Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik Årskurs 9
/ Olika talmängder
Olika talmängder
Innehåll
I den här lektionen tittar vi närmare på hur vi kan organisera tal i talmängder, det vill säga grupper av tal med gemensamma egenskaper.
Vi utgår från tallinjen och bygger upp talmängderna steg för steg: naturliga tal, heltal, rationella tal, irrationella tal och reella tal.
Naturliga tal
De naturliga talen är de tal vi använder när vi räknar saker: ett äpple, två äpplen, tre äpplen. Det är de enklaste talen och de första vi lär oss som barn. Vi betecknar talmängden med bokstaven $\mathbb{N}$ℕ.
Naturliga tal $\mathbb{N}$ℕ
De naturliga talen är
$0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, …$0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Med de tre punkterna, $…$…, menar vi att talen fortsätter oändligt uppåt enligt mönstret. I svensk skola räknar vi $0$0 som ett naturligt tal.
På tallinjen placeras de naturliga talen till höger om och på noll.
Heltal
Om vi utökar de naturliga talen med de negativa talen får vi talmängden heltal. Negativa tal finns till vänster om noll på tallinjen och används till exempel för att beskriva temperaturer under noll, skulder eller höjder under havsytan. Vi betecknar talmängden med bokstaven $\mathbb{Z}$ℤ.
Heltal $\mathbb{Z}$ℤ
Heltalen är alla naturliga tal och deras negativa motsvarigheter.
$…,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,…$…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Alla naturliga tal är heltal, men inte alla heltal är naturliga tal (de negativa talen ingår inte i $\mathbb{N}$ℕ).
Här ser vi heltalen på en del av tallinjen. De negativa talen placerar sig till vänster om noll och de positiva till höger om noll. De negativa talen tillsammans med noll och de positiva heltalen bildar heltalen.
Rationella tal
Ibland räcker inte heltalen till. Om vi delar en pizza i tre lika bitar och tar en bit, har vi $\frac{1}{3}$13 av pizzan, och det är inget heltal. De tal som kan skrivas som ett bråk med heltal i täljare och nämnare kallas rationella tal och betecknas $\mathbb{Q}$ℚ.
Rationella tal $\mathbb{Q}$ℚ
Ett tal är rationellt om det kan skrivas på formen
$\frac{a}{b}$ab
där $a$a och $b$b är heltal och $b\neq0$b≠0.
Alla heltal är rationella tal (till exempel $3=$3=$\frac{3}{1}$31 ). Rationella tal kan också skrivas som decimaltal med ändlig eller periodisk decimalutveckling.
Exempel 2
Vilka av talen $\frac{3}{4}$34 , $-5$−5 och $0$0 är rationella tal?
Lösning
Vi kontrollerar om varje tal kan skrivas som ett bråk med heltal i täljare och nämnare.
Talet $\frac{3}{4}$34 har heltal i täljare och nämnare, så det är ett rationellt tal.
Talet $-5$−5 kan vi skriva som $\frac{-5}{1}$−51 , så det är ett rationellt tal.
Talet $0$0 kan vi skriva som $\frac{0}{1}$01 , så det är ett rationellt tal.
Alla tre talen är rationella tal. Alla heltal är rationella tal.
Irrationella tal
Vissa tal kan inte skrivas som ett bråk med heltal i täljare och nämnare. De kallas irrationella tal. Två kända exempel är talet $\pi$π och $\sqrt{2}$√2.
Irrationella tal
Ett tal är irrationellt om det inte kan skrivas på formen $\frac{a}{b}$ab , där $a$a och $b$b är heltal och $b\neq0$b≠0. I decimalform har irrationella tal oändligt många decimaler utan periodiskt mönster, till exempel $\pi\approx3{,}14159\ldots$π≈3,14159… och $\sqrt{2}\approx1{,}41421\ldots$√2≈1,41421….
Exempel 3
Är talen $\sqrt{4}$√4 och $\sqrt{2}$√2 rationella eller irrationella?
Lösning
Vi vill avgöra om talen $\sqrt{4}$√4 och $\sqrt{2}$√2 är rationella eller irrationella.
