Räta linjens ekvation - Högstadiet

En förstagradsfunktion kallas även för en linjär funktion och dess graf är en rak linje, en så kallad rät linje.

För en linjär funktion gäller att alla punkter som tillhör funktionen återfinns längs en rät/rak linje. I stort sätt alla räta linjer kan beskrivas med ett matematiskt samband, en formel, som kallas för den räta linjens ekvation. Det är detta samband vi ska presentera mer ingående i denna lektion.

De två saker som styr hur en rät linje ser ut i ett koordinatsystem är alltså lutningen $k$k och $ m $-värdet.

Värdet på $m$m kan vi läsa av i skärningspunkten mellan $y$y -axeln och grafen allternativ beräkna dess värde med hjälp av en punkt och linjens lutning.

Man delar in linjers lutning i fyra olika grupper. Positiv, negativ, noll och saknad lutning.

En linjes lutning kan avläsas ur grafen genom att se hur många steg i $y$y -led vi måste förflytta oss uppåt eller nedåt, om vi tar ett steg åt höger i $x$x -led. Förflyttar vi oss uppåt är lutningen positiv och nedåt är lutningen negativ. Förflyttas vi inget i höjdled är lutningen noll.

Linjens lutning kan också beräknas med hjälp av koordinaterna från två punkter. Vi går igenom formeln för att räkna ut $k$ nedan.

För vissa kan det hjälpa att tänka linjens lutning som lutningen på en backe.

Tänk att du ställer dig på grafen med näsan i samma riktning som $x$x -axeln pekar. Om du då har en nedförsbacke när vi går åt det håll näsan pekar, då har linjen en negativ lutning och $k<0$k<0.

Om vi istället har en uppförsbacke när vi går åt det håll näsan pekar, då har linjen en positiv lutning och $k>0$k>0 .

Viktigt när du undersöker om det är en uppförs- eller nedförsbacke är att du måste tänka på att du rör dig åt höger i koordinatsystemet, det vill säga i positivt $x$x-led. Alltid.

I stort sätt alla räta linjer kan som sagt beskrivas med den räta linjens ekvation. Men det finns ett undan tag. Nämligen i det fall du har en lodrät linje. Man säger att lodrät linje saknar en lutning, vilket leder till att man inte kan beskriva den med den räta linjens ekvation.

Definitionen för en funktion är att för varje invärde associeras endast ett utvärde. Det innebär att för varje $x$x-värde har funktionen endast ett tillhörande värde på $y$y.

För en lodrät linjen gäller inte detta då den har oändligt många $y$y -värden för samma $x$x -värde. Därför är inte en lodrät linje en funktion och kan där med inte heller beskrivas med räta linjens ekvation.

I stället beskrivs en lodrät linje på formen  $x=a$x=a

Linjens lutningen, den så kallade riktningskoefficienten, förkortas oftast med bokstaven $ k $. Denna kan bestämmas både grafiskt och algebraiskt. Den motsvarar kvoten mellan förändringen i $y$y– och $x$x -led mellan två punkter på linjen.

Symbolen  $\bigtriangleup$△ utläses ”delta”. Man beräknar  $\bigtriangleup y$△y och  $\bigtriangleup x$△x med hjälp av två valfria punkter på linjen. För att skilja på punkterna ger man koordinaterna ett index, en liten nersänkt numrering, så här $ (x_1, y_1) $ och $ (x_2, y_2) $.

Man kan bestämma linjens lutning grafiskt och algebraiskt. Vi börjar med att titta på den grafiska lösningen.

Genom att läsa av förändringen i grafen, kan vi få fram värden som gör det möjligt att beräkna linjens lutningen.

$k=$k= $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$△y△x        där $\bigtriangleup y$△y motsvarar förändringen i $y$y-led och $\bigtriangleup x$△x motsvarar förändringen i  $x$x -led.

