Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus

Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus är mycket användbara vid omskrivningar av trigonometriska uttryck. De kan också användas för att ta fram vissa exakta värden, som inte finns med i tabellen i formelsamlingen. Dessutom behövs de för att härleda deriveringsregler för trigonometriska funktioner.

Additions- och subtraktionsformlerna kan härledas på flera olika sätt. Här visas en av formlerna utifrån geometriska förhållanden i enhetscirkeln, och därefter kan de övriga tre härledas.

Vi utgår från enhetscirkeln och markerar två punkter på cirkelns rand samt tillhörande vinklar och koordinater.

Vi drar nu en linje mellan de två punkterna och kallar längden för $d$d. Den motstående vinkeln är  $u-v$u−v.

Vi kan nu uttrycka $d^2$d² på två olika sätt, med hjälp av tidigare kända formler:

Cosinussatsen anger ett samband mellan de tre sidorna i en triangel samt en av vinklarna. I detta fall får vi
 $d^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\left(u-v\right)=$d²=1²+1²−2·1·1·cos(u−v)= $2-2\cos\left(u-v\right)$2−2cos(u−v)  

Avståndet $d$d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x₁, y₁) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x₂, y₂) ges av avståndsformeln:  $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=√(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)² .
I detta fall är punkten  $\left(x_1,\text{ }y_1\right)=\left(\cos v,\sin v\right)$(x₁, y₁)=(cosv,sinv)  och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)=\left(\cos u,\sin u\right)$(x₂, y₂)=(cosu,sinu) vilket ger
 $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}=$d=√(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²= $\sqrt{\left(\cos u-\cos v\right)^2+\left(\sin u-\sin v\right)^2}$√(cosu−cosv)²+(sinu−sinv)²  
 $d^2=\left(\cos u-\cos v\right)^2+\left(\sin u-\sin v\right)^2$d²=(cosu−cosv)²+(sinu−sinv)² 

Vi använder andra kvadreringsregeln, och utvecklar parenteserna.
 $d^2=\cos^2u-2\cos u\cos v+\cos^2v+\sin^2u-2\sin u\sin v+\sin^2v$d²=cos²u−2cosucosv+cos²v+sin²u−2sinusinv+sin²v 

Vi flyttar om termerna i högerledet, och ser att trigonometriska ettan finns på två ställen.
 $d^2=\left(\sin^2u+\cos^2u\right)-2\cos u\cos v+\left(\sin^2v+\cos^2v\right)-2\sin u\sin v$d²=(sin²u+cos²u)−2cosucosv+(sin²v+cos²v)−2sinusinv 
 $d^2=1-2\cos u\cos v+1-2\sin u\sin v$d²=1−2cosucosv+1−2sinusinv 

Vi sätter uttrycken för  $d^2$d²  från cosinussatsen och avståndsformlen lika med varandra, och förenklar.
 $2-2\cos\left(u-v\right)=$2−2cos(u−v)= $1-2\cos u\cos v+1-2\sin u\sin v$1−2cosucosv+1−2sinusinv  
 $-2\cos\left(u-v\right)=$−2cos(u−v)= $-2\cos u\cos v-2\sin u\sin v$−2cosucosv−2sinusinv  
 $\cos\left(u-v\right)=$cos(u−v)= $\cos u\cos v+\sin u\sin v$cosucosv+sinusinv  
Detta är subtraktionsformeln för cosinus.

Vi skriver om   $\cos\left(u+v\right)=$cos(u+v)= $\cos\left(u-\left(-v\right)\right)$cos(u−(−v))  

Subtraktionsformeln för cosinus ger då att
 $\cos\left(u-\left(-v\right)\right)=$cos(u−(−v))= $\cos u\cos\left(-v\right)+\sin u\sin\left(-v\right)$cosucos(−v)+sinusin(−v)  

Vi vet att  $\cos\left(-v\right)=\cos v$cos(−v)=cosv  och  $\sin\left(-v\right)=-\sin v$sin(−v)=−sinv.

 $\cos\left(u-\left(-v\right)\right)=$cos(u−(−v))= $\cos u\cos v+\sin u\left(-\sin v\right)$cosucosv+sinu(−sinv)  
 $\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$cos(u+v)=cosucosv−sinusinv 
Detta är additionsformeln för cosinus.

Vi använder att  $\cos\left(90^{\circ}-x\right)=\sin x$cos(90^∘−x)=sinx  och skriver om  $\sin\left(u+v\right)$sin(u+v):
 $\sin\left(u+v\right)=$sin(u+v)= $\cos\left(90^{\circ}-\left(u+v\right)\right)=$cos(90^∘−(u+v))= $\cos\left(90^{\circ}-u-v\right)=$cos(90^∘−u−v)=  $\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)$cos((90^∘−u)−v)   

Subtraktionsformeln för cosinus ger
 $\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)=$cos((90^∘−u)−v)= $\cos\left(90^{\circ}-u\right)\cos v+\sin\left(90^{\circ}-u\right)\sin v$cos(90^∘−u)cosv+sin(90^∘−u)sinv  

Vi använder återigen att  $\cos\left(90^{\circ}-x\right)=\sin x$cos(90^∘−x)=sinx  samt att  $\sin\left(90^{\circ}-x\right)=\cos x$sin(90^∘−x)=cosx :
 $\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)=$cos((90^∘−u)−v)= $\sin u\cos v+\cos u\sin v$sinucosv+cosusinv  

 $\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$sin(u+v)=sinucosv+cosusinv 
Detta är additionsformeln för sinus.

Vi skriver om  $\sin\left(u-v\right)=$sin(u−v)= $\sin\left(u+\left(-v\right)\right)$sin(u+(−v))  

Additionsformeln för sinus ger då att
 $\sin\left(u+\left(-v\right)\right)=$sin(u+(−v))= $\sin u\cos\left(-v\right)+\cos u\sin\left(-v\right)$sinucos(−v)+cosusin(−v)  

Vi vet att  $\cos\left(-v\right)=\cos v$cos(−v)=cosv  och  $\sin\left(-v\right)=-\sin v$sin(−v)=−sinv.
 $\sin\left(u+\left(-v\right)\right)=$sin(u+(−v))= $\sin u\cos v+\cos u\left(-\sin v\right)$sinucosv+cosu(−sinv)  
 $\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$sin(u−v)=sinucosv−cosusinv 
Detta är subtraktionsformeln för sinus.