Matematik 3

00:00

Dela

/ Primitiva funktioner och integraler

Integraler

Primitiva Funktioner

Författare:Simon Rybrand Anna Karp

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Vad är en Primitiv funktion?
När använder man Primitiva funktioner?
Primitiv funktion till potensfunktioner
Primitiv funktion till exponentialfunktioner
Några olika primitiva funktioner att lägga på minnet
Exempel i videon
Kommentarer

Tidigare har vi lärt oss hur man bestämmer derivatan $f’$ ƒ ’ utifrån en känd funktion $f$ ƒ . Vi har deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner som kommer från derivatans definition.

Vi ska nu vi studera hur man kan bestämma en funktion $f$ ƒ utifrån en given derivata $f’$ ƒ ’ . Den ursprungliga funktionen kallas för en primitiv funktion och betecknas ofta med $F$ F.

En kontinuerlig funktion $F$ F i intervallet $a\le$ a≤ $x\le$ x≤ $b$ b är en primitiv funktion till funktionen $f$ ƒ i samma intervall om

$F'(x)=f\left(x\right)$ F’(x)=ƒ (x)

Eller med andra ord. Om derivata till $F$ F är lika med funktionen $f$ ƒ är $F$ F en primitiv funktion till $f$ ƒ .

Enkelt uttryckt innebär en primitiv funktion att man tar fram ”baklängesderivatan” för en funktion. Ibland kallas den primitiva funktionen just för antiderivata. Så när du deriverar den primitiva funktionen får du återigen fram den funktion som du ”började med”.

När använder man Primitiva funktioner?

När man beräknar integraler använder man den primitiva funktionen till integranden. Integranden är den funktion som begränsar arean. Hur man gör kommer vi gå igenom i kommande lektioner.

En metoden för att lyckas med att ta fram primitiva funktioner, är att försöka tänka derivering baklänges. Genom att tänka ”hur såg denna funktionen ut innan den blev deriverad?” kan man hitta den primitiva funktionen.

När vi deriverar multiplicerar vi med olika faktorer. När vi söker den primitiva funktionen kommer vi istället att dividera med motsvarande tal.

Primitiv funktion till potensfunktioner

Den primitiva funktionen för termer i potensform kan allra oftast i Ma3 och Ma4 beräknas med minnesregeln “koefficienten gånger variabeln upphöjt till exponenten plus ett, dividerat med exponenten plus ett ”.

I videon visar vi på hur detta mönster känns igen och hur man metodiskt kan tänka för att lyckas ta fram primitiva funktioner. Som inledande vägledning kan följande metod användas för polynomfunktioner.

Skriv av den givna funktionen.
Addera exponenten med ett.
Dividera med exponenten plus ett.
Förenkla uttrycket.
Lägg till en konstant C.

Observera att denna minnes regel alltså inte gäller för alla potensfunktioner. I Ma5 kommer vi titta på nya metoder för att ta fram den primitiva funktionen till andra mer komplicerade funktioner. Men i Ma3 och 4 kan vi som sagt allt som oftast använda den. Men bra att ta för vana att se om man tagit fram rätt primitiv funktion genom att derivera den och se att det stämmer.

Derivatan av en konstant är alltid lika med noll. Därför, när vi söker den primitiva funktionen, lägger vi alltid till en konstant $C$ C. Detta eftersom att när vi deriverar $F\left(x\right)$ F(x) alltid kommer få $f\left(x\right)$ ƒ (x) oavsett värdet på konstanten, eftersom att den försvinner vid derivering.

Man brukar skilja på att bestämma en primitiv funktion och samtliga primitiva funktioner. Skillnaden är just detta att vi lägger till en konstant $C$ C för att få samtliga funktioner $F\left(x\right)$ F(x) som har derivatan $f\left(x\right)$ ƒ (x).

I kommande lektion kommer vi att prata mer om konstanten $C$ C och hur man utifrån givna villkor kan bestämma dess värde.

