Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Derivata
Tillämningar med kedjeregeln - C-A-uppgifter
Innehåll
Vid tillämpningar med kedjeregeln är det vanligt att man använder Leibniz notation. Exempelvis anger man förändringshastigheten av en volym enligt bilden.
I tidigare lektioner introducerar vi sammansatta funktioner, kedjeregeln och enklare tillämpningar av dessa. Jobba först igenom de lektionerna om du känner att denna lektion är för avancerad.
Sammansatta funktioner och kedjeregeln
I den här lektionen går vi igenom fler tillämningar med kedjeregeln med fokus på C-A-uppgifter och vi visar sambanden mellan olika förändringshastigheter. Men först sammanfattar vi tidigare genomgångar.
Sammansatta funktioner
Funktionen $ y = f(g(x)) $ är en sammansatt funktion där $f(g(x))$ är den yttre funktionen och $g(x)$ är den inre funktionen.
Kedjeregeln -Sammansatta funktioners derivata
Derivatan av en sammansatt funktion är enligt kedjeregeln
$ y´= f´(g(x))⋅g´(x) $
där men kallar
$ f´(g(x)) $ den yttre derivatan och $g´(x)$ den inre derivatan.
Tillämpningar med kedjeregeln
Vi börjar med att titta på tillämningar med kedjeregeln.
Exempel 1
Kaffet rinner från ett konformat filter ner i kaffekannan med hastigheten $200$200 cm$^3$3/min. Kaffekanna har formen av en cylinder med radien $8$8 cm.
Bestäm hur snabbt höjden på kaffet i kannan stiger.
Lösning
Hur snabbt höjden stiger motsvarar förändringshastigheten på höjden med avseende på tiden, det vill säga $\frac{dh}{dt}$dhdt . Eftersom att kannan är cylinderformad stiger höjden på kaffen med konstant hastighet.
Kedjereglen ger att
$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}$dVdt =dVdh ·dhdt
Förändringshastigheten för volymen på kaffet med avseende på tiden är
$\frac{dV}{dt}=$dVdt = $200$200
Eftersom att volymen för en cylinder med radien $8$8 ges av $V=\pi\cdot8^2\cdot h$V=π·82·h får vi här att derivatan är
$\frac{dV}{dh}=$dVdh = $\pi\cdot8^2=64\pi$π·82=64π
Nu bestämmer vi förändringshastigheten på radien genom att sätta ovanstående beräkningar av derivatorna i uttrycket.
$200=64\pi\cdot$200=64π· $\frac{dh}{dt}$dhdt
$\frac{dh}{dt}=\frac{200}{64\pi}\approx$dhdt =20064π ≈$1$1
Det vill säga ballongens radie ökar med ca $1$1 cm per minut.
Utryck med flera variabler
En matematisk modell kan innehålla flera olika variabler. Därför är ett bra tips för att möjliggöra en lösning av problemet att försöka skriva om uttrycket med färre, gärna en, variabel.
Exempel 2
Från en konisk behållare, med lika stor höjd som radie, droppar en vätska ut med hastigheten $4$4 cm$^3$3/min. 
Bestäm hur snabbt höjden på vätskan förändras när den är $5$5 cm.
Lösning
Vi söker hur snabbt höjden förändras, det vill säga $\frac{dh}{dt}$dhdt . Eftersom att den minskar är värdet negativt.
Vi använder kedjereglen.
$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}$dVdt =dVdh ·dhdt
Förändringshastigheten för vätskans volym i konen med avseende på tiden är
$\frac{dV}{dt}=$dVdt = $-4$−4
eftersom att volymen minskar.
Eftersom att volymen för ett kon ges av $V=$V= $\frac{\pi r^2\cdot h}{3}$πr2·h3 och radien och höjden i denna kon var lika stora, får vi att $V=$V= $\frac{\pi h^2\cdot h}{3}=\frac{\pi h^3}{3}$πh2·h3 =πh33 . Det leder till att $\frac{dV}{dh}$dVdh då $h=5$h=5 är
$\frac{dV}{dh}=$dVdh = $\frac{3\cdot\pi\cdot5^2}{3}=$3·π·523 = $25\pi$25π
Vidare bestämmer vi förändringshastigheten på höjden genom att vi sätter in ovanstående beräkningar av derivatorna i uttrycket.
