00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik Högstadiet
/  Sannolikhetslära och statistik – Högstadiet
Algebra

Fördjupning av faktorisering

Författare:Simon Rybrand Anna Karp
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Den här lektionen fokuserar på fördjupning av faktorisering. Vi går inte igenom några nya begrepp, utan bara några svårare uppgifter. Vi löser uppgifterna med bland annat potensregler och konjugat- och kvadreringsregeln.

Denna lektionen är i första hand för den som vill fördjupa sina kunskaper och satsar på de högre betygen.

I genomgången använder vi följande potensregler.

Potensregel

axay=ax+ya^xa^y=a^{x+y}

Konjugatregeln

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Kvadreringsreglerna

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a−b)2=a2−2ab+b2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Kom ihåg att hela termerna ska kvadreras. Därför är det viktigt att komma ihåg att om en term består av flera faktorer gäller potensreglen (a⋅b)2=a2b2\left(a\cdot b\right)^2=a^2b^2(a·b)2=a2b2.

Fördjupning av faktorisering

Återvänt till tidigare lektioner för att få grunderna och repetera teorin. Här går vi direkt på några exempel.

Exempel 1

Faktorisera och förenkla uttrycket  5a2−25a10ab\frac{5a^2-25a}{10ab}5a2−25a10ab   så långt som möjligt.

Lösning

Vi börjar med att faktorisera täljaren genom att bryta ut  5a5a5a.

5a2−25a10ab=5a(a−5)10ab\frac{5a^2-25a}{10ab}=\frac{5a\left(a-5\right)}{10ab}5a2−25a10ab =5a(a−5)10ab 

Vi kan nu förkorta kvoten då vi nu har faktorer i stället för termer.

 5a(a−5)10ab=5⋅a(a−5)5⋅2⋅a⋅b=(a−5)2b\frac{5a\left(a-5\right)}{10ab}=\frac{5\cdot a\left(a-5\right)}{5\cdot2\cdot a\cdot b}=\frac{\left(a-5\right)}{2b}5a(a−5)10ab =5·a(a−5)5·2·a·b =(a−5)2b  

Nu ett exempel där vi utnyttjar fördjupning av faktoriseringen för att kunna förkorta kvoter.

Exempel 2

Förenkla uttrycket  −4a2+4a+2(a−1)a−1\frac{-4a^2+4a+2(a-1)}{a-1}−4a2+4a+2(a−1)a−1  

Lösning

Då vi inte har några gemensamma faktorer i täljares alla termer och nämnaren, måste vi faktorisera uttrycket för att kunna förenkla det genom förkortning. Vi ser att den sista termen i täljaren har en genomsatt faktor med nämnaren. Vore det möjligt att även hitta den i de två fösta termerna. Vi provar att bryta ut  −4a-4a−4a ur de två första termerna och får att

  −4a2+4a+2(a−1)a−1=−4a(a−1)+2(a−1)a−1\frac{-4a^2+4a+2(a-1)}{a-1}=\frac{-4a\left(a-1\right)+2(a-1)}{a-1}−4a2+4a+2(a−1)a−1 =−4a(a−1)+2(a−1)a−1  

Vilken lycka! Vi har nu fått en gemensam term i täljarens alla termer, som dess utom är samma som en faktor i nämnaren. Vi förkortar!

 −4a(a−1)+2(a−1)a−1=(a−1)(−4a+2)a−1=\frac{-4a\left(a-1\right)+2(a-1)}{a-1}=\frac{\left(a-1\right)\left(-4a+2\right)}{a-1}=−4a(a−1)+2(a−1)a−1 =(a−1)(−4a+2)a−1 = −4a+2-4a+2−4a+2 

Vi kan alltså förkorta uttrycket till  −4a+2-4a+2−4a+2 

Nu ett exempel med fördjupning av faktorisering med potenser.

Exempel 3

Bestäm värdet på mmm som uppfyller ekvationen

  x2m+n−xn+5=0x^{2m+n}-x^{n+5}=0x2m+n−xn+5=0   då  x≠0x\ne0x≠0 

Lösning

Vi kan använda oss av potensreglerna ”baklänges” och skriva om vänsterledet  VL=x2m+n−xn+5VL=x^{2m+n}-x^{n+5}VL=x2m+n−xn+5 som

  VL=VL=VL=  x2m+n−xn+5=x2m⋅xn−xn⋅x5=x^{2m+n}-x^{n+5}=x^{2m}\cdot x^n-x^n\cdot x^5=x2m+n−xn+5=x2m·xn−xn·x5= xn(x2m−x5)x^n\left(x^{2m}-x^5\right)xn(x2m−x5)  

För  VL=0VL=0VL=0 måste en av faktorerna vara lika med noll.

 xn=0x^n=0xn=0   kan ej uppfyllas då det enligt uppgiften gäller att  x≠0x\ne0x≠0.

 x2m−x5=0x^{2m}-x^5=0x2m−x5=0  uppfylls då likhet mellan exponenterna råder, eftersom att potenserna har samma bas. Vi får att

2m=52m=52m=5     
m=2,5m=2,5m=2,5 

Det värde på mmm som uppfyller ekvationen är m=2,5m=2,5m=2,5 

Till sist ett lite svårare exempel.

Exempel 4

Faktorisera uttrycket  a(b+5)+c(2b+10)a\left(b+5\right)+c\left(2b+10\right)a(b+5)+c(2b+10)

Lösning

I det här uttrycket har vi två termer, nämligen  a(b+5)a\left(b+5\right)a(b+5)  och c(2b+10)c\left(2b+10\right)c(2b+10).

Vi börjar med att bryta ut två ur sen sista termen för att se om v kan få några lika faktorer i uttrycket att bryta ut.

a(b+5)+c(2b+10)=a(b+5)+2c(b+5)a\left(b+5\right)+c\left(2b+10\right)=a\left(b+5\right)+2c\left(b+5\right)a(b+5)+c(2b+10)=a(b+5)+2c(b+5)

Vi har nu faktorn (b+5)\left(b+5\right)(b+5) i bägge termerna och kan då bryta ur det ut bägge termerna.

Vi får då  a(b+5)+2c(b+5)=(b+5)(a+2c)a\left(b+5\right)+2c\left(b+5\right)=\left(b+5\right)\left(a+2c\right)a(b+5)+2c(b+5)=(b+5)(a+2c).

Kom ihåg att det inte är något konstigt om du tycker att detta är svårt. Detta är en typiskt område i matematiken där det inte i huvud sak handlar om att förstå, utan om tärning. Ju fler uppgifter du gör, ju lättare kommer du att hitta de ”dolda faktorerna” och ger en givande faktorisering. Så. Ger inte upp. Fortsätt öva. Det kommer ge resultat. Här gäller mängdträning!

Du kan med fördel göra samma uppgift flera gånger för att lägga till i din minnesbank som ”vanliga faktorer”. Du kommer upptäcka att vissa faktorer är vanligare än andra.

Exempel i videon

  • Faktorisera p2+p+2(p+1)p^2 + p + 2(p+1)
  • Faktorisera x4b+4−x4bx^{4b+4}-x^{4b}
Nästa lektion: Konstruktion av cirkeldiagram

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server