Nationellt prov Matematik 3b vt 2013 del D

Nyfödda barn minskar normalt i vikt under de första dygnen, därefter ökar vikten. Efter tre dygn är vikten som lägst.

Enligt en förenklad modell kan vikten för ett nyfött barn beskrivas med

 $V\left(t\right)=5t^3-135t+3500$V(t)=5t³−135t+3500 

där $V$V är vikten i gram och $t$t är tiden i dygn efter födseln.

a) Hur mycket minskar ett barn i genomsnitt i vikt per dygn under de tre första dygnen? 

b) Utvärdera hur väl modellen stämmer överens med verkligheten när barnet är några veckor gammalt.

För funktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ƒ (x)=x³−3x²+2 och att $f$ƒ  är definierad i intervallet $0\le$0≤ $x\le$x≤ $4$4.

Bestäm funktionens minsta och största värde.

Svara på formen Minst $a$a, Störst $b$b.

För en funktion $f$ƒ  där $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) gäller att $f\left(3\right)=4$ƒ (3)=4 och $f’\left(3\right)=2,4$ƒ ’(3)=2,4 
Lotta tänker en stund och påstår:

− Om det är en rät linje måste $f\left(100\right)$ƒ (100) vara exakt $244$244 

Undersök om Lottas påstående är korrekt.

En skräddare ska tillverka fodrade kostymer och fodrade jackor i ylle. Till varje kostym går det åt $1,5$1,5 m fodertyg och $3$3 m ylletyg. Till varje jacka går det åt $2$2 m av varje tygslag. Skräddaren har tillgång till $90$90 m fodertyg och $120$120 m ylletyg. Anta att skräddaren ska tillverka och sälja $x$x kostymer och $y$y jackor. Då gäller att:

$ \begin{cases} 1,5x + 2y \le 90 \\ 3x + 2y \le 120 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $

I en geometrisk summa med $10$10 termer är en term $40,5$40,5 och därpå följande term $121,5$121,5 Bestäm första termens värde om summan är $14762$14762 

Peder ritar upp grafen till $f\left(x\right)=x^3+0,03x+1$ƒ (x)=x³+0,03x+1 på sin grafritande räknare och säger:

−Jag ser att grafen har en terrasspunkt.

Undersök om han har rätt.

Fredrik och Gustav deltar i samma cykellopp. Loppet är $90$90 km långt. Fredrik håller jämn fart hela loppet medan Gustavs fart varierar. Man kan förenklat beskriva den sträcka (i km) de har cyklat med funktionerna:

 $f\left(t\right)=30t$ƒ (t)=30t  och   $g\left(t\right)=t^3-6t^2+37,8t$g(t)=t³−6t²+37,8t 

där $t$t är tiden i timmar efter start.

Fredrik och Gustav startar samtidigt. Fredrik går i mål först. Han passerar mållinjen precis $3$3 timmar efter start.

Hur lång tid efter start är avståndet mellan Fredrik och Gustav störst och hur långt är avståndet mellan dem då?

 $S$S är en kontinuerlig funktion som är definierad för alla $x$x.

Bestäm $S’\left(4\right)$S’(4) då $S\left(x+h\right)=S\left(x\right)+h$S(x+h)=S(x)+h.