Kapiteltest - Derivatan och grafen Ma3b

För vilka $x$x-värden är funktionen avtagande?

Bestäm andraderivatan till  $f(x)=4x^3$ƒ (x)=4x³ .

Bestäm andraderivatan för $f$ƒ  då förstaderivatan är   $f'(x)=e^{2x}-10x$ƒ ’(x)=e^2x−10x 

Bestäm  $f”(2)$ƒ ”(2)  då  $f(x)=4x^3+x^2-2x$ƒ (x)=4x³+x²−2x

Studera teckenschemat nedan och ange i vilket/vilka intervall funktionen $f(x)$ƒ (x) är växande.

Antalet besökare på en hemsida varierade enligt modellen $N\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+10$N(x)=x³−6x²+9x+10 i intervallet  $0\le x\le5$0≤x≤5  där $N\left(x\right)$N(x) motsvarar antalet tusen personer på sidan $x$x timmar efter kl. $12.00$12.00 på dagen.

Bestäm det lägsta och högsta antalet besökare på hemsidan mellan klockan $12.00$12.00 och $17.00$17.00 .  

Vilken av graferna nedan skulle kunna vara den ursprungliga funktionen  $f\left(x\right)$ƒ (x) då dess andraderivata är $f”\left(x\right)=6x+2$ƒ ”(x)=6x+2

Motivera ditt val för att få poäng för resonemang.

Bestäm med hjälp av derivata eventuella extrempunkter till funktionen $y=x^3-3x^2$y=x³−3x².

I ditt svar ska du även ange punkternas karaktär samt de punkter på grafen till funktionen där extrempunkterna återfinns.

Måns har bestämt sig för förhållandet mellan höjden och radien på kastrullen han ska tillverka ska vara  $h=21-2r$h=21−2r cm.

Volymen för kastrullen beräknas med hjälp av  $V=\pi r^2\cdot h$V=πr²·h  där  $r$r är radien och $h$h höjden.

Bestäm den radie som ger den maximala volymen.

I koordinatsystemet nedan ser du grafen till derivatan $y=f\text{ }’\left(x\right)$y=ƒ  ’(x) för en fjärdegradsfunktion  $f\left(x\right)$ƒ (x).

För vilket $x$x -värde har funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) en maximipunkt?

Motivera ditt svar.

Figuren visar grafen till funktionen  $y=f’\left(x\right)$y=ƒ ’(x).  

Ange eventuella extrempunkter till $f\left(x\right)$ƒ (x) samt deras karaktär.

Figuren visar grafen till funktionen  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x). 

Ange koordinaten där $f”\left(x\right)$ƒ ”(x) skär $x$x -axeln.

Motivera ditt svar.

Punkten $P$P  tillhör grafen till funktionen $y=-x^2+2x+3$y=−x²+2x+3 och återfinns i den första kvadranten.

Punkten $P$P  är också det övre högra hörnet på en rektangel. Rektangelns nedre vänstra hörn finns i origo och två av rektangelns sidor ligger på koordinataxlarna. Se figur.

Beräkna den längd på basen som ger största möjliga arean på rektangeln.

Avrunda till en decimals noggrannhet.

En cylinder är placerad inuti en kon. Se figuren. De övre kanterna på cylindern går emot konens sida. Konens höjd och radie är bestämd. Men cylinderns höjd och radie är justerbar. Genom att öka höjden på cylindern, blir konsekvensen att cylinders radier minskar, då den behöver bli smalare för att få plats högre upp i konen. Och tvärtom, när höjden minskar, ökar cylinderns radie.

Ange den största möjliga volymen för cylindern.

Svara avrundat till hela kubikcentimeter.