Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus
Innehåll
Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus är mycket användbara vid omskrivningar av trigonometriska uttryck. De kan också användas för att ta fram vissa exakta värden, som inte finns med i tabellen i formelsamlingen. Dessutom behövs de för att härleda deriveringsregler för trigonometriska funktioner.
Additions- och subtraktionsformler
$\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$sin(u+v)=sinucosv+cosusinv
$\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$sin(u−v)=sinucosv−cosusinv
$\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$cos(u+v)=cosucosv−sinusinv
$\cos\left(u-v\right)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$cos(u−v)=cosucosv+sinusinv
Exempel 1
Förenkla och beräkna exakt $\sin95^{\circ}\cos35^{\circ}-\cos95^{\circ}\sin35^{\circ}$sin95∘cos35∘−cos95∘sin35∘.
Lösning
Vi förenklar med hjälp av subtraktionsformeln för sinus.
$\sin95^{\circ}\cos35^{\circ}-\cos95^{\circ}\sin35^{\circ}=\sin\left(95^{\circ}-35^{\circ}\right)=\sin60^{\circ}$sin95∘cos35∘−cos95∘sin35∘=sin(95∘−35∘)=sin60∘
Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet, och ser att $\sin60^{\circ}=$sin60∘=$\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 .
Exempel 2
Visa att $\frac{\cos\left(u+v\right)}{\cos u\cos v}=$cos(u+v)cosucosv = $1-\tan u\tan v$1−tanutanv
Lösning
Vi skriver om västerledet med hjälp av additionsformeln för cosinus.
VL: $\frac{\cos\left(u+v\right)}{\cos u\text{ }\cos v}=$cos(u+v)cosu cosv = $\frac{\cos u\cos v-\sin u\text{ }\sin v}{\cos u\text{ }\cos v}=$cosucosv−sinu sinvcosu cosv = $\frac{\cos u\cos v}{\cos u\text{ }\cos v}-\frac{\sin u\text{ }\sin v}{\cos u\text{ }\cos v}=$cosucosvcosu cosv −sinu sinvcosu cosv = $1-\frac{\sin u}{\cos u}\cdot\frac{\sin v}{\cos v}=$1−sinucosu ·sinvcosv = $1-\tan u\text{ }\tan v$1−tanu tanv
HL: $1-\tan u\tan v$1−tanutanv
VL = HL v.s.v
Additions- och subtraktionsformlerna kan härledas på flera olika sätt. Här visas en av formlerna utifrån geometriska förhållanden i enhetscirkeln, och därefter kan de övriga tre härledas.
Härledning av subtraktionsformeln för cosinus
Vi utgår från enhetscirkeln och markerar två punkter på cirkelns rand samt tillhörande vinklar och koordinater.
Vi drar nu en linje mellan de två punkterna och kallar längden för $d$d. Den motstående vinkeln är $u-v$u−v.
Vi kan nu uttrycka $d^2$d2 på två olika sätt, med hjälp av tidigare kända formler:
Cosinussatsen anger ett samband mellan de tre sidorna i en triangel samt en av vinklarna. I detta fall får vi
$d^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\left(u-v\right)=$d2=12+12−2·1·1·cos(u−v)= $2-2\cos\left(u-v\right)$2−2cos(u−v)
Avståndet $d$d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x1, y1) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x2, y2) ges av avståndsformeln: $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2 .
I detta fall är punkten $\left(x_1,\text{ }y_1\right)=\left(\cos v,\sin v\right)$(x1, y1)=(cosv,sinv) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)=\left(\cos u,\sin u\right)$(x2, y2)=(cosu,sinu) vilket ger
$d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}=$d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2= $\sqrt{\left(\cos u-\cos v\right)^2+\left(\sin u-\sin v\right)^2}$√(cosu−cosv)2+(sinu−sinv)2
$d^2=\left(\cos u-\cos v\right)^2+\left(\sin u-\sin v\right)^2$d2=(cosu−cosv)2+(sinu−sinv)2
Vi använder andra kvadreringsregeln, och utvecklar parenteserna.
$d^2=\cos^2u-2\cos u\cos v+\cos^2v+\sin^2u-2\sin u\sin v+\sin^2v$d2=cos2u−2cosucosv+cos2v+sin2u−2sinusinv+sin2v
Vi flyttar om termerna i högerledet, och ser att trigonometriska ettan finns på två ställen.
$d^2=\left(\sin^2u+\cos^2u\right)-2\cos u\cos v+\left(\sin^2v+\cos^2v\right)-2\sin u\sin v$d2=(sin2u+cos2u)−2cosucosv+(sin2v+cos2v)−2sinusinv
$d^2=1-2\cos u\cos v+1-2\sin u\sin v$d2=1−2cosucosv+1−2sinusinv
Vi sätter uttrycken för $d^2$d2 från cosinussatsen och avståndsformlen lika med varandra, och förenklar.
