Integralkalkylens fundamentalsats

I den här lektionen lär du dig vad en integral är och hur vi använder insättningsformeln som bygger på integralkalkylens fundamentalsats.

Integraler kan förenklat beskrivas som en summa av oändligt många förändringar. Ett vanligt sätt att bestämma integralens värde är att beräkna arean mellan en funktions graf och $x$x -axeln. I de fall där arean inte motsvarar en geometrisk figur som vi redan har en given formel för, kan arean beräknas genom att dela upp arean i oändligt många rektanglar, vars enskilda areor summeras.

Ibland kallas summa av alla rektanglarna för en Riemannsumma efter matematikern Berhard Riemann. Han var en tysk matematiker bland andra, som har spelat stor roll för utvecklandet av integralberäkningar.

Symbolen $\int$∫ infördes av en annan tysk matematiker som jobbade med beräkningar av integraler, nämligen Gottfried Willhelm von Leibniz. Symbolen är en dåtida bokstav för s:et i summa.

Sist i denna lektion går vi igenom betydelsen av de olika tecknen i satsen. Men först tittar vi på vad satsen motsvarar.

Här kommer en beskrivning av hur arean under kurvan och integralen hänger ihop. Metoden kallas för Mittpunktmetoden. Först delas arean in i ett antal rektanglar med basen $\bigtriangleup x$△x.

Höjden på varje rektangel sätts till $f\left(x_i\right)$ƒ (x_i), där $x_i$x_i motsvarar $x$x-värdet i mitten av varje rektangel. Vi beräkna arean på varje rektangel som höjden $f\left(x_i\right)$ƒ (x_i) gånger basen $\bigtriangleup x$△x , och får en generell beskrivning av varje rektangels arean till  $f\left(x_i\right)\cdot\bigtriangleup x$ƒ (x_i)·△x. 

För att få värdet till var rektangels area sätter vi nu in det indexvärde varje $x_i$x_i antar för de olika rektanglarna. Rektangeln längst till vänster har index  $i=1$i=1 vilket ger arena  $f\left(x_1\right)\cdot\bigtriangleup x$ƒ (x₁)·△x. Rektangeln nästa längst till vänster har index  $i=2$i=2 vilket i sin tur ger värdet  $f\left(x_2\right)\cdot\bigtriangleup x$ƒ (x₂)·△x. Så fortsätter detta mönster för varje rektangel.

Summerar vi dessa rektanglars areor får vi att arean $A$A  mellan kurvan och $x$x -axeln i intervallet $a\le x\le b$a≤x≤b är

 $A\approx f\left(x_1\right)\cdot\bigtriangleup x+f\left(x_2\right)\cdot\bigtriangleup x+f\left(x_3\right)\cdot\bigtriangleup x$A≈ƒ (x₁)·△x+ƒ (x₂)·△x+ƒ (x₃)·△x 

Detta ger ett ganska grov närmevärde, då vi ser att rektanglarnas areor inte stämmer så bra överens med den faktiska arean mellan kurvan och  $x$x -axeln. För att minska felet delar vi därför upp arean i rektanglar med mindre och mindre bas $\bigtriangleup x$△x.

När vi till slut fått väldigt många rektanglar, effektiviserar vi beräkningen genom att skriva om summan med hjälp av symbolen sigma, så här

 $\Sigma_{i=1}^nf\left(x_i\right)\cdot\bigtriangleup x$Σ_i=1ⁿƒ (x_i)·△x 

vilket alltså motsvarar summan av $n$n stycken rektanglars areor. När basen $\bigtriangleup x$△x blir mindre och mindre kommer antalet rektanglar att bli fler och fler.

När antalet rektanglar blir oändligt många, när $n\rightarrow\infty$n→∞, får vi ett gränsvärde på summan som kan beskrivas med

$\lim\limits_{n \to \infty }$ $\Sigma_{i=1}^nf\left(x_i\right)\cdot\bigtriangleup x$Σ_i=1ⁿƒ (x_i)·△x 

Det är detta gränsvärde som fått en egen symbol och betecknas med 

$\int\limits_a^b f(x) dx$

där  $\int$∫ härstammar från bokstaven s som i summa och är tecknet för integralen och $dx$dx är skrivsättet som här motsvarar att $\bigtriangleup x$△x går mot noll. 

Och så har vi här nu fått en ny metod för att beräkna arean mellan kurvan och  $x$x-axeln!

Utifrån ovanstående genomgång av beräkning av areor med mittpunktsmetoden och tidigare kunskap kring de primitiva funktioner ska vi nu försöka landa i den sats som vi i denna kurs använder för att bestämma en integrals värde algebraiskt.

Då vi kommer att ta hjälp av de primitiva funktionerna för att lösa uppgifterna framåt, repeterar vi följande.

Med andra ord. Om derivata till $F$F är lika med funktionen  $f$ƒ   är  $F$F en primitiv funktion till $f$ƒ .

Innan vi i kommande lektion visar hur vi rent praktiskt beräknar integraler algebraiskt ska vi titta på den sats vi kommer använda vid beräkningen.

Den kallas Integralkalkylens fundamentalsats och kan delas in i två delar, där den andra delen kommer vara den vi refererar till när vi gör beräkningar med satsen framöver. 

Satsen säger att för den kontinuerliga funktionen $f$ƒ   gäller följande i intervallet $a\le$a≤$x\le$x≤ $b$b.

Med andra ord gäller att $F'(x)=f\left(x\right)$F’(x)=ƒ (x). Vidare gäller även att

Den senare kallas även insättningsformeln.

Då likheten  $\int_a^bf\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_a^b$∫_a^bƒ (x)dx=[F(x)]_a^b  ger ett annat sätt att beteckna integralens värde, följer att  $\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$[F(x)]_a^b=F(b)−F(a).

Satsen innehåller, kanske för dig, många nya symboler och tecken så här följer en förklaring av de olika delarna.

   I satsen motsvarar de olika symbolerna och tecknen följande.

• $\int\limits$ är integraltecknet
•  $a$a är den undre integrationsgränsen, som begränsar arean åt vänster
•  $b$b är den övre integrationsgränsen, som begränsar arean åt höger
•  $f\left(x\right)$ƒ (x) är integranden, som är den funktion vars graf begränsar arenan uppåt
•  $x$x i skrivningen $dx$dx anger integrationsvariabeln
• $dx$dx anger att beräkningen ska ske med avseende på förändring i $x$x -led
• $F\left(x\right)$F(x) är en primitiv funktion till  $f\left(x\right)$ƒ (x) 

Själva beräkningen av integralen genomförs alltså genom att sätta in den över gränsen $b$b i den primitiva funktionen till $f\left(x\right)$ƒ (x) och subtraherar med värdet du får när du sätter in den undre gränsen $a$a i den primitiva funktionen $F\left(x\right)$F(x).

Här en annan överblick som kanske kan hjälpa dig vid inlärning av de olika begreppen.

I nästa lektion går i vi igenom exakt hur du kan beräknar integralen algebraiskt  med hjälp av denna sats.

• En fotbollsspelare kastar ett inkast. Hastigheten $v \, m/s$ de första två sekunderna efter inkastet kan beskrivas med hjälp av funktionen $v(t)=4-t^2$ där $t$ är tiden i sekunder. Hur lång sträcka har bollen rört sig under de två första sekunderna?
• Beräkna $\int\limits_0^2 (4-t^2) dt$