KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Tillämpning Trigonometriska modeller
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
I denna lektion kommer vi att lära oss hur upprepande och periodiska system kan beräknas med tillämpning av trigonometriska modeller.
Sammanfattning av trigonometriska funktioner
I lektionen Trigonometriska funktioner får du möjlighet att träna på hur olika konstanter i funktionsuttrycket påverkar amplituden, perioden och förskjutningar i höjd- och sidled påverkar grafens utseende.
Här följer en sammanfattning av de olika begreppen för sinusfunktionen.
En funktion f(x)ƒ (x) är periodisk med perioden PP om den uppfyller ekvationen f(x)=f(x+P)ƒ (x)=ƒ (x+P) för alla xx.
∣A∣=|A|=2Sto¨rsta funktionsva¨rdet – Minsta funktionsva¨rdetStörsta funktionsvärdet – Minsta funktionsvärdet2
Periodicitet=Periodicitet=k360∘360∘k eller k2π2πk radiener
Om konstanten B<0B<0 förskjuts kurvan nedåt.
Om konstanten B>0B>0 förskjuts kurvan uppåt.
Om v>0v>0 förskjuts kurvan åt vänster.
Om v<0v<0 förskjuts kurvan åt höger.
Detsamma gäller för funktionen för cosinus.
För tangensfunktionen gäller istället följande.
Periodicitet=Periodicitet= k180∘180∘k eller kππk
Kommentarer
e-uppgifter (6)
1.
(1/0/0)E C A B P PL 1 M R K Temperaturen y°Cy°C i en stad under ett långvarigt högtryck visade sig följa funktionen y=24−6sin15ty=24−6sin15t där tt är tiden i timmar efter 24.0024.00 det första dygnet under högtrycket.
Vilken är den lägsta temperaturen under högtrycket?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 18 °C(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Grafen nedan visar hur mycket effekt en solpanel gav under några molnfria dagar i juli.
Mätvärdena varierar periodiskt och kan anpassas till en sinuskurva. Ekvationen för sinuskurvan blir y=390sin(0,26x−2,0)+200y=390sin(0,26x−2,0)+200 där xx är tiden i timmar (h) från klockan 00.0000.00 den 11 juni 20242024 och yy är effekten i watt (W).
a) Bestäm hur stor effekten var klockan 12.0012.00 den 11 juni 20242024 .
Svara med minst värdesiffror.Svar:Ditt svar:Rätt svar: 550 W(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(2/0/0)E C A B P PL M 2 R K Grafen nedan visar hur mycket effekt en solpanel gav under några molnfria dagar i juli.
Mätvärdena varierar periodiskt och kan anpassas till en sinuskurva. Ekvationen för sinuskurvan blir y=390sin(0,26x−2,0)+200y=390sin(0,26x−2,0)+200 där xx är tiden i timmar (h) från klockan 00.0000.00 den 11 juni 20242024 och yy är effekten i watt (W).
b) Bestäm hur mycket effekten ökar mätt i W/h, klockan 9.009.00 den 11 juni 20242024 .
Svara med två värdesiffror.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 96 W/h(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(2/0/0)E C A B P PL M 2 R K Studentkommittén har anordnat ett ”100100-dagars disco”. Discot börjar kl. 20.0020.00 och sista insläppet är kl 00.3000.30.
Enligt en förenklad modell fylls lokalen där discot är med hastigheten yy besökare/minut, där
y=(0,01x+2)⋅cos(120π⋅x−30)+3y=(0,01x+2)·cos(π·x120 −30)+3
och xx är tiden i minuter efter att lokalen öppnas kl 20.0020.00. Modellen antas gälla mellan 20.0020.00 och 00.3000.30.
