00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen går vi igenom grundläggande begrepp i algebra. Vi visar nyttan med att kunna räkna med variabler och vad de olika delarna i ett algebraiskt uttryck kallas.

Vad är Algebra – En kort bakgrund

Algebra är en del inom matematiken. Ordet Algebra kommer från det arabiska ordet Al´djabr och betyder återförening eller koppling. Till vardags kan man höra folk kalla algebra för bokstavsräkning. Även om det inte är en helt korrekt översättning beskriver det till viss del vad algebra handlar om.

Algebra - algebraiskt uttryck
Tanken bakom algebra är att kunna beskriva storheter som längd, tid, hastighet och vikt med hjälp av bokstäver, så att vi kan teckna förhållanden mellan olika storheter, utan att känna till de exakta värdena på dem. Men hjälp av algebran bestämmer vi värden till det tidigare okända.

Viktiga begrepp i algebra

I den här lektionen lär du dig grunderna i algebra. Då är det viktigt att känna till olika begrepp i algebra, ord i matematiken, som ofta används. Dessa begrepp återanvänds om och om igen inom algebrans alla områden. Så det är lika bra att sätta igång och plugga in dem utantill. Det underlättar för dig framöver.

Begrepp i algebra
Algebraiskt uttryck

Ett algebraiskt uttryck är en summa av termer där åtminstone en av termerna innehåller variabler. Några exempel på algebraiska uttryck är 3x+23x+23x+2 ,  xxx och  2x23x+102x^2-3x+102x23x+10

Variabel

Bokstaven xxx i det algebraiska uttrycket ovan kallas för en variabel. Som man hör på namnet kan variablerna variera. Uttryckets värde är alltså beroende av variabelns värde som kan vara flera olika i samma uttryck. En variabel betecknas ofta med just en bokstav, men vilken det är kan variera. Tex är aaxxx, yyy och aaa vanliga beteckningar för variabeln.

Koefficient

Talet som multipliceras med en variabel kallar man för en koefficient. Oftast står koefficienten precis framför variabeln och den utgör den konstanta faktorn i en variabelterm. T.ex. är 5 5 koefficient i uttrycket 5x2 5x^2 och 4 4 är koefficient i uttrycket 4x3 4x^3

Eftersom att man i matematiken alltid strävar mot att använda så få tecken som möjligt i ett uttryck, väljer man att inte skriva ut tecken som ”inte behövs”.

Exempelvis finns ett ”dolt” multiplikationstecken mellan koefficienten och variabeln som inte skrivs ut. Skrivsättet 3x3x3x är alltså detsamma som 3x3\cdot x3·x. Och på liknande vis skriver man sällan ut koefficienten 111. Skrivsättet xxx motsvarar underförstått  1x1\cdot x1·x.  

Ekvation

En ekvation är en likhet mellan två uttryck där minst ett av dem innehåller en variabel.

En ekvation kan innehålla flera variabler, men i denna kurs använder vi endast en variabel per ekvation. Står flera bokstäver i samma uttryck motsvarar alla utom en av dem konstanter.

Variabelterm

Vid addition och subtraktion kallar man de olika talen för termer. Samma gäller för algebraiska uttryck med skillnaden att termerna även kan innehålla variabler, alltså bokstäver. En algebraisk term kan alltså vara en kombination av siffror och bokstäver, men även innehålla termer som endast innehåller siffror. Några exempel på variabeltermer är 4x4x4x , 17x3-17x^317x3  eller 4x23\frac{4x^2}{3}4x23 .

Termerna skiljs åt, precis som vid vanlig addition och subtraktion, av plus- eller minustecken. Det algebraiska uttrycket  5x2+10x25x^2+10x-25x2+10x2 har tre stycken termer.

Konstant

En term som bara innehåller siffror kallas för en konstantterm. Man kallar även termen endast för en konstant. Namnet ger egenskapen, nämligen att värdet på termen inte varierar utan är just konstant. Uttrycket 3x+43x+43x+4 konstanten fyra och uttrycket 5x2+4x125x^2+4x-125x2+4x12 konstanten minus tolv. Fyran och minustolvan är också uttrycken konstanttermer.

Vi tar nu några exempel på frågor kring begreppen.

Exempel 1

Hur många termer har det algebraiska uttrycket x42x3+5x6x^4-2x^3+5x-6x42x3+5x6 ?

Lösning

I uttrycket så separeras termerna med +++ eller -. Så det har sammanlagt fyra termer.

Exempel 2

Vilka är koefficienterna i uttrycket 3x2+x3x^2+x3x2+x ?

Lösning

Koefficienten motsvarar talet som multipliceras med variabeln. Oftast står koefficienten precis framför variabeln.

I uttrycket har den första termen, 3x23x^23x2 , koefficienten 333 och den andratermen, xxx, har en osynlig koefficient 111.

Observera att alla variabler utan koefficient faktiskt har en koefficient 111. Bara att den är ”osynlig”.

Vi kan multiplicera alla termer med talet 111 utan att ändra värdet på termen. Om variabeln multipliceras med talet 111, ger produkten samma värde som variabelns värde. Vikten av att skriva ut ettan är därför obefintlig, förutom när man ska ange koefficienten eller faktorisera uttryck som vi ska göra framöver.

