Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik - fortsättning Nivå 2
/ Integraler
Volymintegraler med cylindriska skal
Innehåll
Ibland är skivmetoden besvärlig att använda, till exempel när det är krångligt att skriva om funktionen med $x$x som funktion av $y$y. Då kan metoden med cylindriska skal vara ett bättre alternativ. Vill du repetera skivmetoden, se lektionerna Volymintegraler – Vad är det? och Rotationsvolymer med skivmetoden.
Metoden med cylindriska skal
Metoden går ut på att vi delar upp kroppen i cylindriska skal, tänk dig ett rör, istället för tunna skivor. Varje skal kan sedan ”vecklas ut” till ett rätblock, vars volym vi känner till sedan tidigare.
Volymen av ett cylindriskt skal
Ett cylindriskt skal med radien $r=x$r=x, höjden $y=f(x)$y=ƒ (x) och tjockleken $\Delta x$△x kan vecklas ut till ett rätblock med samma volym. Volymen för ett skal ges av
$\Delta V = 2\pi \cdot x \cdot f(x) \cdot \Delta x$
Låter vi varje skal bli oändligt tunt, det vill säga $\Delta x \to 0$△x→0, och summerar alla skal från $a$a till $b$b, får vi integralen
$V = \int_a^b 2\pi \cdot x \cdot f(x)\, dx$
Exempel 1
Funktionen $f(x)=8x-4x^2$ƒ (x)=8x−4x2 roterar kring $y$y-axeln i intervallet $0 \leq x \leq 2$0≤x≤2. Beräkna volymen med hjälp av cylindriska skal.
Lösning
Vi börjar med att beräkna volymen för ett enskilt cylindriskt skal med radien $r=x$r=x och höjden $y=f(x)$y=ƒ (x).
$\Delta V=2\pi\cdot x\cdot f(x)\cdot\Delta x$△V=2π·x·ƒ (x)·△x Sätt in $f(x)=8x-4x^2$ƒ (x)=8x−4x2
$\Delta V=2\pi\cdot x\cdot(8x-4x^2)\cdot\Delta x$△V=2π·x·(8x−4x2)·△x Förenkla
$\Delta V=2\pi(8x^2-4x^3)\cdot\Delta x$△V=2π(8x2−4x3)·△x
Vi summerar alla skal i intervallet $0 \leq x \leq 2$0≤x≤2 med en integral.
$V=\int_0^2 2\pi(8x^2-4x^3)\, dx$V=∫022π(8x2−4x3)dx Bestäm den primitiva funktionen
$V=2\pi\left[\frac{8x^3}{3}-x^4\right]_0^2=$V=2π[8x33 −x4]02= Sätt in gränserna
$V=2\pi\left(\frac{64}{3}-16\right)=$V=2π(643 −16)= Förenkla
$V=2\pi\cdot\frac{16}{3}=\frac{32\pi}{3}\approx33{,}5$V=2π·163 =32π3 ≈33,5
Volymen som bildas är $\frac{32\pi}{3}$32π3 v.e., det vill säga ungefär $33{,}5$33,5 v.e.
Exempel 2
Funktionen $y=x-x^2$y=x−x2 roterar kring $y$y-axeln och begränsas av $x$x-axeln. Beräkna volymen som bildas.
Lösning
Vi bestämmer först integrationsgränserna. Funktionen skär $x$x-axeln där $y=0$y=0.
$x-x^2=0$x−x2=0 Bryt ut $x$x
$x(1-x)=0$x(1−x)=0
Med nollproduktmetoden får vi $x=0$x=0 och $x=1$x=1, så integrationsgränserna är $a=0$a=0 och $b=1$b=1.
Vi beräknar sedan volymen för ett cylindriskt skal med radien $r=x$r=x och höjden $y=x-x^2$y=x−x2.
$\Delta V=2\pi\cdot x\cdot(x-x^2)\cdot\Delta x$△V=2π·x·(x−x2)·△x Förenkla
$\Delta V=2\pi(x^2-x^3)\cdot\Delta x$△V=2π(x2−x3)·△x
Vi summerar alla skal i intervallet $0 \leq x \leq 1$0≤x≤1 med en integral.
$V=\int_0^1 2\pi(x^2-x^3)\, dx$V=∫012π(x2−x3)dx Bestäm den primitiva funktionen
$V=2\pi\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=$V=2π[x33 −x44 ]01= Sätt in gränserna
$V=2\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=$V=2π(13 −14 )= Förenkla
$V=2\pi\cdot\frac{1}{12}=\frac{\pi}{6}\approx0{,}52$V=2π·112 =π6 ≈0,52
Volymen som bildas är $\frac{\pi}{6}$π6 v.e., det vill säga ungefär $0{,}52$0,52 v.e.
