Författare:
Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en triangel.
Så fungerar Topptriangelsatsen
Topptriangelsatsen är en geometrisk sats om likformighet i trianglar. Förutsättningen för förståelse av denna sats är förståelse av likformighet. Topptriangelsatsen är även tätt kopplad till transversalsatsen vilken vi tittar på i kommande lektion.
För att förstå satsen så behöver kan vi först förklara begreppen transversal och parallelltransversal.
En transversal är en rät linje som skär två andra linjer.
En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en geometrisk figur, t.ex. en triangel.
Topptriangelsatsen
Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. Då gäller att triangeln ABCABC är likformig med triangeln CDECDE vilket vi med matematiska symboler skriver som
△ABC∼△CDE△ABC∼△CDE.
Som följd av detta gäller att sidorna förhåller sig till varandra enligt följande samband
ABDE=CACD=CBCEDEAB =CDCA =CECB
Sidorna/längderna DEDE och ABAB sägs varar likbelägna. Det vill säga motsvarar längder/sidor i trianglarna som uppstår mellan två vinklar som är lika stora i de två trianglarna. Sidorna CDCD och CACA är också likbelägna, samt sidorna CECE och CBCB.
De likbelägna sidorna förhåller sig alltså till varandra på samma sätt, det vill säga uppfyller likformighet.
Det ger förutsättningen för att kunna bestämma okända längder.
Exempel 1
DEDE är en parallelltransversal. Bestäm längden av sträckan xx.
Lösning
Med hjälp av topptriangelsatsen kan vi ställa upp sambandet
9x=83x9 =38
Vi multiplicera båda led med 99
99⋅x=89⋅39·x9 =9·38
I vänsterledet kan vi förkorta 33:an och får då
x=x= 89⋅3=9·38 =3,3753,375 cm
Det är bra att alltid ta för vana att kontrollera att svaret är rimligt. Då basen 99 cm är lite längre än sidan 88 cm på den stora triangel och basen 3,3753,375 är lite längre än sidan 33 cm på topptriangeln så verkar svaret rimligt. Närmare bestämt
33,375=89=3,3753 =98 =1,1251,125 gånger större.
Trianglarna är alltså likformiga, vilket är följden av att en paralelltranseversal har ”skapat” en topptriangel.
Det fiffiga med likformigheten är att det inte spelar någon roll exakt ”vart” vi placerar de olika sidorna. Vi skulle alltså lika gärna kunna lösa uppgiften utifrån likheten
3x=89x3 =98 och få samma resultat.
Det vill säga ”förhållandet mellan sidorna i topptriangeln ska förhålla sig till varandra på samma sätt som likbelägna sidor i den stora triangeln”.
Exempel 2
DEDE är en parallelltransversal. CE=3,3 cmCE=3,3 cm, CD=2,8 cmCD=2,8 cm och BC=3,4 cmBC=3,4 cm
Bestäm längden av sträckan ACAC.
Lösning
Vi kallar x=ACx=AC och ställer upp följande samband
3,3x=2,83,4x3,3 =3,42,8
Multiplicera bägge leden med 3,33,3
3,33,3⋅x=2,83,4⋅3,33,3·x3,3 =3,4·3,32,8
I vänsterledet kan vi förkorta med 3,33,3 och får då
x=2,83,4⋅3,3≈4,01 cmx=3,4·3,32,8 ≈4,01 cm
Exempel 3
DEDE är en parallelltransversal. Beräkna längden på sidan xx.
Lösning
Vi kan ställa upp följande samband med hjälp av topptriangelsatsen.
x8+x=12208+xx =2012
Här kan vi multiplicera med xx i bägge leden. Då får vi
xx(8+x)=1220xx(8+x)x =20x12
Förkorta med xx i vänsterledet
8+x=8+x= 1220x20x12
Nu multiplicerar vi bägge leden med 1212 och får
12⋅8+12⋅x=12·8+12·x= 1220x⋅1220x·1212
I högerledet kan vi förkorta med 1212 och i vänsterledet kan vi utföra multiplikationen.
12⋅8+12⋅x=20x12·8+12·x=20x
96+12x=20x96+12x=20x
Subtrahera båda led med 12x12x
96=8x96=8x
Dividera båda led med 88
x=x= 896=968 = 12 12 cm
Kommentarer
e-uppgifter (4)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vad är en transversal?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vad är en parallelltransversal?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K DE är en parallelltransversal. Bestäm längden på sidan xx .
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=827cm(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Hur lång är sidan ABAB då AD=2AD=2, AE=4AE=4 , DE=3DE=3 och BC=3,5BC=3,5?
Figuren är ej proportionerlig.Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (4)
5. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Beräkna längden på sidan xx . Bilden är ej proportionerlig.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K DEDE är en parallelltransversal. Bestäm längden på sidan yy.
Avrunda svaret till en decimal
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=2,6 cm(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(0/2/0)NPE C A B P PL M R 2 K I en rätvinklig triangel ABCABC finns en blå kvadrat AEFDAEFD inritad. Sträckan BEBE är 44 cm och sträckan CDCD är 22 cm. Se figur.
Kan man bevisa att den blå kvadratens area är 88 cm22
Träna på att försöka genomföra beviset och svara sedan Ja eller Nej.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Ja(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: TopptriangelsatsenRättar...8. Premium
(0/4/0)NPE C A B P PL 3 M R K 1 Rickard har fått i uppgift att bestämma höjden på ett hus. För att göra detta tar han hjälp av en gran som står framför huset.
Rickard ställer sig så att han ser toppen på granen och toppen på taket sammanfalla. Han gör en markering där han står. Därefter tar han mått på nödvändiga sträckor och skriver in dem i skissen nedan.
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 7,5 m(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (2)
9. Premium
(0/0/2)E C A B P 1 PL 1 M R K ABAB är en parallelltransversal. Vilket förhållande mellan aa och bb stämmer?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...10. Premium
(0/0/3)M NPE C A B P PL 2 M R K 1 Figuren visar rektangeln ABCDABCD med en punkt PP på sidan BCBC. När sträckorna DPDP och ABAB förlängs skär de varandra i punkten QQ.
Bestäm AQABABAQ om BP=aBP=a och PC=3aPC=3a.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: AQAB=43(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: TopptriangelsatsenRättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
K
Ska man dela sidorna i samma triangel eller i motsvarande triangel? Ni tillämpar olika tillvägagångssätt. Jämför tex exemplet i videon med fråga 3/exempel 1.
Endast Premium-användare kan kommentera.