Här följer nu exempel på hur vi bestämmer den primitiva funktionen till några potensfunktioner.

Exempel 1

Bestäm samtliga $F\left(x\right)$ F(x) då $f(x)=2x$ ƒ (x)=2x

Lösning

Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är

$F(x)=x^2+C$ F(x)=x²+C

Steg för steg får vi eftersom att

$f\left(x\right)=2x=2\cdot x^1$ ƒ (x)=2x=2·x¹

att

$F(x)=\frac{2\cdot x^{1+1}}{2}+C=\frac{2\cdot x^2}{2}+C=x^2+C$ F(x)=2·x¹⁺¹2 +C=2·x²2 +C=x²+C

Exempel 2

Bestäm samtliga $F\left(x\right)$ F(x) då $f(x)=x-3x^2+10$ ƒ (x)=x−3x²+10

Lösning

Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är

$F(x)=\frac{x^2}{2}-x^3+10x+C$ F(x)=x²2 −x³+10x+C

Steg för steg får vi eftersom att

$f\left(x\right)=x-3x^2+10=x^1-3x^2+10$ ƒ (x)=x−3x²+10=x¹−3x²+10

att

$F(x)=\frac{x^{1+1}}{2}-\frac{3x^{2+1}}{3}+10x+C=\frac{x^2}{2}-x^3+10x+C$ F(x)=x¹⁺¹2 −3x²⁺¹3 +10x+C=x²2 −x³+10x+C

Exempel 3

Bestäm samtliga $F\left(x\right)$ F(x) då $f(x)=$ ƒ (x)= $\frac{2}{\sqrt{x}}$ 2√x

Lösning

Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är

$F(x)=4\sqrt{x}+C$ F(x)=4√x+C

Steg för steg får vi eftersom att

$f\left(x\right)=$ ƒ (x)= $\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{2}{x^{0,5}}=$ 2√x =2x^0,5 = $2\cdot x^{-0,5}$ 2·x^−0,5

att

$F(x)=$ F(x)= $\frac{2\cdot x^{-0,5+1}}{0,5}$ 2·x^−0,5+10,5 $+C=$ +C= $\frac{2\cdot x^{0,5}}{0,5}$ 2·x^0,50,5 $+C=$ +C= $4\cdot x^{0,5}+C=4\sqrt{x}+C$ 4·x^0,5+C=4√x+C

Primitiv funktion till exponentialfunktioner

Den primitiva funktionen för termer med variabeln i exponenten är lika med “den ursprungliga funktionen dividerat med exponentens derivata gånger den naturliga logaritmen för basen”.

Följande metod kan användas som vägledning när du bestämmer primitiva funktioner till exponentialfunktioner.

Skriv av den givna funktionen.
Dividera med, exponentens derivata multiplicerat med den naturliga logaritmen för basen.
Förenkla uttrycket.
Lägg till en konstant $D$ D.

I denna kursen är exponenten alltid en linjär funktion, alltså en förstagradsfunktion. Derivatan till alla linjära funktioner är alltid en konstant. Därför brukar man ibland lite slarvigt säga att man ”dividerar med koefficienten i exponenten”. Men det beror alltså på att derivatan av exponenten, när den är linjär, alltid motsvaras av koefficienten i exponenten.

I denna kurs är det även framföra allt exponentialfunktioner med basen $e$ e som man ska bestämma den primitiva funktionen till. Det leder till att regeln blir något enklare. Detta eftersom att den naturliga logaritmen $\ln$ ln för basen $e$ e är lika med ett. Vi får då att

$F\left(x\right)=$ F(x)= $\frac{Ce^{kx}}{k\cdot\ln e}=\frac{Ce^{kx}}{k\cdot1}=\frac{Ce^{kx}}{k}$ Ce^kxk·lne =Ce^kxk·1 =Ce^kxk

Här följer ett exempel på hur vi bestämmer den primitiva funktionen till en exponentialfunktion.

