avståndsformeln:  $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=(x2x1)2+(y2y1)2 .
I detta fall är punkten  $\left(x_1,\text{ }y_1\right)=\left(\cos v,\sin v\right)$(x1, y1)=(cosv,sinv)  och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)=\left(\cos u,\sin u\right)$(x2, y2)=(cosu,sinu) vilket ger
 $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}=$d=(x2x1)2+(y2y1)2= $\sqrt{\left(\cos u-\cos v\right)^2+\left(\sin u-\sin v\right)^2}$(cosucosv)2+(sinusinv)2  
 $d^2=\left(\cos u-\cos v\right)^2+\left(\sin u-\sin v\right)^2$d2=(cosucosv)2+(sinusinv)2 

Vi använder andra kvadreringsregeln, och utvecklar parenteserna.
 $d^2=\cos^2u-2\cos u\cos v+\cos^2v+\sin^2u-2\sin u\sin v+\sin^2v$d2=cos2u2cosucosv+cos2v+sin2u2sinusinv+sin2v 

Vi flyttar om termerna i högerledet, och ser att trigonometriska ettan finns på två ställen.
 $d^2=\left(\sin^2u+\cos^2u\right)-2\cos u\cos v+\left(\sin^2v+\cos^2v\right)-2\sin u\sin v$d2=(sin2u+cos2u)2cosucosv+(sin2v+cos2v)2sinusinv 
 $d^2=1-2\cos u\cos v+1-2\sin u\sin v$d2=12cosucosv+12sinusinv 

Vi sätter uttrycken för  $d^2$d2  från cosinussatsen och avståndsformlen lika med varandra, och förenklar.
 $2-2\cos\left(u-v\right)=$22cos(uv)= $1-2\cos u\cos v+1-2\sin u\sin v$12cosucosv+12sinusinv  
 $-2\cos\left(u-v\right)=$2cos(uv)= $-2\cos u\cos v-2\sin u\sin v$2cosucosv2sinusinv  
 $\cos\left(u-v\right)=$cos(uv)= $\cos u\cos v+\sin u\sin v$cosucosv+sinusinv  
Detta är subtraktionsformeln för cosinus.

Härledning av additionsformeln för cosinus

Vi skriver om   $\cos\left(u+v\right)=$cos(u+v)= $\cos\left(u-\left(-v\right)\right)$cos(u(v))  

Subtraktionsformeln för cosinus ger då att
 $\cos\left(u-\left(-v\right)\right)=$cos(u(v))= $\cos u\cos\left(-v\right)+\sin u\sin\left(-v\right)$cosucos(v)+sinusin(v)  

Vi vet att  $\cos\left(-v\right)=\cos v$cos(v)=cosv  och  $\sin\left(-v\right)=-\sin v$sin(v)=sinv.

 $\cos\left(u-\left(-v\right)\right)=$cos(u(v))= $\cos u\cos v+\sin u\left(-\sin v\right)$cosucosv+sinu(sinv)  
 $\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$cos(u+v)=cosucosvsinusinv 
Detta är additionsformeln för cosinus.

Härledning av additionsformeln för sinus

Vi använder att  $\cos\left(90^{\circ}-x\right)=\sin x$cos(90x)=sinx  och skriver om  $\sin\left(u+v\right)$sin(u+v):
 $\sin\left(u+v\right)=$sin(u+v)= $\cos\left(90^{\circ}-\left(u+v\right)\right)=$cos(90(u+v))= $\cos\left(90^{\circ}-u-v\right)=$cos(90uv)=  $\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)$cos((90u)v)   

Subtraktionsformeln för cosinus ger
 $\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)=$cos((90u)v)= $\cos\left(90^{\circ}-u\right)\cos v+\sin\left(90^{\circ}-u\right)\sin v$cos(90u)cosv+sin(90u)sinv  

Vi använder återigen att  $\cos\left(90^{\circ}-x\right)=\sin x$cos(90x)=sinx  samt att  $\sin\left(90^{\circ}-x\right)=\cos x$sin(90x)=cosx :
 $\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)=$cos((90u)v)= $\sin u\cos v+\cos u\sin v$sinucosv+cosusinv  

 $\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$sin(u+v)=sinucosv+cosusinv 
Detta är additionsformeln för sinus.

Härledning av subtraktionsformeln för sinus

Vi skriver om  $\sin\left(u-v\right)=$sin(uv)= $\sin\left(u+\left(-v\right)\right)$sin(u+(v))  

Additionsformeln för sinus ger då att
 $\sin\left(u+\left(-v\right)\right)=$sin(u+(v))= $\sin u\cos\left(-v\right)+\cos u\sin\left(-v\right)$sinucos(v)+cosusin(v)  

Vi vet att  $\cos\left(-v\right)=\cos v$cos(v)=cosv  och  $\sin\left(-v\right)=-\sin v$sin(v)=sinv.
 $\sin\left(u+\left(-v\right)\right)=$sin(u+(v))= $\sin u\cos v+\cos u\left(-\sin v\right)$sinucosv+cosu(sinv)  
 $\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$sin(uv)=sinucosvcosusinv 
Detta är subtraktionsformeln för sinus.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla  $\sin\left(v+30^{\circ}\right)-\sin\left(v-30^{\circ}\right)$sin(v+30)sin(v30).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna exakt  $\cos200^{\circ}\cos20^{\circ}+\sin200^{\circ}\sin20^{\circ}$cos200cos20+sin200sin20.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna exakt  $\sin170^{\circ}\cos20^{\circ}-\cos170^{\circ}\sin20^{\circ}$sin170cos20cos170sin20 .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna exakt  $4\cos75^{\circ}$4cos75.

     

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Visa algebraiskt att  $\cos\left(90^{\circ}-v\right)=\sin v$cos(90v)=sinv.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla  $\frac{\sin u\cos v}{\sin\left(u+v\right)+\sin\left(u-v\right)}$sinucosvsin(u+v)+sin(uv)  .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla  $\frac{\cos\left(x+v\right)-\cos\left(x-v\right)}{\cos x\sin v}$cos(x+v)cos(xv)cosxsinv  .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna exakt $\tan15^{\circ}$tan15.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Visa att  $\sin\left(x+30^{\circ}\right)\cdot\cos\left(x+45^{\circ}\right)=$sin(x+30)·cos(x+45)=$\frac{1-\sin2x}{2}$1sin2x2 .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 10. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/1)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Visa att  $\tan\left(u+v\right)=$tan(u+v)= $\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u\tan v}$tanu+tanv1tanutanv  .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se