00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Trigonometri och trigonometriska funktioner

Trigonometriska ekvationer med formler

Författare:Simon Rybrand

Många trigonometriska ekvationer innehåller uttryck som kan skrivas om, vilket gör att ekvationen blir enklare att lösa. Till detta används t ex trigonometriska ettan, additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus samt formler för dubbla vinkeln.

Trigonometriska ettan

 sin⁡2v+cos⁡2v=1\sin^2v+\cos^2v=1sin2v+cos2v=1 

Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus
 sin⁡(u+v)=sin⁡ucos⁡v+cos⁡usin⁡v\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin vsin(u+v)=sinucosv+cosusinv 
 sin⁡(u−v)=sin⁡ucos⁡v−cos⁡usin⁡v\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin vsin(u−v)=sinucosv−cosusinv 
 cos⁡(u+v)=cos⁡ucos⁡v−sin⁡usin⁡v\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin vcos(u+v)=cosucosv−sinusinv 
 cos⁡(u−v)=cos⁡ucos⁡v+sin⁡usin⁡v\cos\left(u-v\right)=\cos u\cos v+\sin u\sin vcos(u−v)=cosucosv+sinusinv 

Formler för dubbla vinkeln

 sin⁡2v=2sin⁡vcos⁡v\sin2v=2\sin v\cos vsin2v=2sinvcosv 

 cos⁡2v=\cos2v=cos2v={cos⁡2v−sin⁡2v2cos⁡2v−11−sin⁡2v\begin{cases} \cos ^2v-\sin ^2v \\ 2\cos^2 v-1 \\1-\sin ^2v \end{cases}

I Matematik 3c arbetade vi med trigonometriska ekvationer och fullständiga lösningar till dessa. Repetera gärna detta om du behöver.

Samtliga lösningar till ekvationer med sinus

Alla lösningar till sin⁡v=a\sin v=asinv=a  där −1≤a≤1-1\le a\le1−1≤a≤1  ges i grader av

 v=v=v={sin⁡−1a+n⋅360∘180∘−sin⁡−1a+n⋅360∘\begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 360^{\circ } \\ 180^{\circ } -\sin ^{-1}a+n\cdot 360^{\circ } \end{cases}  där nnn är ett heltal

och i radianer av

 v=v=v={sin⁡−1a+n⋅2ππ−sin⁡−1a+n⋅2π \begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi \\\pi -\sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi  \end{cases}  där nnn är ett heltal

Samtliga lösningar till ekvationer med cosinus

Alla lösningar till cos⁡v=a\cos v=acosv=a  där −1≤a≤1-1\le a\le1−1≤a≤1  ges i grader av

 v=±cos⁡−1a+n⋅360∘v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360^{\circ}v=±cos−1a+n·360∘  där  nnn är ett heltal

och i radianer av

 v=±cos⁡−1a+n⋅2πv=\pm\cos^{-1}a+n\cdot2\piv=±cos−1a+n·2π  där  nnn är ett heltal

Nu har vi dessutom några olika trigonometriska samband, som kan användas för att skriva om de uttryck som ingår i ekvationerna.

Exempel 1

Lös ekvationen  4cos⁡2x−4sin⁡2x+2=04\cos^2x-4\sin^2x+2=04cos2x−4sin2x+2=0 

Lösning

Vi förenklar och skriver om med hjälp av formel för dubbla vinkeln.
 4cos⁡2x−4sin⁡2x+2=04\cos^2x-4\sin^2x+2=04cos2x−4sin2x+2=0
 2cos⁡2x−2sin⁡2x+1=02\cos^2x-2\sin^2x+1=02cos2x−2sin2x+1=0  
 2(cos⁡2x−sin⁡2x)=−12\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=-12(cos2x−sin2x)=−1 
 2cos⁡2x=−12\cos2x=-12cos2x=−1  
 cos⁡2x=\cos2x=cos2x= −12-\frac{1}{2}−12    

Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet.
 2x=±120∘+n⋅360∘2x=\pm120^{\circ}+n\cdot360^{\circ}2x=±120∘+n·360∘
 x=±60∘+n⋅180∘x=\pm60^{\circ}+n\cdot180^{\circ}x=±60∘+n·180∘   

Exempel 2

Lös ekvationen  2sin⁡3xcos⁡2x+2cos⁡3xsin⁡2x=32\sin3x\cos2x+2\cos3x\sin2x=\sqrt{3}2sin3xcos2x+2cos3xsin2x=√3 

Lösning

Vi skriver om med hjälp av additionsformeln för sinus.
 2sin⁡(3x+2x)=32\sin\left(3x+2x\right)=\sqrt{3}2sin(3x+2x)=√3 
 sin⁡5x=\sin5x=sin5x= 32\frac{\sqrt{3}}{2}√32   

Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet, och får två olika alternativ.

 5x1=60∘+n⋅360∘5x_1=60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}5x1=60∘+n·360∘
 x1=x_1=x1= 60∘5+n⋅360∘5\frac{60^{\circ}}{5}+n\cdot\frac{360^{\circ}}{5}60∘5 +n·360∘5  

eller 

 5x2=180∘−60∘+n⋅360∘5x_2=180^{\circ}-60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}5x2=180∘−60∘+n·360∘ 
 x2=x_2=x2= 120∘5+n⋅360∘5\frac{120^{\circ}}{5}+n\cdot\frac{360^{\circ}}{5}120∘5 +n·360∘5 

{x1=12∘+n⋅72∘ x2=24∘+n⋅72∘\begin{cases} x_1=12^{\circ }+n\cdot 72^\circ  \\ x_2=24^{\circ }+n\cdot 72^\circ \end{cases}

Exempel 3

Lös ekvationen  2sin⁡2x−cos⁡x=12\sin^2x-\cos x=12sin2x−cosx=1 

Lösning

Vi skriver om  sin⁡2x\sin^2xsin2x  med hjälp av trigonometriska ettan, och förenklar.
 2(1−cos⁡2x)−cos⁡x=12\left(1-\cos^2x\right)-\cos x=12(1−cos2x)−cosx=1 
 2−2cos⁡2x−cos⁡x=12-2\cos^2x-\cos x=12−2cos2x−cosx=1
 −2cos⁡2x−cos⁡x+1=0-2\cos^2x-\cos x+1=0−2cos2x−cosx+1=0  
 cos⁡2x+12cos⁡x−12=0\cos^2x+\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}=0cos2x+12 cosx−12 =0 

Vi sätter  cos⁡x=t\cos x=tcosx=t  och löser med pq-formeln.
 t2+12t−12=0t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=0t2+12 t−12 =0 
 t=t=t= −14±(14)2+12-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{2}}−14 ±√(14 )2+12  
 t=t=t= −14±116+816-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{8}{16}}−14 ±√116 +816   
 t=t=t= −14±34-\frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}−14 ±34  

{t1=12t2=−1\begin{cases} t_1=\frac{1}{2} \\ t_2=-1 \end{cases}

Detta innebär att  cos⁡x=\cos x=cosx= 12\frac{1}{2}12   eller  cos⁡x=−1\cos x=-1cosx=−1. Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet.
 x1=±60∘+n⋅360∘x_1=\pm60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}x1=±60∘+n·360∘
 x2=180∘+n⋅360∘x_2=180^{\circ}+n\cdot360^{\circ}x2=180∘+n·360∘  

Nästa lektion: Vinkelmåttet radianer

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server