$2-2\cos\left(u-v\right)=$2−2cos(u−v)= $1-2\cos u\cos v+1-2\sin u\sin v$1−2cosucosv+1−2sinusinv
$-2\cos\left(u-v\right)=$−2cos(u−v)= $-2\cos u\cos v-2\sin u\sin v$−2cosucosv−2sinusinv
$\cos\left(u-v\right)=$cos(u−v)= $\cos u\cos v+\sin u\sin v$cosucosv+sinusinv
Detta är subtraktionsformeln för cosinus.
Härledning av additionsformeln för cosinus
Vi skriver om $\cos\left(u+v\right)=$cos(u+v)= $\cos\left(u-\left(-v\right)\right)$cos(u−(−v))
Subtraktionsformeln för cosinus ger då att
$\cos\left(u-\left(-v\right)\right)=$cos(u−(−v))= $\cos u\cos\left(-v\right)+\sin u\sin\left(-v\right)$cosucos(−v)+sinusin(−v)
Vi vet att $\cos\left(-v\right)=\cos v$cos(−v)=cosv och $\sin\left(-v\right)=-\sin v$sin(−v)=−sinv.
$\cos\left(u-\left(-v\right)\right)=$cos(u−(−v))= $\cos u\cos v+\sin u\left(-\sin v\right)$cosucosv+sinu(−sinv)
$\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$cos(u+v)=cosucosv−sinusinv
Detta är additionsformeln för cosinus.
Härledning av additionsformeln för sinus
Vi använder att $\cos\left(90^{\circ}-x\right)=\sin x$cos(90∘−x)=sinx och skriver om $\sin\left(u+v\right)$sin(u+v):
$\sin\left(u+v\right)=$sin(u+v)= $\cos\left(90^{\circ}-\left(u+v\right)\right)=$cos(90∘−(u+v))= $\cos\left(90^{\circ}-u-v\right)=$cos(90∘−u−v)= $\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)$cos((90∘−u)−v)
Subtraktionsformeln för cosinus ger
$\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)=$cos((90∘−u)−v)= $\cos\left(90^{\circ}-u\right)\cos v+\sin\left(90^{\circ}-u\right)\sin v$cos(90∘−u)cosv+sin(90∘−u)sinv
Vi använder återigen att $\cos\left(90^{\circ}-x\right)=\sin x$cos(90∘−x)=sinx samt att $\sin\left(90^{\circ}-x\right)=\cos x$sin(90∘−x)=cosx :
$\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)=$cos((90∘−u)−v)= $\sin u\cos v+\cos u\sin v$sinucosv+cosusinv
$\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$sin(u+v)=sinucosv+cosusinv
Detta är additionsformeln för sinus.
Härledning av subtraktionsformeln för sinus
Vi skriver om $\sin\left(u-v\right)=$sin(u−v)= $\sin\left(u+\left(-v\right)\right)$sin(u+(−v))
Additionsformeln för sinus ger då att
$\sin\left(u+\left(-v\right)\right)=$sin(u+(−v))= $\sin u\cos\left(-v\right)+\cos u\sin\left(-v\right)$sinucos(−v)+cosusin(−v)
Vi vet att $\cos\left(-v\right)=\cos v$cos(−v)=cosv och $\sin\left(-v\right)=-\sin v$sin(−v)=−sinv.
$\sin\left(u+\left(-v\right)\right)=$sin(u+(−v))= $\sin u\cos v+\cos u\left(-\sin v\right)$sinucosv+cosu(−sinv)
$\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$sin(u−v)=sinucosv−cosusinv
Detta är subtraktionsformeln för sinus.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Förenkla $\sin\left(v+30^{\circ}\right)-\sin\left(v-30^{\circ}\right)$sin(v+30∘)−sin(v−30∘).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
2. Premium
Beräkna exakt $\cos200^{\circ}\cos20^{\circ}+\sin200^{\circ}\sin20^{\circ}$cos200∘cos20∘+sin200∘sin20∘.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
3. Premium
Beräkna exakt $\sin170^{\circ}\cos20^{\circ}-\cos170^{\circ}\sin20^{\circ}$sin170∘cos20∘−cos170∘sin20∘ .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
4. Premium
Beräkna exakt $4\cos75^{\circ}$4cos75∘.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
5. Premium
Visa algebraiskt att $\cos\left(90^{\circ}-v\right)=\sin v$cos(90∘−v)=sinv.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
c-uppgifter (4)
-
6. Premium
Förenkla $\frac{\sin u\cos v}{\sin\left(u+v\right)+\sin\left(u-v\right)}$sinucosvsin(u+v)+sin(u−v) .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
7. Premium
Förenkla $\frac{\cos\left(x+v\right)-\cos\left(x-v\right)}{\cos x\sin v}$cos(x+v)−cos(x−v)cosxsinv .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
8. Premium
Beräkna exakt $\tan15^{\circ}$tan15∘.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
9. Premium
Visa att $\sin\left(x+30^{\circ}\right)\cdot\cos\left(x+45^{\circ}\right)=$sin(x+30∘)·cos(x+45∘)=$\frac{1-\sin2x}{2}$1−sin2x2 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
a-uppgifter (1)
-
10. Premium
Visa att $\tan\left(u+v\right)=$tan(u+v)= $\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u\tan v}$tanu+tanv1−tanutanv .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Endast Premium-användare kan kommentera.