Exempel 4

Bestäm samtliga $F\left(x\right)$ F(x) då $f(x)=e^{3x}$ ƒ (x)=e^3x

Lösning

Enligt regeln ska vi utgå från den ursprungliga funktionen och sedan dividera med exponentens derivata gånger den naturliga logaritmen för basen. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är

$F(x)=\frac{e^{3x}}{3}+C$ F(x)=e^3x3 +C

Några olika primitiva funktioner att lägga på minnet

Här har vi tagit fram den primitiva funktionen, så kallade primitiver, för några vanliga funktionsuttryck.

$f\left(x\right)=k\text{ }\text{ }\text{⇒}$ `ƒ` (`x`)=`k` ⇒	$F\left(x\right)=kx+C$ `F`(`x`)=`kx`+`C` där $k$ `k` och $C$ `C` är konstanter
$f\left(x\right)=4\text{ }\text{ }\text{⇒}$ `ƒ` (`x`)=4 ⇒	$F\left(x\right)=4x+C$ `F`(`x`)=4`x`+`C`
…	…
$f\left(x\right)=kx^n\text{ ⇒}$ `ƒ` (`x`)=`kx`ⁿ ⇒	$F\left(x\right)=$ `F`(`x`)= $\frac{kx^{n+1}}{n+1}$ `kx`ⁿ⁺¹`n`+1 $+C$ +`C`
$f\left(x\right)=2x\text{ ⇒}$ `ƒ` (`x`)=2`x` ⇒	$F\left(x\right)=x^2$ `F`(`x`‍)=`x`² $+C$ +`C`
$f\left(x\right)=x^2\text{ }\text{ }\text{⇒}$ `ƒ` (`x`)=`x`² ⇒	$F\left(x\right)=$ `F`(`x`)= $\frac{x^3}{3}$ `x`³3 $+C$ +`C`
$f\left(x\right)=$ `ƒ` (`x`)= $\frac{1}{x}$ 1`x` $\text{ ⇒}$ ⇒	$F\left(x\right)=$ `F`(`x`)= $\ln x$ ln`x` $+C$ +`C`
$f\left(x\right)=\sqrt{x}$ `ƒ` (`x`)=√`x` $\text{ ⇒}$ ⇒	$F\left(x\right)=$ `F`(`x`)= $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 12√`x` $+C$ +`C`
…	…
$f\left(x\right)=C\cdot a^{kx}$ `ƒ` (`x`)=`C`·`a`^kx $\text{ ⇒}$ ⇒	$F\left(x\right)=$ `F`(`x`)= $\frac{Ca^{kx}}{k\cdot\ln a}$ `Ca`^kx`k`·ln`a` $+C$ +`C`
$f\left(x\right)=e^x\text{ }\text{ }\text{⇒}$ `ƒ` (`x`)=`e`^x ⇒	$F\left(x\right)=e^x+C$ `F`(`x`)=`e`^x+`C`
$f\left(x\right)=e^{5x}\text{ }\text{ }\text{⇒}$ `ƒ` (`x`)=`e`^5x ⇒	$F\left(x\right)=$ `F`(`x`)= $\frac{e^{5x}}{5}$ `e`^5x5

Exempel i videon

Visar den primitiva funktionen till $f(x)=2$ ƒ (x)=2
Bestäm den primitiva funktionen till $f(x)=2x^2$ ƒ (x)=2x²
Exempel där vi tar fram primitiv funktion till
- $f(x)=2x^4+2x-10$ ƒ (x)=2x⁴+2x−10
- $f(x)=e^x$ ƒ (x)=e^x
- $f(x)=2e^{3x}$ ƒ (x)=2e^3x

Nästa lektion: Primitiva Funktioner med villkor

Kommentarer

Tayzo569

2021-03-14

Hej jag skrev exakt F(x)= x^2+6x+C på fråga nr. 11 och får till inkorrekt svar

Emil Axelsson

2019-11-06

Hej
Exempel, Om man endast svara F = 6x^6/6 till f= 6x^5 . Man förenklar inte. Är det fortfarande ett giltigt svar?

