00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en triangel.

Parallelltransversal och topptrianglar

Så fungerar Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen är en geometrisk sats om likformighet i trianglar. Förutsättningen för förståelse av denna sats är förståelse av likformighet. Topptriangelsatsen är även tätt kopplad till transversalsatsen vilken vi tittar på i kommande lektion.

För att förstå satsen så behöver kan vi först förklara begreppen transversal och parallelltransversal.

En transversal är en rät linje som skär två andra linjer.

transversal

En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en geometrisk figur, t.ex. en triangel.

Parallelltransversal

Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. Då gäller att triangeln ABCABCABC är likformig med triangeln CDECDECDE vilket vi med matematiska symboler skriver som

 ABCCDE\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup CDEABCCDE.

Som följd av detta gäller att sidorna förhåller sig till varandra enligt följande samband

 DEAB=CDCA=CECB\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}DEAB =CDCA =CECB  

Sidorna/längderna DEDEDE och ABABAB sägs varar likbelägna. Det vill säga motsvarar längder/sidor i trianglarna som uppstår mellan två vinklar som är lika stora i de två trianglarna. Sidorna CDCDCD  och CACACA är också likbelägna, samt sidorna CECECE och CBCBCB

De likbelägna sidorna förhåller sig alltså till varandra på samma sätt, det vill säga uppfyller likformighet.

Det ger förutsättningen för att kunna bestämma okända längder.

Exempel 1

Exempel 1

 DEDEDE är en parallelltransversal. Bestäm längden av sträckan xxx.

Lösning

Med hjälp av topptriangelsatsen kan vi ställa upp sambandet

 x9=38\frac{x}{9}=\frac{3}{8}x9 =38  

Vi multiplicera båda led med 999 

 9x9=938\frac{9\cdot x}{9}=\frac{9\cdot3}{8}9·x9 =9·38  

I vänsterledet kan vi förkorta 333:an och får då

 x=x=x= 938=\frac{9\cdot3}{8}=9·38 =3,3753,3753,375 cm 

Det är bra att alltid ta för vana att kontrollera att svaret är rimligt. Då basen 999 cm är lite längre än sidan 888 cm på den stora triangel och basen 3,3753,3753,375  är lite längre än sidan 333 cm på topptriangeln så verkar svaret rimligt. Närmare bestämt

 3,3753=98=\frac{3,375}{3}=\frac{9}{8}=3,3753 =98 =1,1251,1251,125 gånger större.

Trianglarna är alltså likformiga, vilket är följden av att en paralelltranseversal har ”skapat” en topptriangel.

Det fiffiga med likformigheten är att det inte spelar någon roll exakt ”vart” vi placerar de olika sidorna. Vi skulle alltså lika gärna kunna lösa uppgiften utifrån likheten

x3=98\frac{x}{3}=\frac{9}{8}x3 =98  och få samma resultat.

Det vill säga ”förhållandet mellan sidorna i topptriangeln ska förhålla sig till varandra på samma sätt som likbelägna sidor i den stora triangeln”.

Exempel 2

Exempel 2 topptriangelsatsen

DEDEDE är en parallelltransversal.  CE=3,3 cmCE=3,3\text{ }cmCE=3,3 cm,  CD=2,8 cmCD=2,8\text{ }cmCD=2,8 cm och BC=3,4 cmBC=3,4\text{ }cmBC=3,4 cm

Bestäm längden av sträckan ACACAC.

Lösning

Vi kallar x=ACx=ACx=AC  och ställer upp följande samband

x3,3=3,42,8\frac{x}{3,3}=\frac{3,4}{2,8}x3,3 =3,42,8 

Multiplicera bägge leden med 3,33,33,3

3,3x3,3=3,43,32,8\frac{3,3\cdot x}{3,3}=\frac{3,4\cdot3,3}{2,8}3,3·x3,3 =3,4·3,32,8 

I vänsterledet kan vi förkorta med 3,33,33,3 och får då

x=3,43,32,84,01 cmx=\frac{3,4\cdot3,3}{2,8}\approx4,01\text{ }cmx=3,4·3,32,8 4,01 cm 

Exempel 3

exempel3

DEDEDE är en parallelltransversal. Beräkna längden på sidan xxx.

Lösning

Vi kan ställa upp följande samband med hjälp av topptriangelsatsen.

8+xx=2012\frac{8+x}{x}=\frac{20}{12}8+xx =2012  

Här kan vi multiplicera med xxx i bägge leden. Då får vi

x(8+x)x=20x12\frac{x\left(8+x\right)}{x}=\frac{20x}{12}x(8+x)x =20x12  

Förkorta med xxx i vänsterledet

  8+x=8+x=8+x= 20x12\frac{20x}{12}20x12  

Nu multiplicerar vi bägge leden med 121212 och får

  128+12x=12\cdot8+12\cdot x=12·8+12·x= 20x1212\frac{20x\cdot12}{12}20x·1212  

I högerledet kan vi förkorta med 121212 och i vänsterledet kan vi utföra multiplikationen.

 128+12x=20x12\cdot8+12\cdot x=20x12·8+12·x=20x 

 96+12x=20x96+12x=20x96+12x=20x 

Subtrahera båda led med 12x12x12x 

 96=8x96=8x96=8x 

Dividera båda led med 888 

  x=x=x= 968=\frac{96}{8}=968 = 12 12\text{ }12 cm