Beräkna antalet besökare på discot.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 870 besökare(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(2/1/0)M NPE C A B P PL M 2 1 R K Tidvatten är ett fenomen som uppstår på grund av månens dragningskraft på havsvattnet. Under ett dygn uppstår det både ebb (lågvatten) och flod (högvatten). De största skillnaderna mellan ebb och flod på jorden finns vid Newfoundland på Kanadas ostkust.
Enligt en förenklad modell kan vattennivån under ett visst dygn vid Newfoundland beskrivas med funktionen
y=8,0+8,0 cos0,52xy=8,0+8,0 cos0,52x
där yy är vattnets höjd i meter jämfört med lägsta vattennivån och xx är antalet timmar efter klockan 03.00
a) Bestäm höjdskillnaden mellan högsta och lägsta vattennivån enligt modellen ovan.
Endast svar krävs.b) Utgå från modellen ovan och bestäm med vilken hastighet vattnets höjd ändras då klockan är 13.00
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a) 16 m b) 3,7 m/h)(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Amplitud och PeriodRättar...6. Premium
(2/1/0)M NPE C A B 2 1 P PL M R K Fredrik testar sitt blodtryck med en blodtrycksmätare. Han observerar att blodtryckets högsta värde är 129129 mmHg och att dess lägsta värde är 8383 mmHg. Fredrik vill ställa upp en funktion som beskriver blodtrycket och antar att trycket yy mmHg varierar enligt sambandet y=Asinkt+By=Asinkt+B, där tt är tiden i sekunder. Fredrik konstaterar också att tiden mellan två hjärtslag är 1,21,2 sekunder, vilket motsvarar perioden för denna funktion.
Bestäm konstanterna AA, BB och kk.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: t ex A=23, B=106 och k=5,2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (3)
7. Premium
(1/1/0)E C A B P PL 1 M 1 R K Molly och My har köpt en ny liten tom som är 600600 m bred och 500500 meter djup. Tvärs över tomten rinner en bäck.
Enligt en förenklad modell kan bäckens läge på tomten beskrivas med funktionen f(x)=−0,5x+100cos0,01x+400ƒ (x)=−0,5x+100cos0,01x+400
Molly och My vill bygga en liten friggebod på den halva av tomten som är störst. Ska de då bygga på den del av tomten som på bilden ligger ovanför eller nedanför bäcken?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Ovanför bäcken.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(1/2/0)E C A B P PL 1 2 M R K En robot böjer plåtar till ett regnskydd. Formeln kan beskrivas med funktionen f(x)=4sinx+3cosxƒ (x)=4sinx+3cosx.
Plåten ska kapas efter tre toppar på höjden 44 cm. Hur lång blir varje bit?
Lös uppgiften både grafiskt och algebraiskt och ange svaret med två decimalers noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 14,14 cm(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(1/2/0)M NPE C A B P PL M 1 2 R K Pariserhjulet London Eye har en diameter på 135135 meter och ett varv tar 3030 minuter.
En gondols höjd över marken kan beskrivas med funktionen
h(t)=67,5 sin(0,209t−1,57)+70h(t)=67,5 sin(0,209t−1,57)+70 ; 0≤t≤300≤t≤30
där hh är höjden över marken i meter och tt är tiden i minuter efter start.
a) Vilken är gondolens största höjd över marken?
Endast svar krävsb) Bestäm hur lång tid gondolen är minst 4040 m över marken under ett varv.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a) 137,5 m b) 19 minuter(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (4)
10. Premium
(0/1/2)ME C A B P PL M 1 2 R K Temperaturen i en pool varierade periodiskt med perioden 2424 h, vilket berodde på att solen värmde upp vattnet på dagen och under natten kyldes det ner igen. Temperaturdifferensen mellan den högsta och den lägsta temperaturen var 77 °C. Se figur.
Klockan 18.0018.00 var temperaturen maximal och tolv timmar senare hade den sjunkit till 17,517,5 °C.
Temperaturen i poolen kan beskrivas med modellen T(t)=A⋅cos(Bt+C)+DT(t)=A·cos(Bt+C)+D där T(t)T(t) är temperaturen i °C och tt är tiden i timmar från klockan 00.0000.00.
