Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2
/ Algebra – Matematik 2
Fördjupning av faktorisering
Den här lektionen fokuserar på fördjupning av faktorisering. Vi går inte igenom några nya begrepp, utan bara några svårare uppgifter. Vi löser uppgifterna med bland annat potensregler och konjugat- och kvadreringsregeln.
Denna lektionen är i första hand för den som vill fördjupa sina kunskaper och satsar på de högre betygen.
I genomgången använder vi följande potensregler.
Potensregel
$a^xa^y=a^{x+y}$
Konjugatregeln
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Kvadreringsreglerna
$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $
$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $
Kom ihåg att hela termerna ska kvadreras. Därför är det viktigt att komma ihåg att om en term består av flera faktorer gäller potensreglen $\left(a\cdot b\right)^2=a^2b^2$(a·b)2=a2b2.
Fördjupning av faktorisering
Återvänt till tidigare lektioner för att få grunderna och repetera teorin. Här går vi direkt på några exempel.
Exempel 1
Faktorisera och förenkla uttrycket $\frac{5a^2-25a}{10ab}$5a2−25a10ab så långt som möjligt.
Lösning
Vi börjar med att faktorisera täljaren genom att bryta ut $5a$5a.
$\frac{5a^2-25a}{10ab}=\frac{5a\left(a-5\right)}{10ab}$5a2−25a10ab =5a(a−5)10ab
Vi kan nu förkorta kvoten då vi nu har faktorer i stället för termer.
$\frac{5a\left(a-5\right)}{10ab}=\frac{5\cdot a\left(a-5\right)}{5\cdot2\cdot a\cdot b}=\frac{\left(a-5\right)}{2b}$5a(a−5)10ab =5·a(a−5)5·2·a·b =(a−5)2b
Nu ett exempel där vi utnyttjar fördjupning av faktoriseringen för att kunna förkorta kvoter.
Exempel 2
Förenkla uttrycket $\frac{-4a^2+4a+2(a-1)}{a-1}$−4a2+4a+2(a−1)a−1
Lösning
Då vi inte har några gemensamma faktorer i täljares alla termer och nämnaren, måste vi faktorisera uttrycket för att kunna förenkla det genom förkortning. Vi ser att den sista termen i täljaren har en genomsatt faktor med nämnaren. Vore det möjligt att även hitta den i de två fösta termerna. Vi provar att bryta ut $-4a$−4a ur de två första termerna och får att
$\frac{-4a^2+4a+2(a-1)}{a-1}=\frac{-4a\left(a-1\right)+2(a-1)}{a-1}$−4a2+4a+2(a−1)a−1 =−4a(a−1)+2(a−1)a−1
Vilken lycka! Vi har nu fått en gemensam term i täljarens alla termer, som dess utom är samma som en faktor i nämnaren. Vi förkortar!
$\frac{-4a\left(a-1\right)+2(a-1)}{a-1}=\frac{\left(a-1\right)\left(-4a+2\right)}{a-1}=$−4a(a−1)+2(a−1)a−1 =(a−1)(−4a+2)a−1 = $-4a+2$−4a+2
Vi kan alltså förkorta uttrycket till $-4a+2$−4a+2
Nu ett exempel med fördjupning av faktorisering med potenser.
Exempel 3
Bestäm värdet på $m$m som uppfyller ekvationen
$x^{2m+n}-x^{n+5}=0$x2m+n−xn+5=0 då $x\ne0$x≠0
Lösning
Vi kan använda oss av potensreglerna ”baklänges” och skriva om vänsterledet $VL=x^{2m+n}-x^{n+5}$VL=x2m+n−xn+5 som
$VL=$VL= $x^{2m+n}-x^{n+5}=x^{2m}\cdot x^n-x^n\cdot x^5=$x2m+n−xn+5=x2m·xn−xn·x5= $x^n\left(x^{2m}-x^5\right)$xn(x2m−x5)
För $VL=0$VL=0 måste en av faktorerna vara lika med noll.
$x^n=0$xn=0 kan ej uppfyllas då det enligt uppgiften gäller att $x\ne0$x≠0.
$x^{2m}-x^5=0$x2m−x5=0 uppfylls då likhet mellan exponenterna råder, eftersom att potenserna har samma bas. Vi får att
$2m=5$2m=5
$m=2,5$m=2,5
Det värde på $m$m som uppfyller ekvationen är $m=2,5$m=2,5
Till sist ett lite svårare exempel.