Om  $y$y -värdet mellan de två punkterna har förändrats uppåt, motsvarar förändringen det positiva värde som motsvara antal steg du förflyttar dig mellan punkterna.
Om  $y$y -värdet mellan de två punkterna har förändrats nedåt, motsvarar förändringen det negativa värde som motsvara antal steg du förflyttar dig mellan punkterna.

Om  $x$x-värdet mellan de två punkterna har förändrats åt höger, motsvarar förändringen det positiva värde som motsvara antal steg du förflyttar dig mellan punkterna.
Om  $x$x -värdet mellan de två punkterna har förändrats åt vänster, motsvarar förändringen det negativa värde som motsvara antal steg du förflyttar dig mellan punkterna.

Observera att linjen lutning är konstant och vi kommer få samma $k$k -värde oavsett vilka två punkter på linjen vi väljer.

Med hjälp av två punkter på linjen kan vi algebraiskt beräkna linjens lutning. Vilka spelar som sagt ingen roll, då linjens lutning är densamma för alla punkter på linjen.

Vi beräknar förändringen i $y$y -led med hjälp av de två punkternas $y$y -värden,  $\bigtriangleup y=y_2-y_1.$△y=y₂−y₁. På liknade sätt beräknar vi delta $x$x med $\bigtriangleup x=x_2-x_1.$△x=x₂−x₁.

För att sedan beräkna linjens lutning beräknar vi $k$k -värdet, som ges av kvoten

$k=$k=   $\frac{\text{Förändringen i y-led}}{\text{Förändringen i x−led}}=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$Förändringen i y-ledFörändringen i x−led =△y△x =y₂−y₁x₂−x₁ 

Vilken punkt på linjen du kallar punkt ett och två spelar ingen roll. Det enda du måste vara noggrann med är att de koordinater som tillhör samma punkt måste placeras ovanför varandra i kvoten  $k$k $=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$=△y△x =y₂−y₁x₂−x₁ 

Som du ser är punkten $ (2, 4) $:s koordinater ovan för varandra i kvoten. Samma gäller för koordinaterna i punkten  $ (3, 8 ) $.

Vi vill till sist kontrollera att det verkligen stämmer att det inte spelar någon roll vilken av punkterna vi indexerar som ett och två, för att får samma värde på riktningskoefficienten. Kontrollen görs genom att beräkna exemplet ovan med ombytt plats på punkterna.

$ k =$ $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{4-8}{2-3}=\frac{-4}{-1}=$y₁−y₂x₁−x₂ =4−82−3 =−4−1 = $4$4

I nedanstående exempel tar vi fram räta linjens ekvation genom att läsa av $k$k– och  $m$m-värde utifrån grafen.

Nu bestämmer vi den räta linjen ekvation med hjälp av två punkter.

Om du ska avgöra om punkter ligger på en rät linje eller inte så behöver du känna till punkternas koordinater. Dvs du behöver känna till punktens x-värde och dess y-värde. För att sedan avgöra om punkten ligger på linjen så sätts koordinaterna in i räta linjens ekvation. Om då vänsterledet är lika med högerledet så gäller att punkterna ligger på linjen.

Ibland behöver vi skriva om formeln för en linjär funktion för att till exempel kunna rita ut den med en grafritande räknare. Vi behöver då få $y$y ensamt på ena sidan likhetstecknet för att se vilken formeln som funktionen har. Nedan visas ett sådant exempel där vi använder samma metod som används vid ekvationslösning för att ”lösa ut” $y$y.

Det sätt som vi har beskrivit linjer på här ovan kallas för $k$k -form, där räta linjens ekvation är $y=kx+m$y=kx+m. Detta är det vanligaste sättet på högstadiet och gymnasiet att beskriva räta linjer på.

Det finns dock fler sätt än $k$k -form att beskriva linjer på. Ett av dessa sätt kallas för allmän form där man beskriver linjen med hjälp av en annan ordning på termerna. För funktioner skrivna i allmän form gäller att lika högerledet är lika med noll.

Nedan visas ett exempel där vi har en linje skriven på k-form och där vi omvandlar denna till allmän form.