Bestäm konstanterna AA, BB, CC och DD. Använd vinkelmåttet radianer.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧A=3,5B=−12πC=−1,5πD=21(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Amplitud och PeriodRättar...11. Premium
(1/1/3)M NPE C A B P PL M 1 1 2 R K 1 Under ett blåsigt dygn kan vindhastigheten vid ett vindkraftverk beskrivas med modellen
v(x)=11sin(0,11x−0,89)+28v(x)=11sin(0,11x−0,89)+28 , 0≤x≤240≤x≤24
där vv är vindhastigheten i km/h och xx är tiden i timmar från klockan 00.0000.00.
a) Bestäm den högsta vindhastigheten under dygnet. Endast svar krävs.
Vid vindhastigheter över 3636 km/h vinklas rotorbladen för att minska slitage.
b) Bestäm hur lång tid som vindhastigheten är över 3636 km/h under det aktuella dygnet.
Vid vindhastigheter mellan 00 och 3636 km/h kan mängden elenergi som produceras beräknas med hjälp av sambandet P(v)=0,42⋅v3P(v)=0,42·v3 där P(v)P(v) är mängden producerad elenergi per timme i MJ/h och där vv är vindhastigheten i km/h.
Vid vindhastigheter över 3636 km/h är produktionen av elenergi per timme lika stor som för vindhastigheten 3636 km/h.
c) Bestäm den totala mängden elenergi som vindkraftverket producerar under dygnet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a) 39 km/h b) 8,5 timmar c) 320 000 MJ(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...12. Premium
(0/1/3)M NPE C A B 1 P PL 2 M R K 1 På havsbottnen vid sandstränder bildas ibland periodiska mönster av kullar i sanden.
Anta att höjden på en kulle är 11 cm, bredden är 55 cm och avståndet mellan två kullar är 1111 cm. Se figur nedan.
Enligt en förenklad modell följer varje kulle toppen på en sinuskurva som ges av funktionen f(x)=Asin(kx)−dƒ (x)=Asin(kx)−d där AA, kk och dd är positiva konstanter. Se figur nedan.
a) Bestäm värdet på konstanten kk.
b) Bestäm värdet på konstanterna AA och dd.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a) 0,39 b) A=2,25, d=1,25(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...13. Premium
(1/1/2)M NPE C A B P PL M 1 1 1 R K 1 I en mikrovågsugn finns en rund bricka som kan rotera. Ett glas placeras på brickan enligt figur 1.
När mikrovågsugnen är igång roterar brickan med konstant fart. Avståndet yy cm från glasets centrum till mikrovågsugnens lucka beskrivs av funktionen y(t)=17,0−12,5cos(6π(t+3))y(t)=17,0−12,5cos(π6 (t+3)) där tt är tiden i sekunder. Vid t=0t=0 befinner sig glaset längst till vänster i mikrovågsugnen, se figur 2.
a) Bestäm det största avståndet från glasets centrum till mikrovågsugnens lucka. Endast svar krävs.
b) Bestäm hur lång tid det tar för glaset att rotera ett varv i mikrovågsugnen.Glaset roterar antingen medurs eller moturs. Se figur 3.
c) Undersök åt vilket håll glaset roterar i den här mikrovågsugnen.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a) 29,5 cm b) 12 s c) medurs(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
backis
bra och tydliga genomgångar!! en sak undrar jag dock; HUR vet man när man ska räkna med grader eller med radianer?!
Simon Rybrand (Moderator)
Det är oftast så att du använder radianer vid följande tillfällen:
– När det uttryckligen poängteras i en uppgift att det skall svaras i radianer.
– När du har π angivet i uppgiftens beskrivning.
– När du jobbar med Trigonometriska funktioners derivata.
Endast Premium-användare kan kommentera.