Simon Rybrand (Moderator)

2019-11-12

Hej
Det beror på vad som efterfrågas i uppgiften. Om det uttryckligen står att du skall förenkla uttrycket så behöver du göra det.
Det kan dock vara viktigt att poängtera att det är bra att förenkla om det går.

Per Eriksson

2019-01-21

Din hand i videon fick mig att direkt tänka på Monty Python’s Flying Circus ;-D

Simon Rybrand (Moderator)

2019-01-22

🙂

Lo Larson

2018-09-28

Hej!

Hur jag än räknar kommer jag fram till a= -3 och b=6 på fråga åtta, men det rätta svaret ska vara a=3 b=-6, hur kan det bli så?

Rasmus Mononen

2018-02-06

Hej!

Det ser ut som att du bytt tecken på funktionen när du jämför Primitiva funktionens derivata och Funktionen. Då blir a positivt och b negativt, vilket annars hade blivit tvärt om. Inte sant?

// Rasmus

Simon Rybrand (Moderator)

2018-02-12

På vilken uppgift hittade du detta?

Christoffer Gustavsson

2017-04-19

Hej!

Om jag vill att f(x)= 1/2√x ska bli F(x) hur gör jag då?

Jag vet att jag ska flytta upp √x så att jag får x^-1/2 sedan +1 så att jag får (x^1/2)/2/1/2.

Simon Rybrand (Moderator)

2017-04-23

Ja skriv det som
$f(x)=0,5x^{-1/2}$ först och sedan får du
$F(x)=-x^{-1/2}+C$

Yosefd

2015-09-27

kollade på dina tidigare svar, tror att jag missuppfattade ditt svar.

Yosefd

2015-09-23

Hur vet man att antiderivatan av 4x^1/ blir 4x^3/2? och när jag slår e^3∗0 /3 får jag 1/3 inte
4/3

Simon Rybrand (Moderator)

2015-09-24

Hej, $4x^1=4x$ har den primitiva funktionen $\frac{4x^2}{2}=2x^2$ och inte det som du skriver? Missförstår jag något?
Det andra uttrycket har jag svårt att tolka, var hämtar du det ifrån?

Yosefd

2015-09-23

Jag förstår inte varför 2x^4 antiderivatan av det blir 2x^5/5 medan 3x^2 blir x^3

Simon Rybrand (Moderator)

2015-09-24

Mönstret för att hitta den primitiva funktionen brukar ju vara att öka på exponenten med ett och sedan dela med exponenten då denna sedan ”kommer ner” vid derivering. I fallet med $2x^4$ så måste vi göra det exempelvis då dess primitiva funktion är
$\frac{2x^5}{5}$ . När detta uttryck deriveras får vi ju 10 framför x och delar vi då med 5 så får vi 2.
Med $3x^2$ så är det ju så smidigt att vi inte behöver dela med 3 då derivatan av $x^3$ är $3x^2$ . Men vi kan ändå följa samma mönster och se att det fungerar då
$\frac{3x^3}{3}=x^3$
Hoppas att detta hjälper dig vidare!

sara94

2015-03-05

Hej
jag har kört fast och inte kan gå vidare med en primtiv funktion

f(x)= 5x^3 – 6x^2 + 7x +8

jag började; F(x)= 5x^4\4 – 6x^3\3 + 7x^2\2 + 8x+ C

Simon Rybrand (Moderator)

2015-03-06

Ser ut som att du har gjort rätt, du kan dock förenkla
$\frac{6x^2}{2} = 3x^2$

Xiaoting Chen

2014-09-15

hur bestämmer man den här primitiva funktionen f(x)=e^0.1x+4√x?

hur får man 4√x= 8x√x/3?

