00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 1b
/  Nationellt prov Ma1b HT 2013
Derivata

Tillämningar med kedjeregeln - C-A-uppgifter

Författare:Simon Rybrand Anna Karp
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Vid tillämpningar med kedjeregeln är det vanligt att man använder Leibniz notation. Exempelvis anger man förändringshastigheten av en volym enligt bilden.

Kedjeregeln Tillämpning derivatan av en volym

I tidigare lektioner introducerar vi sammansatta funktioner, kedjeregeln och enklare tillämpningar av dessa. Jobba först igenom de lektionerna om du känner att denna lektion är för avancerad.

Sammansatta funktioner och kedjeregeln

I den här lektionen går vi igenom fler tillämningar med kedjeregeln med fokus på C-A-uppgifter och vi visar sambanden mellan olika förändringshastigheter. Men först sammanfattar vi tidigare genomgångar.

Sammansatta funktioner

Funktionen y=f(g(x)) y = f(g(x)) är en sammansatt funktion där f(g(x))f(g(x)) är den yttre funktionen och g(x)g(x) är den inre funktionen.

Kedjeregeln -Sammansatta funktioners derivata

Derivatan av en sammansatt funktion är enligt kedjeregeln
y′=f′(g(x))⋅g′(x) y'= f'(g(x))⋅g'(x)

där men kallar

f′(g(x)) f'(g(x)) den yttre derivatan och g′(x)g'(x) den inre derivatan.

Tillämpningar med kedjeregeln

Vi börjar med att titta på tillämningar med kedjeregeln.

Exempel 1

Kaffet rinner från ett konformat filter ner i kaffekannan med hastigheten 200200200 cm3^33/min. Kaffekanna har formen av en cylinder med radien 888 cm.

Bestäm hur snabbt höjden på kaffet i kannan stiger.

Lösning

Hur snabbt höjden stiger motsvarar förändringshastigheten på höjden med avseende på tiden, det vill säga dhdt\frac{dh}{dt}dhdt . Eftersom att kannan är cylinderformad stiger höjden på kaffen med konstant hastighet.

Kedjereglen ger att

dVdt=dVdh⋅dhdt\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}dVdt =dVdh ·dhdt  

Förändringshastigheten för volymen på kaffet med avseende på tiden är

 dVdt=\frac{dV}{dt}=dVdt = 200200200 

Eftersom att volymen för en cylinder med radien 888 ges av V=π⋅82⋅hV=\pi\cdot8^2\cdot hV=π·82·h  får vi här att derivatan är

 dVdh=\frac{dV}{dh}=dVdh = π⋅82=64π\pi\cdot8^2=64\piπ·82=64π 

Nu bestämmer vi förändringshastigheten på radien genom att sätta ovanstående beräkningar av derivatorna i uttrycket.

 200=64π⋅200=64\pi\cdot200=64π· dhdt\frac{dh}{dt}dhdt  

 dhdt=20064π≈\frac{dh}{dt}=\frac{200}{64\pi}\approxdhdt =20064π ≈111 

Det vill säga ballongens radie ökar med ca 111 cm per minut.

Utryck med flera variabler

En matematisk modell kan innehålla flera olika variabler. Därför är ett bra tips för att möjliggöra en lösning av problemet att försöka skriva om uttrycket med färre, gärna en, variabel.

Exempel 2

Från en konisk behållare, med lika stor höjd som radie, droppar en vätska ut med hastigheten 444 cm3^33/min. 

Bestäm hur snabbt höjden på vätskan förändras när den är 555 cm.

Lösning

Vi söker hur snabbt höjden förändras, det vill säga dhdt\frac{dh}{dt}dhdt . Eftersom att den minskar är värdet negativt.

Vi använder kedjereglen.

 dVdt=dVdh⋅dhdt\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}dVdt =dVdh ·dhdt  

Förändringshastigheten för vätskans volym i konen med avseende på tiden är

 dVdt=\frac{dV}{dt}=dVdt = −4-4−4 

eftersom att volymen minskar.

Eftersom att volymen för ett kon ges av V=V=V= πr2⋅h3\frac{\pi r^2\cdot h}{3}πr2·h3  och radien och höjden i denna kon var lika stora, får vi att V=V=V= πh2⋅h3=πh33\frac{\pi h^2\cdot h}{3}=\frac{\pi h^3}{3}πh2·h3 =πh33 . Det leder till att  dVdh\frac{dV}{dh}dVdh  då  h=5h=5h=5 är

 dVdh=\frac{dV}{dh}=dVdh = 3⋅π⋅523=\frac{3\cdot\pi\cdot5^2}{3}=3·π·523 = 25π25\pi25π 

Vidare bestämmer vi förändringshastigheten på höjden genom att vi sätter in ovanstående beräkningar av derivatorna i uttrycket.

 −4=25π⋅-4=25\pi\cdot−4=25π· drdt\frac{dr}{dt}drdt  

 drdt=−425π≈\frac{dr}{dt}=-\frac{4}{25\pi}\approxdrdt =−425π ≈ −0,5-0,5−0,5  

Höjden på vätskan i konen minskar med ca 0,50,50,5 cm/min.

Vi påminner om att vi tolkar negativa derivator som en minskning vid tillämpning. Det innebär att vi byter ut minustecknet till ett ord, exempelvis minskar eller avtar, i vårt svar.

Enheter och derivatan

Det är även viktigt vid tillämpningar med kedjeregeln att svara med rätt enhet. Man får ledning av enheten i täljaren och nämnaren i kvoterna för de olika delarna i kedjeregeln noterad enligt Leibniz.

Exempelvis gäller att enheter för

dVdt\frac{dV}{dt}dVdt   är  Volymens enhetTiden enhet\frac{\text{Volymens enhet}}{\text{Tiden enhet}}Volymens enhetTiden enhet  

 dVdh\frac{dV}{dh}dVdh   är   Volymens enhetHo¨jdens enhet\frac{\text{Volymens enhet}}{\text{Höjdens enhet}}Volymens enhetHöjdens enhet  

 dhdt\frac{dh}{dt}dhdt   är   Ho¨jdens enhetTidens enhet\frac{\text{Höjdens enhet}}{\text{Tidens enhet}}Höjdens enhetTidens enhet 

 dAdt\frac{dA}{dt}dAdt   är   Areans enhetTiden enhet\frac{\text{Areans enhet}}{\text{Tiden enhet}}Areans enhetTiden enhet 

 dAdr\frac{dA}{dr}dAdr   är   Areans enhetTiden enhet\frac{\text{Areans enhet}}{\text{Tiden enhet}}Areans enhetTiden enhet  osv.  

Nästa lektion: NP Ma1b vt 2013 Delprov B

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server