$-4=25\pi\cdot$−4=25π· $\frac{dr}{dt}$drdt
$\frac{dr}{dt}=-\frac{4}{25\pi}\approx$drdt =−425π ≈ $-0,5$−0,5
Höjden på vätskan i konen minskar med ca $0,5$0,5 cm/min.
Vi påminner om att vi tolkar negativa derivator som en minskning vid tillämpning. Det innebär att vi byter ut minustecknet till ett ord, exempelvis minskar eller avtar, i vårt svar.
Enheter och derivatan
Det är även viktigt vid tillämpningar med kedjeregeln att svara med rätt enhet. Man får ledning av enheten i täljaren och nämnaren i kvoterna för de olika delarna i kedjeregeln noterad enligt Leibniz.
Exempelvis gäller att enheter för
$\frac{dV}{dt}$dVdt är $\frac{\text{Volymens enhet}}{\text{Tiden enhet}}$Volymens enhetTiden enhet
$\frac{dV}{dh}$dVdh är $\frac{\text{Volymens enhet}}{\text{Höjdens enhet}}$Volymens enhetHöjdens enhet
$\frac{dh}{dt}$dhdt är $\frac{\text{Höjdens enhet}}{\text{Tidens enhet}}$Höjdens enhetTidens enhet
$\frac{dA}{dt}$dAdt är $\frac{\text{Areans enhet}}{\text{Tiden enhet}}$Areans enhetTiden enhet
$\frac{dA}{dr}$dAdr är $\frac{\text{Areans enhet}}{\text{Tiden enhet}}$Areans enhetTiden enhet osv.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
c-uppgifter (5)
-
1. Premium
Volymen på en klotformad ballong ökar med $72\pi$72π cm$^3$3 var minut.
Bestäm hur snabbt radien $r$r ökar just i vid den tidpunkt då radien är $3$3 cm.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: Derivata kedjeregelnRättar...2. Premium
En högtalare skickar ut ett högt ljud i alla riktningar så att det sprider sig cirkulärt. Ljudets hastighet är ca $340$340 m/s vilket gör att cirkelns radie vid en tidpunkt ökar med $340$340 m/s.
Hur snabbt ökar arean av denna cirkel vid $100$100 m?
Avrunda till tusentals m$^2$2/s.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata kedjeregelnRättar...3. Premium
En grön blomvas har en oval bottenyta och raka kanter. Dess höjd är $22$22 cm och bottenytans area är $48$48 cm$^3$3. En blå vas har formen av en rak cylinder med diametern $1$1 cm och höjden $19$19 cm. Båda vaserna fylls på med vatten. Vattenflödet är $4,0$4,0 liter/min.
Jämför hur snabbt vattennivåerna stiger i respektive vas då de är halvfulla.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: Derivata förändringshastigheter kedjeregelnRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
En vätska silas genom ett filter som har formen av en rak cirkulär kon med spetsen nedåt. När vätskenivån i filtret är $8,0$8,0 cm sjunker den med hastigheten $1,2$1,2 cm/min. Vätskeytans radie är vid detta tillfälle $4,5$4,5 cm.
Med vilken hastighet rinner då vätskan ut från filtret?Avrunda till två decimalers noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: Derivata förändringshastigheter kedjeregelnRättar...5. Premium
Anna har fått i uppgift att lösa följande problem:
Anna kommer fram till sambandet $V=0,64h^3$V=0,64h3, där $V$V är volymen i liter och $h$h är vattennivåns höjd i dm. Sedan vet hon inte hur hon ska fortsätta.
a) Hjälp Anna att fullfölja lösningen.
b) Visa hur Anna kan ha gjort för att komma fram till sambandet $V=0,64h^3$V=0,64h3
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: derivatan Funktioner kedjeregeln kedjeregeln tillämpningarRättar...a-uppgifter (5)
-
6. Premium
Festfixarfirman Skoj & Ploj blåser upp ballonger med ett tryckluftsaggregat.
