Volymintegraler med cylindriska skal

Exempel 1

Funktionen $f(x)=8x-4x^2$ƒ (x)=8x−4x² roterar kring $y$y-axeln i intervallet $0 \leq x \leq 2$0≤x≤2. Beräkna volymen med hjälp av cylindriska skal.

Lösning

Vi börjar med att beräkna volymen för ett enskilt cylindriskt skal med radien $r=x$r=x och höjden $y=f(x)$y=ƒ (x).

$\Delta V=2\pi\cdot x\cdot f(x)\cdot\Delta x$△V=2π·x·ƒ (x)·△x Sätt in $f(x)=8x-4x^2$ƒ (x)=8x−4x²

$\Delta V=2\pi\cdot x\cdot(8x-4x^2)\cdot\Delta x$△V=2π·x·(8x−4x²)·△x Förenkla

$\Delta V=2\pi(8x^2-4x^3)\cdot\Delta x$△V=2π(8x²−4x³)·△x

Vi summerar alla skal i intervallet $0 \leq x \leq 2$0≤x≤2 med en integral.

$V=\int_0^2 2\pi(8x^2-4x^3)\, dx$V=∫₀²2π(8x²−4x³)dx Bestäm den primitiva funktionen

$V=2\pi\left[\frac{8x^3}{3}-x^4\right]_0^2=$V=2π[8x³3 −x⁴]₀²= Sätt in gränserna

$V=2\pi\left(\frac{64}{3}-16\right)=$V=2π(643 −16)= Förenkla

$V=2\pi\cdot\frac{16}{3}=\frac{32\pi}{3}\approx33{,}5$V=2π·163 =32π3 ≈33,5

Volymen som bildas är $\frac{32\pi}{3}$32π3 v.e., det vill säga ungefär $33{,}5$33,5 v.e.

Exempel 2

Funktionen $y=x-x^2$y=x−x² roterar kring $y$y-axeln och begränsas av $x$x-axeln. Beräkna volymen som bildas.

Lösning

Vi bestämmer först integrationsgränserna. Funktionen skär $x$x-axeln där $y=0$y=0.

$x-x^2=0$x−x²=0 Bryt ut $x$x

$x(1-x)=0$x(1−x)=0

Med nollproduktmetoden får vi $x=0$x=0 och $x=1$x=1, så integrationsgränserna är $a=0$a=0 och $b=1$b=1.

Vi beräknar sedan volymen för ett cylindriskt skal med radien $r=x$r=x och höjden $y=x-x^2$y=x−x².

$\Delta V=2\pi\cdot x\cdot(x-x^2)\cdot\Delta x$△V=2π·x·(x−x²)·△x Förenkla

$\Delta V=2\pi(x^2-x^3)\cdot\Delta x$△V=2π(x²−x³)·△x

Vi summerar alla skal i intervallet $0 \leq x \leq 1$0≤x≤1 med en integral.

$V=\int_0^1 2\pi(x^2-x^3)\, dx$V=∫₀¹2π(x²−x³)dx Bestäm den primitiva funktionen

$V=2\pi\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=$V=2π[x³3 −x⁴4 ]₀¹= Sätt in gränserna

$V=2\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=$V=2π(13 −14 )= Förenkla

$V=2\pi\cdot\frac{1}{12}=\frac{\pi}{6}\approx0{,}52$V=2π·112 =π6 ≈0,52

Volymen som bildas är $\frac{\pi}{6}$π6 v.e., det vill säga ungefär $0{,}52$0,52 v.e.