Visste du detta?
Metoden med cylindriska skal kan liknas vid hur man skalar en lök, lager för lager. Inom mekaniken används samma princip, att tänka sig en kropp uppbyggd av tunna cylindriska skal, för att beräkna tröghetsmoment hos roterande föremål som hjul och axlar.
Skivmetoden eller cylindriska skal — vilken metod ska du välja?
Båda metoderna ger samma volym, men en av dem är ofta enklare att använda beroende på hur funktionen ser ut.
- Använd skivmetoden när det är enkelt att skriva om funktionen med $x$x som funktion av $y$y (eller tvärtom), till exempel vid rotation kring samma axel som funktionen är uttryckt i.
- Använd cylindriska skal när funktionen är besvärlig att skriva om, till exempel vid rotation kring $y$y-axeln när funktionen är uttryckt med $x$x som variabel.
Exempel i videon
- Beräkna volymen som skapas då vi låter $y=x-x^2$y=x−x2 rotera runt $y$y-axeln och begränsas av $x$x-axeln.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Beräkna volymen som skapas då vi låter $f(x)=2x-x^2$ƒ (x)=2x−x2 rotera kring $y$-axeln och begränsas av $x$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Linjerna $y=1$y=1 , $x_1=2$x1=2 och $x_2=3$x2=3 bildar tillsammans med $x$-axeln ett slutet område i första kvadranten. Använd cylindriska skal och beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
3. Premium
Beräkna volymen som skapas då vi låter $f(x)=3x^2-x^3$ƒ (x)=3x2−x3 rotera kring $y$-axeln och begränsas av $x$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
4. Premium
Använd metoden med cylindriska skal och beräkna volymen som skapas då det färgade området roteras runt $y$y-axeln.
Försök sedan att komma på ett alternativt (och gärna enklare) sätt att bestämma rotationsvolymen.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Beräkna volymen som bildas då funktionen $y=\sqrt{x}+1$y=√x+1 roteras kring $y$-axeln i intervallet $1\le x\le4$1≤x≤4 .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
6. Premium
Funktionerna $y_1=2x$y1=2x och $y_2=\frac{x^2}{2}$y2=x22 bildar ett slutet område i första kvadranten. Beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
7. Premium
Funktionen $y=\frac{x^2}{2}-2$y=x22 −2 och linjen $x=4$x=4 bildar ett slutet område i första kvadranten. Beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Beräkna volymen som bildas då funktionen $y=sin\left(x\right)$y=sin(x) roteras kring $y$-axeln i intervallet $0\le x\le2\pi$0≤x≤2π.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
Hedvig Unbeck
Hej. Jag undrar om ni har uppgifter om cirkelns ekvation eller genomgångar om det? Gjorde gammalt NP och det är med där men är osäker om det ingår? Läste ma4 i skolan 2025 och är osäker om det ingick då. Ma4 gy11
Eddler
Hej Hedvig! Ja, vi har en genomgång om just det: https://eddler.se/lektioner/cirkelns-ekvation/ — där finns både teori och övningar. Cirkelns ekvation ingår i Ma4 gy11. Lycka till!
Amal Hussein
Tack så mycket 🙂
Bestäm volymen av den kropp som bildas då området som begränsas av y=x^2 och y=x roterar runt linjen x= -3?
Kan du hjäpa mig med denna med?
Amal Hussein
Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas om arean under kurvan f(x) 1/x – 0,1 i första kvadranten roterar runt x-axeln då x>1?
Har fastnat på denna beräkningen:/
Simon Rybrand (Moderator)
Volymen för en skiva är:
$ \pi·r^2·Δx=\pi·(1/x-0,1)^2·Δx $
Sedan beräknade volymen för alla skivor, dvs volymen från x>1 till a=∞.
$\pi \int \limits_1^a (1/x-0,1)^2 \, dx$ där $a \to ∞$
Leez
Jag undrar också om ni möjligtvis har lektioner på implicit och explicit derivering?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, nej tyvärr så har vi i nuläget ingenting kring det området.
Leez
Hej!
Jag undrar hur du fick fram 8pi/3 ? För jag får fram att det blir 4pi/3!
Tack! 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, jag ställer upp integralen enligt:
$ 2\pi \int\limits_0^2 (2x^2-x^3) dx = $
$ 2\pi \left[ \frac{2x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \right]_0^2 = $
$ 2\pi (\frac{16}{3} – 4) = 2\pi(\frac{4}{3}) = \frac{8\pi}{3} $
Endast Premium-användare kan kommentera.