Nationellt prov Matematik 2a ht 2012 DEL D

Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $\left(1,\text{ }7\right)$(1, 7) och $\left(5,\text{ }15\right)$(5, 15).

Vid Floda väderstation mäts utomhustemperaturen varje timme. Mätvärdena från en natt i oktober kan enligt en förenklad modell beskrivas med andragradsfunktionen

 $f\left(x\right)=0,5x^2-3,75x+6$ƒ (x)=0,5x²−3,75x+6

där $f\left(x\right)$ƒ (x) motsvarar temperaturen uttryckt i  $^{\circ}C$^∘C och $x$x motsvarar antal timmar efter midnatt (klockan 00:00).

a) Beräkna $f\left(2\right)$ƒ (2) 

b) Tolka vad $f\left(4\right)=-1$ƒ (4)=−1 betyder i detta sammanhang.

c) Vid vilket klockslag inträffar den lägsta temperaturen enligt modellen?

Tabellen visar prislistan för två olika mobiltelefonabonnemang.

Victor vill jämföra de båda abonnemangen och undersöka månadskostnaden.

a) Teckna månadskostnaden som funktion av samtalstiden $x$x minuter för abonnemangen All-prat respektive Prata-på.

b) Hjälp Victor att utreda vilket abonnemang som är billigast beroende på hur lång hans samtalstid blir under en månad.

I början av år 2004 köpte Niklas en lägenhet för $635\text{ }000$635 000 kronor. Han sålde den $7$7 år senare för $1\text{ }115\text{ }000$1 115 000 kronor.

a) Anta att värdeökningen var exponentiell under tidsperioden.
Beräkna den årliga procentuella värdeökningen för lägenheten.

b) Hur mycket skulle lägenheten vara värd i början av år 2020 om värdeökningen fortsätter i samma takt?

Lisa säger till Melker:

• Tänk på ett tal mellan $-100$−100 och $100$100.
• Kvadrera talet.
• Subtrahera med ditt ursprungliga tal 18 gånger.
• Addera 50.

Lisa: Vilket tal fick du?
Melker: Jag fick 5.
Lisa: Tänkte du på 15?
Melker: Nej.

Vilket tal tänkte Melker på? (Förutsatt att han har räknat rätt.)

Sandöbron är en bro över Ångermanälven. Bron byggdes 1943 och var fram till 1964 världens största betongbro med endast ett brospann.

Formen på brospannet kan beskrivas med andragradsfunktionen $h$h där

 $h\left(x\right)=-0,0023x^2+40$h(x)=−0,0023‍x²+40 

 $h\left(x\right)$h(x) är höjden i meter över vattnet.
 $x$x är avståndet i meter längs vattenytan från mitten av bron.

a) Hur högt över vattnet kör bilarna när de passerar brons högsta punkt?
    Endast svar krävs.

b) Beräkna bredden på Ångermanälven under bron.

Nio personer som tävlar i både längdhopp och 100 meter löpning uppger sina bästa
resultat. Dessa resultat är markerade i diagrammet nedan. Diagrammet visar att det
verkar finnas ett linjärt samband mellan hopplängd och tid på 100 meter löpning.

a) Dra en rät linje som så bra som möjligt visar sambandet mellan hopplängd och tid på 100 meter. Bestäm ekvationen för denna linje på formen $y=kx+m$y=kx+m 

Sambandet kan ses som en modell för hur hopplängd beror av tid på $100$100 meter löpning.

b) Usain Bolt har världsrekordet på $100$100 m löpning med tiden $9,58$9,58 sekunder.
Hur långt skulle Usain Bolt kunna hoppa i längdhopp enligt modellen?

c) Kommentera om modellen har någon begränsning.

De två räta linjerna $y=ax-2$y=ax−2 och $y=x-1$y=x−1, där $a$a är en konstant, skär varandra i första kvadranten.

Undersök vilka värden som är möjliga för konstanten a .