Ballongerna kan anses vara klotformade och varje ballong ska blåsas upp till volymen $5,5$5,5 liter. Ballongens radie ökar med $3,5$3,5 cm/s vid det tillfälle då dess radie är $6,0$6,0 cm.
Aggregatet ger jämn luftpåfyllning så att volymen ökar med konstant hastighet.
Bestäm hur lång tid det tar att blåsa upp en ballong som från början är tom.
Ange med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: Derivata kedjeregelnRättar...7. Premium
Oscar står och tittar på när ett tåg åker förbi. Tåget är $180$180 meter långt och han befinner sig vid en tidpunkt $120$120 meter vinkelrätt mot tågets slut. Tåget har hastigheten $33$33 m/s.
Hur snabbt ökar avståndet mellan Oscar och tågets början vid denna tidpunkt?Avrunda till hela m/s.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: Derivata förändringshastigheter kedjeregelnRättar...8. Premium
I ett koordinatsystem rör sig en punkt från origo, uppåt längs med $y$y-axeln med konstant hastighet. En annan punkt befinner sig på $x$x-axeln. Avståndet mellan punkterna är konstant. I ett visst ögonblick har punkterna koordinaterna $\left(6,\text{ }0\right)$(6, 0) och $\left(0,\text{ }3\right)$(0, 3).
Med vilken fart rör sig punkten på $x$x-axeln mot origo i detta ögonblick?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: Derivata förändringshastigheter kedjeregelnRättar...9. Premium
David har gjutit en liten damm i betong. Dammen är formad som ett segment av ett klot med radien $2$2 m där höjden på dammen är $5$5 dm.
Han fyller nu dammen med vatten i en jämn hastighet. Att fylla dammen så att vattnet från dammens lägsta punkt blivit $2$2 dm djup så ökar vattendjupet med $1$1 cm per minut.
Han har tidigare räknat ut att vattnets volymen $V$V när vattenhöjden är $h$h kan beräknas med sambandet$V=\pi$V=π$\left(400h+\frac{\left(20-h\right)^3}{3}-\frac{20^3}{3}\right)$(400h+(20−h)33 −2033 )
Nu blev han väldigt sugen på en kopp kaffe funderar på om han hinner gå in och hämta en kopp. Det bör inte ta mer än $10$10 minuter.
Vad säger du? Hinner han hämta en kopp kaffe innan dammen svämmar över?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: derivatan kedjeregeln Sammansatta funktionerRättar...10. Premium
En stor klotformad ballong läcker ut luft, så att volymen minskar med en hastighet som är proportionell mot begränsningsarean. Ballongen behåller sin klotform.
Vilket påstående är korrekt?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata förändringshastigheter kedjeregelnRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Kevin Lewis
uppgift 1 i förklaringen det ska väl vara,
visar: dV/dt och inte dV/dh
Anna Admin (Moderator)
Fixat.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Tack för din kommentar, jag har förtydligat hur man kan definiera b på ett bättre sätt i uppgiften. Dvs detta kan inte sägas vara tågets längd utan avståndet från den punkt som Oscar tittar på vid tågets början till tågets start. Detta avstånd kommer att förändras med tågets hastighet.
maggix
Hej ser ut som ni snurrat ihop bokstäverna (a,b coh c) i svaret till uppgift 4.
Ni säger oxå att ”tåget åker med en hastighet på 33m/s” sen att ”Vi känner till att b förändras med 33 m/s och att a inte förändras alls så vi sätter din att dadt=0 och dbdt=33”
stämmer verkligen det? b borde väl inte ändras i samma hastighet som tåget hastighet? eller är det jag som tänker fel?
Endast Premium-användare kan kommentera.