Vi förenklar $\sqrt{4}=2$√4=2, vilket kan skrivas som $\frac{2}{1}$21 , så $\sqrt{4}$√4 är ett rationellt tal. Talet $\sqrt{2}$√2 kan däremot inte skrivas som ett bråk med heltal i täljare och nämnare. Decimalutvecklingen $1{,}41421\ldots$1,41421… fortsätter oändligt utan att upprepa sig, så talet är irrationellt.
Talet $\sqrt{4}$√4 är alltså rationellt och talet $\sqrt{2}$√2 är irrationellt.
Reella tal
De rationella och de irrationella talen bildar tillsammans den största talmängden vi arbetar med i grundskolan: de reella talen. Vi betecknar talmängden med bokstaven $\mathbb{R}$ℝ.
Reella tal $\mathbb{R}$ℝ
De reella talen är alla tal som finns på tallinjen, både rationella och irrationella tal.
Talmängderna hänger ihop
De talmängder vi har gått igenom är inte fristående utan hänger ihop. Varje naturligt tal är också ett heltal, och varje heltal är också ett rationellt tal. De rationella talen tillsammans med de irrationella talen bildar de reella talen. Vi kan illustrera detta med en bild där de naturliga, hela och rationella talen ligger inuti de reella talen. De irrationella talen är resten av de reella talen.
Sammanfattning av talmängderna
De talmängder vi har gått igenom här täcker det vi behöver i grundskolan.
$\mathbb{N}$ℕ Naturliga tal: $0,\,1,\,2,\,3,\,…$0, 1, 2, 3, …
$\mathbb{Z}$ℤ Heltal: $…,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,…$…, −2, −1, 0, 1, 2, …
$\mathbb{Q}$ℚ Rationella tal: alla tal som kan skrivas som $\frac{a}{b}$ab där $a$a och $b$b är heltal
Irrationella tal: tal som inte kan skrivas som ett bråk med heltal, till exempel $\pi$π och $\sqrt{2}$√2
$\mathbb{R}$ℝ Reella tal: alla tal på tallinjen
På gymnasiet möter vi fler talmängder, till exempel de komplexa talen, som utökar de reella talen ytterligare. Läs mer om detta i gymnasielektionen om andragradsekvationer med komplexa rötter.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Vilket av följande tal är ett naturligt tal?
$-2$−2 $705$705 $\frac{1}{3}$13 $\pi$π
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Olika talmängderLiknande uppgifter: naturliga tal talmängder Taluppfattning och AritmetikRättar...2. Premium
Vilket av följande alternativ beskriver bäst talmängden reella tal?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Olika talmängderLiknande uppgifter: reella tal talmängder Taluppfattning och AritmetikRättar...3. Premium
Vilken av följande talmängder tillhör talet $ \frac{11}{13} $?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Kommer du ihåg? - Tal på olika formerLiknande uppgifter: Matematik Högstadiet Tal och talmängder - Åk 9 Taluppfattning och Aritmetik - HögstadietRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Hur många av talen $-2$−2, $0$0, $\frac{3}{4}$34 , $5$5 och $12$12 är naturliga tal?
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Olika talmängderLiknande uppgifter: naturliga tal talmängder Taluppfattning och AritmetikRättar...5. Premium
Vilken av talmängderna nedan innehåller inte talet $-4$−4?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Olika talmängderLiknande uppgifter: Matematik 1 naturliga tal Tal och Talbegreppet talmängd talmängder Taluppfattning och AritmetikRättar...c-uppgifter (2)
-
6. Premium
Vilket påstående är sant?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Olika talmängderLiknande uppgifter: Delmängder talmängder Taluppfattning och AritmetikRättar... -
7. Premium
Vilket av talen är inte ett rationellt tal?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Olika talmängderLiknande uppgifter: irrationella tal talmängder Taluppfattning och AritmetikRättar...
a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Ali påstår att $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$√2·√2 är irrationellt, eftersom $\sqrt{2}$√2 är irrationellt. Har Ali rätt?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Olika talmängderLiknande uppgifter: irrationella tal talmängder Taluppfattning och AritmetikRättar...
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Endast Premium-användare kan kommentera.