Som vi tidigare nämnde väljer därför matematiken det skrivsätt som innehåller så få tecken som möjligt utan att lämna tolkningsutrymme för missuppfattningar, och hoppar därmed över att skriva ut ettan som koefficient. Men glöm aldrig att den finns där, hur osynlig den är!

Exempel 3

Vilken är konstanten i uttrycket 3x3x153x^3-x-153x3x15 ?

Lösning

I uttrycket har vi bara en konstant, nämligen konstanten 15-1515 då den termen inte innehåller någon variabel.

Observera att det sista minustecknet istället kan ses som addition med minus femton, så här  3x3x+(15)3x^3-x+\left(-15\right)3x3x+(15). Omskrivet på detta sett ser man tydligare att konstanttermen är just minus femton.

Bra att veta är att vid lite krångligare uppgifter kan en koefficient även betecknas med en bokstav som då motsvarar ett konstant värde. Detta är vanligt exempelvis när vi ska tillämpa matematiken med en formel eller annan matematiskt samband.

Det algebraiska uttryckets grad

Gradtal

Det är viktigt att kunna se vilken grad som ett algebraiskt uttryck eller term har. Detta hjälper dig att senare kunna förenkla och utveckla algebraiska uttryck, avgöra antalet möjliga lösningar till en ekvation samt skissa grafers utseenden.

Det som anger det algebraiska uttryckets grad är den största exponenten någon variabel i uttrycket har. Med exponenten menas den siffra som man upphöjer en variabel med. Ett uttryck kan bara ha en grad även om det finns flera exponenter, det är alltså den största exponenten som anger graden.

Nedan följer ett antal exempel där vi förklarar vad uttryckets grad är.

Exempel 4

Vilken grad har uttrycken

a) 2x3+x+5 2x^3 + x+5  

b) x+9000 x + 9000

c) a4+ a2+37 a^{4} +  a^{2}+3^{7}

Lösning

a) Uttrycket 2x3+x+5 2x^3 +x+ 5 har graden tre, eftersom att de är den högsta exponenten i en variabelterm.

b) Vi vet att x=x1x= x^1 . Uttrycket x+9000 x + 9000 har därför graden ett, eftersom att den högsta exponenten som tillhör en variabelterm är den ”osynliga” ettan i xx

c) Då den största exponenten som tillhör en variabel är fyra, är graden fyra. Observera att även om det finns en exponent med ett större värde, sju i detta exempel, så anger inte det graden då den inte tillhör en variabel.

Följande områden är viktiga inom algebra men behandlas inte denna lektion utan i kommande lektioner hos oss. Men vi har här en sammanfattning av dessa områden med länkar till fördjupningar.

Så beräknar du ett algebraiskt uttrycks värde

När du skall beräkna ett algebraiskt uttrycks värde så byter du ut en eller flera bokstäver mot tal. Då kan du få ut endast ett tal av det och det kallas för ett algebraiskt uttrycks värde. Fördjupa dig om hur du beräknar värdet av algebraiska uttryck.

Förenkla algebraiska uttryck

När man förenklar algebraiska uttryck så lägger du samman de termer i uttrycket som är av samma sort. Termer är av samma sort om de har samma variabler och är av samma grad. Fördjupa dig om förenkling av algebraiska uttryck.

Utveckla algebraiska uttryck

När man utvecklar algebraiska uttryck så multiplicerar man ihop parenteser och utvecklar exponenter, t.ex. om en parentes är upphöjd med 2. Fördjupa dig om att multiplicera och dividera algebraiska uttryck.

Faktorisering

När ett algebraiskt uttryck faktoriseras så delar man upp uttrycket i så kallade faktorer. Två tal som multipliceras med varandra kallas för faktorer. Om man då delar upp en produkt i dess faktorer så kallas det för en faktorisering eller att man bryter ut något ur ett uttryck.

Algebra och ekvationslösning

Ett mycket stort och viktigt område inom algebra är ekvationer och ekvationslösning. Här söker du något okänt i en likhet mellan ett vänsterled och ett högerled så att dessa är lika med varandra. Det finns många olika typer av ekvationer där den första typen som du lär dig kallas för linjära ekvationer.

Exempel i videon

  • Rutger och hans morsa har gjort fruktsallad. Rutger köpte tre bananer och en mango i affären och för det betalade han 242424 kronor av morsans pengar. Rutger kommer ihåg att bananerna kostade 555 kronor styck men han minns inte vad mangon kostade. Beskriv och ta reda på detta med hjälp av algebra.
  • Beskrivning av x,2x,3x3x,2x,3x^3x,2x,3x3 och 2x3-2x^32x3.
  • Ange koefficient, variabel, exponent och grad för 3x3+2x23x^3+2x-23x3+2x2.
  • Vilka är koefficienterna i uttrycket 4x4+3x54x^4+3x^54x+3x ?
  • Vilken grad har uttrycken a) 2000a+10002000a+10002000a+1000 b) 5x3+102x95x^3+10-2x^95x3+102x