Simon Rybrand (Moderator)

2014-09-15

Hej
Först kan du skriva om funktionen så att det blir lite enklare att se den primitiva funktionen:
$f(x)=e^{0,1x}+4\sqrt{x}=e^{0,1x}+4x^{1/2}$

Sedan gör jag enligt följande:
$F(x)=\frac{e^{0,1x}}{0,1} +\frac{4x^{3/2}}{3/2}+C$ $=10e^{0,1x}+\frac{8x^{3/2}}{3} +C$

nti_ma3

2014-05-15

Hejsan! Jag har kört fast på primitiva funktioner
f(x)=2/roten ur x . Hur ska jag tänka här,Här är en till f(x)=xgånger roten ur x delat med 2??

Simon Rybrand (Moderator)

2014-05-16

Hej, skriv om funktionen på följande vis:
$f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{2}{x^{1/2}} =$
$2x^{-1/2}$
Här blir det enklare att ta fram den primitiva funktionen, hoppas att det hjälper dig vidare!

nti_ma3

2014-05-18

Tackar!!

noor

2013-12-05

hej! jag behöver hjälp med att bestämma samtliga lösningar till ekvation f´ (x) = 0 i intervaller 0 ≤ x ≤ π då f(x) = 2x + cos 4x

tack på förhand

Simon Rybrand (Moderator)

2013-12-06

Här får du derivera först så att du får
$f'(x) = 2 – 4sin4x$
Sedan kan du lösa ekvationen
$2 – 4sin4x = 0$

noor

2013-12-05

hej ! jag behöver hjälp med att bestämma den primitiva funktion F till f(x)= e^(3x) för F(0) = 4/3

tack på förhand

Simon Rybrand (Moderator)

2013-12-06

Hej, den primitiva funktionen till $f(x)= e^{3x}$ är
$F(x) = \frac{e^{3x}}{3} + C$
Det du nu söker är konstanten C vilken du kan hitta genom att lösa ekvationen
$F(0) = 4/3 ⇔$
$\frac{e^{3*0}}{3} = 4/3$
Hoppas att detta hjälper dig på vägen, annars får du gärna fråga vidare.

masara

2013-11-11

Hej
Behöver hjälp med att hitta primitiva funktionen till sinxcosx

Simon Rybrand (Moderator)

2013-11-12

Hej, den är lite lurig då det inte finns ett bra ”system” för det som det exempelvis finns för polynomfunktioner.
Men här kan vi använda oss av att om vi deriverar en sammansatt funktion (har inre derivata) så vill vi få den inre derivatan cosx eller sin x. Om vi har den inre funktionen sinx så kommer den inre derivatan att bli cos x.
Vi kan då ställa upp det enligt:
$f(x) = sinxcosx$
$F(x) = \frac{1}{2}sin^2x + C$

folkuniv

2013-05-23

Hej Simon!

Jag behöver hjälp med en uppgift. f(x)=x/5+x^2/5. Hur ska jag först göra för att skriva om den till enklare form för att sedan räkna ut F(x)?

Simon Rybrand (Moderator)

2013-05-23

Om du har $f(x) = \frac{x}{5} + \frac{x^2}{5}$ så kan du skriva den så att du tar ut 1/5 ur bägge termerna på följande vis:
$f(x) = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}x^2$

Då kanske det blir enklare att ta fram den primitiva funktionen? Du får då denna till
$F(x) = \frac{1}{5}⋅\frac{x^2}{2} + \frac{1}{5}⋅\frac{x^3}{3} = \frac{x^2}{10} + \frac{x^3}{15}$

folkuniv

2013-05-23

Tack så mycket 🙂

natsu25

2013-05-19

Jag förstår inte riktigt hur derivering av cosinus samt sinus fungerar.