Exempel 4
Faktorisera uttrycket $a\left(b+5\right)+c\left(2b+10\right)$a(b+5)+c(2b+10)
Lösning
I det här uttrycket har vi två termer, nämligen $a\left(b+5\right)$a(b+5) och $c\left(2b+10\right)$c(2b+10).
Vi börjar med att bryta ut två ur sen sista termen för att se om v kan få några lika faktorer i uttrycket att bryta ut.
$a\left(b+5\right)+c\left(2b+10\right)=a\left(b+5\right)+2c\left(b+5\right)$a(b+5)+c(2b+10)=a(b+5)+2c(b+5)
Vi har nu faktorn $\left(b+5\right)$(b+5) i bägge termerna och kan då bryta ur det ut bägge termerna.
Vi får då $a\left(b+5\right)+2c\left(b+5\right)=\left(b+5\right)\left(a+2c\right)$a(b+5)+2c(b+5)=(b+5)(a+2c).
Kom ihåg att det inte är något konstigt om du tycker att detta är svårt. Detta är en typiskt område i matematiken där det inte i huvud sak handlar om att förstå, utan om tärning. Ju fler uppgifter du gör, ju lättare kommer du att hitta de ”dolda faktorerna” och ger en givande faktorisering. Så. Ger inte upp. Fortsätt öva. Det kommer ge resultat. Här gäller mängdträning!
Du kan med fördel göra samma uppgift flera gånger för att lägga till i din minnesbank som ”vanliga faktorer”. Du kommer upptäcka att vissa faktorer är vanligare än andra.
Exempel i videon
- Faktorisera $p^2 + p + 2(p+1)$
- Faktorisera $x^{4b+4}-x^{4b}$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
c-uppgifter (13)
-
1. Premium
Anta att du har en rektangel där kortsidan är $x$x l.e och långsidan $x+p$x+p l.e.
Du klipper nu av en del av rektangeln och placerar delen ”ovanför” rektangeln så att du nu istället får en figur som nästan motsvarar en kvadrat med sidan $x+\frac{p}{2}$x+p2 l.e, med undantaget att det fattas en liten bit uppe i högra hörnet.
Vilken uttryck beskriver arean på biten som fattas?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra ma2 Matematik 2 modellering Problemlösning AlgebraRättar... -
-
2. Premium
Arean på en viss triangel kan beskrivas med uttrycket $\left(9x-3xy^2\right)$(9x−3xy2) cm$^2$2.
Ange basens längd uttryckt i $y$y, om höjden är $3x$3x cm?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra distributiva lagen ma2 triangelns areaRättar... -
-
3. Premium
Faktorisera $(9-x)^2-2y(9-x)+y^2$(9−x)2−2y(9−x)+y2 så långt som möjligt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
4. Premium
Stämmer följande likhet?
$\left(a-b\right)^2=\left(b-a\right)^2$(a−b)2=(b−a)2
Ange svaret Ja eller Nej, men träna även på att motivera ditt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra Bevis Faktorisering kvadreringsreglernaRättar... -
-
5. Premium
Faktorisera $6a(a-1)+(a-1)^2$6a(a−1)+(a−1)2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra Faktorisering Faktorisering - Problemlösningsuppgift Matematik 2Rättar... -
-
6. Premium
Lös ekvationen
$-\frac{32}{3x+2}=$−323x+2 = $2$2 $-\frac{6x}{2}$−6x2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ekvation konjugatregeln ma2Rättar... -
-
7. Premium
Förenkla $\frac{v^2+2v+1}{v+1}$v2+2v+1v+1 så långt som möjligt .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Konjugatregeln och kvadreringsreglernaLiknande uppgifter: Algebra Faktorisering kvadreringsregelnRättar... -
-
8. Premium
Faktorisera $a^8-1^{40}$a8−140 så långt som möjligt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
9. Premium
Vilken är den största möjliga faktorn att bryta ut ur uttrycket?
$10yx^4+25x^3y^2+15x^5+45y^7x^4$10yx4+25x3y2+15x5+45y7x4
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra Faktorisera Faktorisering - Problemlösningsuppgift ma2 Matematik 2 polynomRättar... -
-
10. Premium
Vilken är största möjliga faktor som går att bryta ut ur uttrycket?
