00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

När man talar om det minsta och största värdet för en funktion söker man det minsta och största yyy-värdet funktionen antal i ett visst intervall.

Största och minsta värde

Ofta vill man begränsa eller studera värdena till ett särskilt intervall och talar då om lokala extrempunkter.

Var  återfinns det minsta och största värdet i en funktion?

Det största eller minsta funktionsvärdet kommer att återfinnas i någon av följande punkter. I någon av 

  • intervallets ändpunkter.
  • extrempunkterna i intervallet. 
  • punkterna i intervallet där funktionen inte är deriverbar

Vi visar med ett exempel hur man anger största och minsta värdet utifrån de tre punkterna.

Exempel 1

Figuren nedan visar grafen till funktionen y=f(x)y=f\left(x\right)y=ƒ (x)  i intervallet  1-1\le1 x<5x<5x<5 

a) Ange största värdet för  f(x)f\left(x\right)ƒ (x)  i intervallet.

b) Ange minsta värdet för  f(x)f\left(x\right)ƒ (x)  i intervallet.

Extremvärden

Lösning

a) Det största värden är de samma som det största yyy -värde/f(x)f\left(x\right)ƒ (x) antar i intervallet.

I detta intervall så har vi det största värdet där i den lokala extrempunkten x=3x=3x=3  och värdet är där  y=5y=5y=5

b) Eftersom  x=5x=5x=5 inte ingår i intervallet och grafen antar mista värde i området vid  x=5x=5x=5 säger man att ett minsta värde saknas

Det är, som vi såg här, inte alltid möjligt att ange ett största eller minsta värde i ett intervall. Det inträffar när minsta eller största värdet finns i en punkt som inte ingår i intervallet.

Exempel 2

Figuren nedan visar grafen till funktionen f(x)=xf\left(x\right)=\left|x\right|ƒ (x)=|x| i intervallet  3x-3\le x3x 3\le33 . 

Ange minsta värdet för  f(x)f\left(x\right)ƒ (x).

Graf till ett Absolutbelopp

Lösning

Det minsta värden är de samma som det minsta yyy -värde/f(x)f\left(x\right)ƒ (x) antar i intervallet.

Funktionen är inte deriverbar i  x=0x=0x=0 men det minsta värdet återfinns där och är lika med noll.

Viktiga begrepp kring funktionsvärden

Stationär punkt
En punkt där derivatan är lika med noll.

Minimipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.

Maximipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.

Extrempunkt
Samlingsnamn på maximipunkt eller minimipunkt.

Terrasspunkt
Stationär punkt där derivatans teckenväxling kring punkten är  0-0-0  eller  +0++0++0+.

Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.

Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.

Extremvärde
Samlingsnamn på maximum eller minimum.

Alla ovanstående begrepp kan ges tillägget lokal eller global

Lokal 
Syftar på värden i en visst del av hela definitionsmängden

Global
Syftar på värden i hela definitionsmängden

Alla dessa olika beteckningar kan vara något för virrande till en början, men tanken är att de ska vara en hjälp för att kunna förtydliga funktionens förändring i sin definitionsmängd. 

De viktigaste är att kunna ange en funktions extremvärden som alltid är ett värde f(a)f\left(a\right)ƒ (a) och extrempunkter som anges som något värde x=ax=ax=a i definitionsmängden.

Exempel i videon

  • Funktionen f(x)=x2x f(x)=x^2-x är utritad i intervallet 0,5x2,7  -0,5≤x≤2,7  . Bestäm minsta och största värde.
  • Bestäm minsta och största värde för funktionen f(x)=2x33x2f(x)=2x^3-3x^2 i intervallet 0x20≤x≤2.