Simon Rybrand (Moderator)

2013-05-20

Hejsan, kika gärna på den här videon som förklarar detta.

Rayhanny

2012-11-11

Jag förstår inte riktigt

Simon Rybrand (Moderator)

2012-11-12

Hej, vad är det du inte förstår, hur du t.ex. en konkret uppgift som du jobbar med just nu?

Ullvi3

2012-10-15

Hej, jag tänkte på att när du har en funktion given t.ex f(x)=6x^3, måste man då skriva +C i slutet på den primitiva funktionen? Eftersom f(x) redan är given utan konstant?

Simon Rybrand (Moderator)

2012-10-16

Hej,
Ja du bör skriva att du har en möjlig konstantterm C då alla konstanttermer blir 0 när de deriveras. Denna konstantterm kan ju också vara noll.

oscar.bergman

2012-08-11

Ska inte f(x) = 2cosx bli F(x) = -2sinx + C?

Robin12345

2012-08-19

Hej!
Jag tror att derivatan av 2cosx = -2sinx
medans den primitiva funktionen till 2cosx = 2sinx+C

Derivatan av cosx+C = -sinx
Antiderivatan av -sinx = cosx+C

Derivatan av sinx+C= cosx
Antiderivatan av cosx = sinx+C

Simon Rybrand (Moderator)

2012-08-20

Det är precis som Robin skriver här att den primitiva funktionen till f(x) = 2cosx är F(x) = 2sinx + C, där C är en konstant.

Tack Robin för att du tog dig tid att svara!

Endast Premium-användare kan kommentera.

TrÃ¤na mer

E
0/15
C
0/9
A
0/2

TotalpoÃ¤ng

0/26

e-uppgifter (13)

1.
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Hur kan du avgöra om $F\left(x\right)$ F(x) är en primitiv funktion till $f\left(x\right)$ ƒ (x)?
- Det går inte att avgöra.
- Genom att undersöka om $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$
- Genom att undersöka om $F\left(x\right)=f'\left(x\right)$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_B Korrekt val.
- Rättad
Rättar...
2.
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Är $F$ F är en primitiv funktion till $f$ ƒ då

$f\left(x\right)=6x^2$ ƒ (x)=6x² och $F\left(x\right)=2x^3+5$ F(x)=2x³+5 ?

Ange ditt svar med Ja eller Nej, men träna även på att motivera ditt svar.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Ja, eftersom att $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. (Ja)

Rättad
Rättar...
3.
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Ange samtliga primitiva funktioner till $f(x)=2x$ ƒ (x)=2x
- $F(x)=2+C$
- $F(x)=2x+C$
- $F(x)=x^2+C$
- $F(x)=\frac{x^2}{2}+C$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_P Korrekt val.
- Rättad
Rättar...

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Ange samtliga primitiva funktioner till $f(x)=4x+3$ ƒ (x)=4x+3
- $F(x)=3+C$
- $F(x)=4x+3+C$
- $F(x)=2x^2+3x+C$
- $F(x)=4x^2+3x+C$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_P Korrekt val.
- Rättad
Rättar...
5. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K
NP

Bestäm alla primitiva funktioner till $f\left(x\right)=x^2$ ƒ (x)=x²
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+C$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar $\left(F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+C\right)$

Rättad
Se mer: Primitiva Funktioner
Rättar...
6. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Ange samtliga primitiva funktioner till

$f(x)=5x^4+3x^2+2$ ƒ (x)=5x⁴+3x²+2
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $F(x)=x^5+x^3+2x+C$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $F(x)=x^5+x^3+2x+C$ )

