Problemlösning Differentialekvationer

Magnus köper aktier för $10\text{ }000$10 000 kr. Under en lågkonjunktur minskar värdet av aktierna med en hastighet av  $3\text{ }\%$3 % per år av det aktuella värdet. Beskriv förändringen med en differentialekvation.

I en stad finns $165\text{ }000$165 000 invånare år 2015. Befolkningstillväxten är proportionell mot den aktuella befolkningsmängden med proportionalitetskonstanten $0,045$0,045. Hur många invånare beräknas staden ha år 2025? Avrunda till hela tusental.

Vilket eller vilka av följande påståenden är korrekt(a)?

A. En differentialekvation som innehåller  $y’$y’  är alltid en differentialekvation av första ordningen.
B. För differentialekvationer av typen  $y”+ay+by=0$y”+ay+by=0  finns tre olika karaktäristiska ekvationer.
C. Differentialekvationer av typen  $y”=f\left(x\right)$y”=ƒ (x)  kan lösas med hjälp av primitiva funktioner.
D. En differentialekvation av typen  $y’+ay=0$y’+ay=0  kallas inhomogen.

Frida får ett läkemedel mot högt blodtryck. Hur snabbt läkemedlet bryts ner av kroppen kan beskrivas med differentialekvationen

$\frac{\text{d}m}{\text{d}t}=$dmdt =$k\cdot m$k·m 

där $k$k är en konstant och $m$m mg är mängden läkemedel i kroppen $t$t timmar efter att hon fått medicinen.

a) Visa att $m\left(t\right)=C\cdot e^{kt}$m(t)=C·e^kt är en lösning till differentialekvationen.

b) När Frida tar en tablett blir mängden läkemedel i hennes kropp $100$100 mg. Efter $1$1 timme har mängden minskat till $90$90 mg. Bestäm konstanterna $C$C och $k$k för funktionen $m\left(t\right)=C\cdot e^{kt}$m(t)=C·e^kt detta fall.

c) Bestäm hur lång tid det tar för Fridas kropp att bryta ner $90\text{ }\%$90 % av en given mängd läkemedel om inget nytt läkemedel tillförs.

Bestäm lutningen för lösningskurvan till  $y’=2x+3y$y’=2x+3y  i punkten  $\left(0,\frac{1}{9}\right)$(0,19 ) .

En liten kula som hänger i en tråd med längden  $l=1,0$l=1,0  meter. Kulan sätts i rörelse genom att den först hålls stilla  $20$20  cm från jämviktsläget och sedan släpps. Pendelrörelsen kan beskrivas med differentialekvationen  $y”+\frac{g}{l}y=0$y”+gl y=0 , där  $y$y  är kulans avstånd i meter från jämviktsläget och  $g$g  är tyngdkonstanten med värdet  $9,82$9,82 . Bestäm kulans avstånd från jämviktsläget  $5,7$5,7  sekunder efter rörelsens start.

En vikt är upphängd i en fjäder och svänger vertikalt kring jämviktsläget. Rörelsen kan beskrivas med differentialekvationen  $0,20y”=-3,2y$0,20y”=−3,2y , där $y$y är avståndet i meter till jämviktsläget efter $t$t sekunder. Då tidtagningen börjar är vikten  $2,4$2,4 cm från jämviktsläget och dess hastighet är  $0$0 m/s. Bestäm viktens avstånd till jämviktsläget efter $10$10 sekunder.

Parham arbetar med differentialekvationen  $y”+8y=6y’$y”+8y=6y’. Han kommer fram till att  $y=4e^{2x}$y=4e^2x är en lösning till ekvationen och visar resultatet för Aida. Aida studerar ekvationen och säger att det inte kan stämma. Hon menar att siffrorna $4$4 och $2$2 råkat byta plats i Parhams lösning, för lösningen ska vara  $y=2e^{4x}$y=2e^4x enligt Aida.

Undersök om någon av dem har fel.

Lös differentialekvationen  $\frac{dy}{dx}=\left(3x^2+x+1\right)\left(y^2+1\right)$dydx =(3x²+x+1)(y²+1)  om  $y(0)=1$y(0)=1 .

Tips: Derivatan av  $f\left(x\right)=\tan^{-1}x$ƒ (x)=tan⁻¹x  är  $f’\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2}$ƒ ’(x)=11+x²  . 

Ett föremål med massan  $m$m  faller nedåt med luftmotståndet  $F_L$F_L  som motkraft. Rörelsen kan beskrivas med differentialekvationen  $m\cdot\frac{dv}{dt}=mg-F_L$m·dvdt =mg−F_L , där luftmotståndet är proportionellt mot hastigheten och  $g$g  är tyngdkonstanten. Använd proportionalitetskonstanten  $k$k  och bestäm föremålets sluthastighet. Utgå från att föremålet ej slår i marken.

En stjärnas ålder 

Rymdfysiker kan genom att analysera ljuset från en stjärna bestämma hur mycket av ämnet Uran-238 som finns kvar i stjärnan. Då kan man avgöra stjärnans ålder.

Atomkärnor av Uran-238 sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot antalet kvarvarande atomkärnor, $N$N, vid tiden $t$t år. Sönderfallet kan då beskrivas med hjälp av differentialekvationen

 $\frac{dN}{dt}$dNdt $-kN=0$−kN=0     där $k$k är en konstant.

a)    Visa att $N\left(t\right)=N_0e^{kt}$N(t)=N₀e^kt   är en lösning till differentialekvationen.

Genom att analysera ljuset från stjärnan CS 31082-001 har fysikerna bestämt att det återstår ungefär  $14,6\text{ }\%$14,6 % av den ursprungliga mängden Uran-238 som fanns i stjärnan då den bildades.

Halveringstiden, det vill säga den tid det tar för hälften av atomkärnorna att sönderfalla, är $4,5\cdot10^9$4,5·10⁹ år för Uran-238.

b)    Bestäm stjärnans ålder.