Nationellt prov Matematik 3b vt 2022 del D

Funktionen $f$ƒ  som ges av  $f\left(x\right)=\left(2x-1\right)^5$ƒ (x)=(2x−1)⁵ kan inte deriveras med hjälp av deriveringsreglerna inom denna kurs.

Använd ditt digitala verktyg för att beräkna ett värde på $f’\left(2\right)$ƒ ’(2).
Endast svar krävs.

En geometrisk summa ges av $B+B\cdot1,4+B\cdot1,4^2+…+B\cdot1,4^{21}$B+B·1,4+B·1,4²+…+B·1,4²¹ där $B$B är en konstant. Bestäm $B$B så att summan blir $250\text{ }000$250 000.

Grafen till funktionen $f\left(x\right)=3x^2+4x$ƒ (x)=3x²+4x har en tangent i den punkt där $x=2$x=2
Tangentens ekvation kan skrivas $y=kx-12$y=kx−12

Bestäm $k$k.

Pojkars längd kan beskrivas med den enkla modellen $f\left(x\right)=78\cdot e^{0,07x}$ƒ (x)=78·e^0,07x  där  $f\left(x\right)$ƒ (x)  är längden i centimeter och $x$x är pojkars ålder i år.

a) Bestäm vid vilken ålder som pojkar är $125$125 cm långa enligt modellen.

b) Använd modellen och bestäm hur snabbt pojkar växer då de är exakt $6$6 år. 

c) Undersök om modellen även är giltig för pojkar som går på gymnasiet.

Funktionerna $f$ƒ  och $g$g ges av  $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{12}{x}+$12x +$8x$8x och  $g\left(x\right)=\sqrt{x}$g(x)=√x 

Lös ekvationen  $f’\left(x\right)=g’\left(x\right)$ƒ ’(x)=g’(x).  Svara med minst två decimaler.

Julius och Sophia planerar att starta en nätbutik för att sälja sittkuddar. De tänker sälja två modeller av sittkuddar, modell $A$A och modell $B$B.

Inköpspriset för en sittkudde av modell $A$A är $600$600 kr och för modell $B$B $400$400 kr. De kan köpa in sittkuddar för totalt $60\text{ }000$60 000 kr. I deras lagerlokal ryms det som mest $125$125 sittkuddar.

Julius och Sophia räknar med att sälja alla kuddar som köps in och att vinsten blir $500$500 kr för varje såld kudde av modell $A$A och $400$400 kr för varje såld kudde av modell $B$B.

Bestäm hur många sittkuddar av varje modell som de ska köpa in för att vinsten ska bli maximal.

Funktionen $f$ƒ  ges av $f\left(x\right)=2^x$ƒ (x)=2^x. Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ  samt en sekant mellan två punkter på grafen.

Till grafen dras en tangent som är parallell med sekanten. Bestäm $x$x-koordinaten för tangeringspunkten.
Svara med minst två decimaler

Funktionen $f$ƒ  ges av 

 $f\left(x\right)=a\left(x-a\right)\left(x-2a\right)\left(x-3a\right)=ax^3-6a^2x^2+11a^3x-6a^4$ƒ (x)=a(x−a)(x−2a)(x−3a)=ax³−6a²x²+11a³x−6a⁴ 

där $a$a är en konstant,  $a>0$a>0 
Grafen till $f$ƒ  skär $x$x -axeln i punkterna $P,\text{ }\text{ }\text{ }Q$P, Q  och $R$R. Se figur.

Visa algebraiskt att tangenterna till grafen i punkterna $P$P och $R$R är parallella oavsett värde på konstanten $a$a .

Wilma har en gammal moped.

Bensinförbrukningen för mopeden kan beskrivas med den förenklade modellen $f\left(x\right)=0,3+0,5e^{-0,76x}$ƒ (x)=0,3+0,5e^−0,76x där $f\left(x\right)$ƒ (x) är bensinförbrukningen i liter/mil och $x$x är sträckan i mil från start.

Wilma startar med $4,0$4,0 liter bensin i tanken. Bestäm hur lång sträcka Wilma kan köra som längst innan bensinen tar slut enligt modellen.

Konstsmeden Suzanna tänker göra smycken av silver och guld. Varje smycke ska bestå av en rektangulär silverplatta och en guldtråd. Guldtråden ska lödas fast $8$8 mm från silverplattans hörn. Se figur.

Guldtråd är dyr och hon vill därför använda så lite guld som möjligt till smycket. Smycket får inte heller väga för mycket och därför bestämmer Suzanna att en silverplatta ska ha arean $550\text{ }mm^2$550 mm².

Bestäm vilken längd guldtråden får om Suzanna använder så lite guldtråd som möjligt till smycket.