$\left(x+1\right)-5\sqrt{x+1}$(x+1)−5√x+1
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra Faktorisera Faktorisering Faktorisering - Problemlösningsuppgift ma2 Matematik 2 polynomRättar... -
-
11. Premium
Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut ur
$(x+1)^2(x-1)^3-(x+1)^4(x-1)^2$(x+1)2(x−1)3−(x+1)4(x−1)2 $+\text{ }(3+x)(x+1)^3(x-1)^5$+ (3+x)(x+1)3(x−1)5
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra Faktorisering Faktorisering - Problemlösningsuppgift Matematik 2Rättar... -
-
12. Premium
När du ska beräkna produkter av större tal kan du ibland använda konjugatregeln för att underlätta beräkningen.
Till exempel kan man efter omskrivning med konjugatregeln beräkna $19\cdot21$19·21 genom att skriva om det till
$\left(20-1\right)\left(20+1\right)=20^2-1^2=399$(20−1)(20+1)=202−12=399
Beräkna med samma knep $47\cdot53$47·53.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorisering konjugatregeln produktRättar... -
-
13. Premium
När du ska beräkna kvadraten av större tal kan du använda konjugatregeln för att underlätta beräkningen.
Till exempel kan man efter omskrivning med första kvadreringsregeln beräkna $26^2$262 på följande sätt $\left(20+6\right)^2=20^2+2\cdot20\cdot6+6^2=400+240+36=676$(20+6)2=202+2·20·6+62=400+240+36=676
Visa hur du beräknar $26^2$262 med andra kvadreringsregeln.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorisering konjugatregeln produktRättar... -
a-uppgifter (8)
-
14. Premium
Ella har fått i uppgift att förenkla uttrycket $\frac{\left(-6-x\right)^2}{\left(x+6\right)^2}$(−6−x)2(x+6)2 . Ella säger att täljaren går att skriva om så att den blir identisk med nämnaren och att kvoten därmed måste vara $1$1 .
Stämmer Ellas resonemang?
Träna på att motivera ditt svar med matematiska resonemang.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
15. Premium
Faktorisera $4x(x+2)-3x(4x^2+8x)$4x(x+2)−3x(4x2+8x) så långt som möjligt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra Faktorisering Faktorisering - Problemlösningsuppgift Matematik 2Rättar... -
-
16. Premium
Ange största möjliga faktorn som är möjlig att bryta ut ur $a^{3+n}+a^{2n}$a3+n+a2n
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra bryt ut Faktorisera potenser potensregler skriv om uttryckRättar... -
-
17. Premium
Faktorisera $x^{a+b}-x^{b+c}$xa+b−xb+c
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
18. Premium
Faktorisera uttrycket $8x^3-18xy^2$8x3−18xy2 så långt som möjligt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra bryta ut Faktorisering konjugatregelnRättar... -
-
19. Premium
Faktorisera och förenkla
$\frac{2^{x+3}-2^x}{2^x}$2x+3−2x2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra bryta ut FaktoriseraRättar... -
-
20. Premium
För vilket värde på $a$a har ekvationen oändligt många lösningar?
$\left(x-2\right)^4=\left(x^2-2ax+a^2\right)^2$(x−2)4=(x2−2ax+a2)2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra Faktorisera Faktorisering förenkla uttryck konjugatregeln kvadreringsregelnRättar... -
-
21. Premium
Faktorisera och förenkla $\frac{\left(3x+18\right)^2}{\left(x+6\right)}$(3x+18)2(x+6)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra bryta ut Faktorisera förenkla förenkla uttryck kvadreringsregelRättar... -
Troxip
Uppgift 15 så fick jag det här svaret istället, skulle den vara fel om jag hade skrivit det här på provet? ”-4x(3x^2 + 5x – 2)”
4x(x + 2) – 3x(4x^2 + 8x)
4x^2 + 8x – (12x^3 + 24x^2)
4x^2 + 8x – 12x^3 – 24x^2
8x – 12x^3 – 20x^2
8x – 12x^3 – 20x^2
-4x(3x^2 + 5x – 2)
Hannah Hagberg
Hej,
Varför kan man inte bryta ut 10x^3 i fråga 9?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Hanna,
det är under förstått när man ”bryter ut” eller ”faktoriserar” att man både bryter ut ett heltal och vill att koefficienterna som är kvar i parentesen är heltal.