Rättad
Rättar...
7. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Ange samtliga primitiva funktioner till $f(x)=e^x$ ƒ (x)=e^x
- $F(x)=e^x+1$
- $F(x)=e^x+C$
- $F(x)=e^{2x}+C$
- $F(x)=\frac{e^{2x}}{2}+C$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_P Korrekt val.
- Rättad
Rättar...
8. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Bestäm samtliga primitiva funktioner till $f(x)=2e^{2x}$ ƒ (x)=2e^2x
- $F(x)=e^{2x}+C$
- $F(x)=2e^{2x}+C$
- $F(x)=\frac{e^{2x}}{2}+C$
- $F(x)=\frac{2e^{3x}}{3}+C$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_P Korrekt val.
- Rättad
Se mer: Tillämpning Integraler- E-uppgifter
Rättar...
9. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Bestäm samtliga primitiva funktioner till $f(x)=4^x$ ƒ (x)=4^x
- $F(x)=4^x+C$
- $F(x)=2^{2x}+C$
- $F(x)=4^x\cdot\ln4+C$
- $F(x)=\frac{4^x}{\ln4}+C$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_P Korrekt val.
- Rättad
Rättar...
10. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Ange en primitiv funktion till $f(x)=3x^2+2x+1$ ƒ (x)=3x²+2x+1
- $F(x)=x^2+x$
- $F(x)=3x^2+2x+1$
- $F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x$
- $F(x)=x^3+x^2+x$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_P Korrekt val.
- Rättad
Rättar...
11. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Ange en primitiv funktion till $f(x)=56$ ƒ (x)=56
- $F(x)=0$
- $F(x)=C$
- $F(x)=56x$
- $F(x)=\frac{56x^{57}}{57}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_P Korrekt val.
- Rättad
Rättar...
12. Premium
(2/0/0)
E C A

B 1

P

PL 1

M

R

K

Är $F\left(x\right)=4x-3$ F(x)=4x−3 en primitiv funktion till $f\left(x\right)=2x^2-3x$ ƒ (x)=2x²−3x ?

Ange Ja eller Nej som svar, men träna även på att motivera ditt svar.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Nej.
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar..
+1 e_PL ...med godtagbar motivering. ( "Nej, då $F'\left(x\right)\ne f\left(x\right)$ " )

Rättad
Rättar...
13. Premium
(2/0/0)
E C A

B 1

P

PL 1

M

R

K

Figuren visar grafen till funktionen $f$ ƒ .

Bestäm samtliga primitiva funktioner till funktionen $f$ ƒ .
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $F\left(x\right)=-x^2+6x+C$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_PL Bestämmer en korrekt primitivfunktion...
+1 e_B ..med tillagd konstant C.

Rättad
Rättar...

c-uppgifter (8)

14. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Ange samtliga primitiva funktioner till $f(x)=$ ƒ (x)= $\sqrt{x}$ √x
- $F(x)=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C$
- $F(x)=\frac{3x\sqrt{x}}{2}$
- $F(x)=\frac{2}{3\sqrt{x}}$
- $F(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_P Korrekt val.
- Rättad
Rättar...
15. Premium
(0/2/0)
E C A

B 1

P

PL 1

M

R

K

Figuren visar grafen till funktionen $f$ ƒ .

Bestäm samtliga primitiva funktioner till funktionen $f$ ƒ .
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $F\left(x\right)=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x+C$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Bestämmer korrekt primitiv funktion...
+1 c_B ...med tillagd konstant C. ( $F\left(x\right)=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x+C$ )

Rättad
Rättar...
16. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Ange samtliga primitiva funktioner till $f(x)=$ ƒ (x)= $\frac{2}{\sqrt{x}}$ 2√x
- $F\left(x\right)=2x+C$
- $F\left(x\right)=\sqrt{x}+C$
- $F\left(x\right)=4\sqrt{x}+C$
- $F\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt{x}}+C$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_P Korrekt val.
- Rättad
Rättar...
17. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Bestäm samtliga primitiva funktioner till

