00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Sinussatsen kan användas för att bestämma okända vinklar och sidor i en triangel.

För att kunna använda den så behöver du känna till följande

  1. En sidas längd och motstående vinkels storlek
  2. Någon annan sida eller vinkel i triangeln

Sinussatsen

För en triangel ABCABCABC gäller att

Sinussatsen

sinAa=sinBb=sinCc\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}sinAa =sinBb =sinCc 

där sidan aaa är motstående vinkeln AAA, sidan  bbb motstående vinkeln  BBB  och sidan ccc  motstående vinkel  CCC.

I likhet med tillämpningen av areasatsen, så väljer man att använda den eller de kvoter som lämnar sig bäst för tillfället.

Likheten ovan kan skrivas om till

asinA=bsinB=csinC\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}asinA =bsinB =csinC 

och man kan välja att använda de sambanden i stället om man hellre vill, beroende på vilket som passar bäst för uppgiften man ska lösa. Tipset är att välja det samband som ger att en eventuell variabel hamnar i täljaren. Då slipper du lite jobb när du ska lösa ut den.

Metoder att bestämma sidor och vinklar i trianglar kallas för triangelsolvering. Och sinussatsen är en av tre triangelsatser, tillsammans med areasatsen och cosinussatsen, som vi kommer att introducera i denna kurs. Se även lektionen om när sinussatsen ger två fall.

Triangulering

Triangulering  kallas den metod man använder för att bestämma avstånd som är svåra, eller till och med omöjliga, att mäta.

Metoden går ut på att symmetri och likformighet ger möjlighet att med hjälp av trigonometri mäta vinklar och sidor som är enkla att bestämma, för att sedan med triangelsatserna beräkna vinklar och avstånd som inte är så mätbara.

Triangulering används exempelvis för att mäta avstånd i rymden, höjder på berg och byggnader eller för att ange GPS-positioner.

Men innan vi tar oss an dessa tillämpningar kollar vi på ett mer mätbart exempel. Vi börja med att bestämma en okänd vinkel.

Exempel 1

Ta reda på vinkeln xxx i figuren nedan.

exempel 1 sinussatsen - bestäm vinkeln x

Lösning

Vi använder sinussatsen för att ställa upp ekvationen

sinx5,3=sin383,4\frac{\sin x}{5,3}=\frac{\sin38^{\circ}}{3,4}sinx5,3 =sin383,4 

Vi multiplicerar bägge leden med 5,35,35,3 och får

sinx\sin xsinx 5,3sin383,4\frac{5,3\cdot\sin38^{\circ}}{3,4}5,3·sin383,4 

Därefter tar vi sinusinvers ( arcsin\arcsinarcsin eller sin1\sin^{-1}sin1 ) i bägge leden. Då får vi

x=sin1x=\sin^{-1}x=sin1 (5,3sin383,4)\left(\frac{5,3\cdot\sin38^{\circ}}{3,4}\right)(5,3·sin383,4 )

 x74x\approx74^{\circ}x74 

Vinkeln är alltså ca  7474^{\circ}74.

Om nu tittar vi på hur man kan använda sinusstasen för att bestämma en okänd längd.

Exempel 2

Bestäm längden på sidan xxx i triangeln. Avrunda till två decimaler.

Exempel 2 sinussatsen - bestäm sidan x

Lösning

Nu skall vi bestämma längden på sidan xxx. Därför väljer vi att skriva om sinussatsen så att den står på följande vis.

 xsin35=6,2sin70\frac{x}{\sin35^{\circ}}=\frac{6,2}{\sin70^{\circ}}xsin35 =6,2sin70  

Nu multiplicerar vi bägge leden med sin35\sin35^{\circ}sin35 och får

 x=x=x=  sin356,2sin70\frac{\sin35^{\circ}\cdot6,2}{\sin70^{\circ}}sin35·6,2sin70   3,8 cm\approx3,8\text{ }cm3,8 cm 

Därför är längden på sidan 3,83,83,8 cm.

Bevis av sinussatsen

Vi ritar en godtycklig triangel.

Sinussatsen

När vi bevisar sinussatsen så kan vi utgå från areasatsen som beskriver ett sätt att beräkna en triangels area. Arean kan beskrivas på tre olika vis. 

Area=\text{Area}=Area= ab sinC2=bc sinA2=ac sinB2\frac{ab\text{ }\sin C}{2}=\frac{bc\text{ }\sin A}{2}=\frac{ac\text{ }\sin B}{2}ab sinC2 =bc sinA2 =ac sinB2  

Utifrån dessa samband kan vi skriva om kvoterna så att vi landar i sinussatsen. Vi börjar med att förläng varje led med 222.

  ab sinC2=bc sinA2=ac sinB2\frac{ab\text{ }\sin C}{2}=\frac{bc\text{ }\sin A}{2}=\frac{ac\text{ }\sin B}{2}ab sinC2 =bc sinA2 =ac sinB2 

ab sinC=bc sinA=ac sinBab\text{ }\sin C=bc\text{ }\sin A=ac\text{ }\sin Bab sinC=bc sinA=ac sinB

Dividera alla led med abcabcabc

ab sinCabc=bc sinAabc=ac sinBabc\frac{ab\text{ }\sin C}{abc}=\frac{bc\text{ }\sin A}{abc}=\frac{ac\text{ }\sin B}{abc}ab sinCabc =bc sinAabc =ac sinBabc 

Därefter kan vi förkorta varje led. Exempelvis kan vi förkorta det första ledet (det längst till vänster) med ababab. Efter förenkling får vi då

sinCc=sinAa=sinBb\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}sinCc =sinAa =sinBb 

Vilket är sinussatsen!

Exempel i videon

  • Bestäm vinkeln v (Se bild i video)
  • Bestäm sidan x. (Se bild i video)
  • Johanna vill veta avståndet till sin sommarstuga vid C. Hon vet att vinkeln B är 23°, AC är 500 meter och AB är 210 meter. Hur långt är avståndet?