Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en triangel.

Topptriangelsatsen är en geometrisk sats om likformighet i trianglar. Förutsättningen för förståelse av denna sats är förståelse av likformighet. Topptriangelsatsen är även tätt kopplad till transversalsatsen vilken vi tittar på i kommande lektion.

För att förstå satsen så behöver kan vi först förklara begreppen transversal och parallelltransversal.

En transversal är en rät linje som skär två andra linjer.

En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en geometrisk figur, t.ex. en triangel.

Sidorna/längderna $DE$DE och $AB$AB sägs varar likbelägna. Det vill säga motsvarar längder/sidor i trianglarna som uppstår mellan två vinklar som är lika stora i de två trianglarna. Sidorna $CD$CD  och $CA$CA är också likbelägna, samt sidorna $CE$CE och $CB$CB. 

De likbelägna sidorna förhåller sig alltså till varandra på samma sätt, det vill säga uppfyller likformighet.

Det ger förutsättningen för att kunna bestämma okända längder.

Det är bra att alltid ta för vana att kontrollera att svaret är rimligt. Då basen $9$9 cm är lite längre än sidan $8$8 cm på den stora triangel och basen $3,375$3,375  är lite längre än sidan $3$3 cm på topptriangeln så verkar svaret rimligt. Närmare bestämt

 $\frac{3,375}{3}=\frac{9}{8}=$3,3753 =98 =$1,125$1,125 gånger större.

Trianglarna är alltså likformiga, vilket är följden av att en paralelltranseversal har ”skapat” en topptriangel.

Det fiffiga med likformigheten är att det inte spelar någon roll exakt ”vart” vi placerar de olika sidorna. Vi skulle alltså lika gärna kunna lösa uppgiften utifrån likheten

$\frac{x}{3}=\frac{9}{8}$x3 =98  och få samma resultat.

Det vill säga ”förhållandet mellan sidorna i topptriangeln ska förhålla sig till varandra på samma sätt som likbelägna sidor i den stora triangeln”.