Det är därför du inte kan bryta ut $10$, utan $5$ är den största heltalsfaktorn som ger heltalskoefficienter.
Hoppas det gick att hänga med på!
Lyckat till med faktoriseringen.
Eva Boström
Hej, fråga 6: Det står att subtrahera båda leden med 4. Varför är det 4:an som flyttas och inte 32 så att x flyttas över och blir positivt? dvs 4-32 istället för – 32-4? har blivit lärd att positiva tal prioriteras först och addition prioriteras före subtraktion..
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Ewa,
det går att göra på båda sätten så välj det du tycker är lättast. Vi har vald den metod som ger färre stag. Men ”på ditt sätt” får vi att
$-32=4-9x^2$ addera båda led med $32$
$0=36-9x^2$ addera båda led med $9x^2$
$9x^2=36$ dividera båda led med $9$
$x^2=4$ dra roten ur båda led, glöm inte den negativa roten som lösning!
$\begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = -2 \end{cases} $
Som du ser ger det samma svar, men ett steg extra!
Simon Bäckeper
Hej!
På fråga 6 så förstår jag inte vad som händer med -2y värdet i steget när man ska faktorisera.?
Simon Rybrand (Moderator)
Där är det viktigt att se hur konjugatregeln används, dvs att -2y motsvarar -2b i konjugatregeln.
Tijana Ilic
Hej,
Uppgift 8 har ett fel. I uppgiften står att man ska bryta ut faktorn ur $a^{3+2n}+a^{2n}$ och i lösningen står det $a^{3+n}+a^{2n}$.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ja det hade slunkit in ett fel där, vi har korrigerat det. Tack för att du sade till!
Elena Ten
hej, första uppgiften har ett fel svar och i förklaringen är ett miss ”2”. I början…
Anna Admin (Moderator)
Hej Elena.
Jag hittar inte felet du beskriver. Vill du vara snäll och förklara igen, så jag kan kolla på det.
Tack.
Anna Admin (Moderator)
Hej Elena.
Jag hittar inte felet du beskriver. Kan du beskriva det igen så jag kan kolla på det.
Tack.
Max Shade
pom jag räknat ut en massa tal och misslyckats på en massa tal
och jag vill gå tillbaka och kolla på alla tal jag misslyckats på
vart lagras den infon
eller saknar den här siden en sådan funktion
Simon Rybrand (Moderator)
Hej!
Tack för din kommentar.
I nuläget saknas den funktionen hos oss, vi kommer att lägga till den inom någon månad då det är fler än du som har efterfrågat det!
Anna Admin (Moderator)
Där emot kan du redan nu går in på övningar du gjort för att göra om dem. När du då öppnar övningen är dina svar sparade och du kan där se vilka övningar du gjort rätt och fel på. Du ser även i listan över alla lektioner vilka uppgifter du klara och inte. Det du klarat är blåmarkerade, de du bör öva mer på är grå.
Lycka till!
Linnea Lindh
Hej!
I lösningen till fråga 8:a står det :
”Då (x+1)=(√x+1)2 kan vi faktorisera uttrycker på följande vis”
Kan du förklara lite tydligare varför (x+1) blir till roten ur x + 1 upphöjt till två? Är det någon kvadreringsregel eller konjugatregel jag inte förstår?
Jakub Medynski
Uppgift 2 saknar förklaring.
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du sade till! Det är tillagt nu!
Binnon
Hej.
Jag förstår inte hur själva utbrytningen av parenteserna går till i slutet. Hur får man plötsligt bort p:et före parenteserna och hur kom 2:an på 1:ans plats? Går det att förklara med faktorisering for dummies?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
I det andra steget i den här uppgiften har du två termer, dvs $ p(p+1)$ och $2(p+1) $ och dessa bägge termer har det gemensamt att de innehåller $ (p+1) $.
Så här gäller det att se att du kan bryta ut $(p+1)$ ur bägge termerna i uttrycket. Det här görs på samma sätt som om du skulle bryta ut ett $x$ ur bägge termerna men vi bryter alltså ut en hel parentes.
Hoppas att detta hjälper dig vidare, annars får du gärna fortsätta diskussionen.
Endast Premium-användare kan kommentera.