$f(x)=6\cdot4^{2x}$ ƒ (x)=6·4^2x
- $F(x)=6\cdot4^{2x}+D$
- $F(x)=12^{2x}\cdot\ln4+D$
- $F(x)=12\cdot4^{2x}\cdot\ln4+D$
- $F(x)=\frac{3\cdot4^{2x}}{\ln4}+D$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_P Korrekt val.
- Rättad
Rättar...
18. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Bestäm samtliga primitiva funktioner till $f(x)=$ ƒ (x)= $\frac{x}{4}$ x4
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $F\left(x\right)=\frac{x^2}{8}+C$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_P Anger korrekt svar. ( $F\left(x\right)=\frac{x^2}{8}$ +C )

Rättad
Rättar...
19. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Bestäm samtliga primitiva funktioner till $f(t)=$ ƒ (t)= $\frac{1}{t^2}$ 1t² $+3$ +3
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $F\left(t\right)=-\frac{1}{t}+3t+C$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_P Anger korrekt svar.

Rättad
Rättar...
20. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Bestäm samtliga primitiva funktioner till $f\left(x\right)=4x\left(x^2-3\right)$ ƒ (x)=4x(x²−3)
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $F\left(x\right)=x^4-6x^2+C$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_P Anger korrekt svar.

Rättad
Rättar...
21. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Bestäm samtliga primitiva funktioner till $f(x)=ax+b$ ƒ (x)=ax+b , där $a$ a och $b$ b är konstanter.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $F\left(x\right)=\frac{ax^2}{2}+bx+C$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_P Anger korrekt primitiv funktion. ( $F\left(x\right)=\frac{ax^2}{2}+bx+C$ )

Rättad
Rättar...

a-uppgifter (1)

22. Premium
(0/0/2)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K
M

Bestäm konstanterna $a$ a och $b$ b så att

$F(x)=$ F(x)= $\frac{a}{x^6}$ ax⁶ $+b\sqrt{x}$ +b√x

blir en primitiv funktion till

$f(x)=$ ƒ (x)= $\frac{18}{x^7}+\frac{3}{\sqrt{x}}$ 18x⁷ +3√x
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\begin{cases} a=-3\\\ b = 6\end{cases}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_PL Godtagbar ansats tex deriverar den primitiav funktionen korrekt.
+1 a_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $a=-3$ och $b=6$ )

Rättad
Rättar...

Nästa lektion: Primitiva Funktioner med villkor

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

Eddler AB
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
info@eddler.se

Säker SSL-server

Vad är detta?

Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)

Förhandsvisning Latex:

Latexkod:

Matematik 3

Välj kurs

KURSER /

Matematik 3

/ Primitiva funktioner och integraler

Primitiva Funktioner

Författare:Simon Rybrand Anna Karp

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Exempel 1

Lösning

Exempel 2

Lösning

Exempel 3

Lösning

Exempel 4

Lösning

Tayzo569

Emil Axelsson

Simon Rybrand (Moderator)

Per Eriksson

Simon Rybrand (Moderator)

Lo Larson

Rasmus Mononen

Simon Rybrand (Moderator)

Christoffer Gustavsson

Simon Rybrand (Moderator)

Yosefd

Yosefd

Simon Rybrand (Moderator)

Yosefd

Simon Rybrand (Moderator)

sara94

Simon Rybrand (Moderator)

Xiaoting Chen

Simon Rybrand (Moderator)

nti_ma3

Simon Rybrand (Moderator)

nti_ma3

noor

Simon Rybrand (Moderator)

noor

Simon Rybrand (Moderator)

masara

Simon Rybrand (Moderator)

folkuniv

Simon Rybrand (Moderator)

folkuniv

natsu25

Simon Rybrand (Moderator)

Rayhanny

Simon Rybrand (Moderator)

Ullvi3

Simon Rybrand (Moderator)

oscar.bergman

Robin12345

Simon Rybrand (Moderator)

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

12. Premium

13. Premium

14. Premium

15. Premium

16. Premium

17. Premium

18. Premium

19. Premium