00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

För att kunna studera förändringshastigheten av periodiska förlopp vill vi kunna derivera sin x och cos x. När vi använder vinkelmåttet radianer kommer derivatan till de trigonometriska funktionerna bli enkla att uttrycka.  

Derivera sin x och cos x

För funktioner som innehåller sinus, cosinus och tangens gäller att att de har följande derivator.

Deriveringsregler för trigonometriska funktioner

Om xxx anges i radianer gäller att

f(x)=sinx f(x)= \sin x     \Rightarrow    f(x)=cosx f(x)'=\cos x

g(x)=cosx g(x) = \cos x    \Rightarrow    g(x)=sinx g(x)'=-\sin x

y=tanx y = \tan x   \Rightarrow     y=y'=y´=  1cos2x\frac{1}{\cos^2x}1cos2x  

Med komplettering av några deriveringsregler som vi gått igenom i tidigare kurser kan vi nu börja så smått att derivera sin x och cos x.

För funktioner med flera termer gäller som vanligt att vi deriverar term för term.

För funktionen D(f+g)=f+gD\left(f+g\right)=f'+g'D(ƒ +g)=ƒ ´+g´

Och en konstant faktor kvarstår vid derivering.

För alla funktioner f(x)=kg(x)f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)ƒ (x)=k·g(x) där kkk är en konstant, gäller att  f(x)=kg(x)f'\left(x\right)=k\cdot g'\left(x\right)ƒ ´(x)=k·g´(x)    

Vi kan alltså bryta ut en konstant ur funktionsuttrycket innan vi använder deriveringsregeln. 

Exempel 1

Derivera

a)  f(x)=4sinxf(x)=4\sin xƒ (x)=4sinx

b)  f(x)=3cosxf(x)=-3\cos xƒ (x)=3cosx 

Lösning

Enligt deriveringsreglerna ovan får vi att

a)  f(x)=4sinxf'(x)=4\sin xƒ ´(x)=4sinx  eftersom att derivatan för  y=sinxy=\sin xy=sinx är lika med y=cosxy’=\cos xy=cosx.

b)  f(x)=3sinxf'(x)=3\sin xƒ ’(x)=3sinx  eftersom att y=cosxy=\cos xy=cosx är lika med y=sinxy’=-\sin xy=sinx  och  3(sinx)=3sinx-3\cdot\left(-\sin x\right)=3\sin x3·(sinx)=3sinx 

Härledning av derivatan av sin x

Enligt derivatans definition gäller att derivatan till  f(x)=sinxf\left(x\right)=\sin xƒ (x)=sinx kan beräknas på följande vis.

f(x)=f'(x)=limh0 \lim\limits_{h \to 0} f(x+h)f(x)h=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=ƒ (x+h)ƒ (x)h =limh0 \lim\limits_{h \to 0} sin(x+h)sinxh\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}sin(x+h)sinxh  

 

Enligt additionsformeln för sinus får vi att

f(x)=f'(x)=limh0 \lim\limits_{h \to 0} sinxcosh+sinhcosxsinxh\frac{\sin x\cdot\cos h+\sin h\cdot\cos x-\sin x}{h}sinx·cosh+sinh·cosxsinxh 

Vi delar upp uttrycket i två termer för att lättare kunna slutföra härledningen. 

f(x)=f'(x)=limh0 \lim\limits_{h \to 0} sinxcoshsinxh+\frac{\sin x\cdot\cos h-\sin x}{h}+sinx·coshsinxh +limh0 \lim\limits_{h \to 0} sinhcosxh=\frac{\sin h\cdot\cos x}{h}=sinh·cosxh = 

                 limh0 \lim\limits_{h \to 0} sinx(cosh1)h+\frac{\sin x\left(\cos h-1\right)}{h}+sinx(cosh1)h +limh0 \lim\limits_{h \to 0}   sinhcosxh\frac{\sin h\cdot\cos x}{h}sinh·cosxh 

 

Faktorerna sinx\sin xsinx och cosx\cos xcosx påverkas inte av hhh vid gränsvärdesberäkningen och vi bryter ut dem på följande vis för att lättare kunna studera de faktorer som påverkar enskilt. 

f(x)=f'(x)=sinx\sin x\cdotlimh0 \lim\limits_{h \to 0}  cosh1h+\frac{\cos h-1}{h}+cosh1h +cosx\cos x\cdotlimh0 \lim\limits_{h \to 0}  sinhh\frac{\sin h}{h}sinhh  

 

Vi bestämmer nu gränsvärdena för limh0 \lim\limits_{h \to 0} cosh1h\frac{\cos h-1}{h}cosh1h  och limh0 \lim\limits_{h \to 0}  sinhh\frac{\sin h}{h}sinhh  för att se vad derivatan är.

Vi undersöker numeriskt för mindre och mindre värden på hhh uttryckt i radianer genom insättning.

 cosh1h\frac{\cos h-1}{h}\approxcosh1h  0,005-0,0050,005  då  h=0,01h=0,01h=0,01  rad.

 cosh1h\frac{\cos h-1}{h}\approxcosh1h 0,0005-0,00050,0005 då  h=0,0001h=0,0001h=0,0001 rad.

 cosh1h\frac{\cos h-1}{h}\approxcosh1h 0,000 0005-0,000\text{ }00050,000 0005  då  h=0,000 001h=0,000\text{ }001h=0,000 001 rad.

Fortsätter vi kommer vi upptäcka att limh0 \lim\limits_{h \to 0} cosh1h=\frac{\cos h-1}{h}=cosh1h =000  

 sinhh\frac{\sin h}{h}\approxsinhh  0,999 9830,999\text{ }9830,999 983  då  h=0,01h=0,01h=0,01  rad

 sinhh\frac{\sin h}{h}\approxsinhh  0,999 999 9980,999\text{ }999\text{ }9980,999 999 998  då  h=0,0001h=0,0001h=0,0001 rad

 sinhh\frac{\sin h}{h}\approxsinhh  111  då  h=0,000 001h=0,000\text{ }001h=0,000 001 rad

Fortsätter vi kommer vi upptäcka att limh0 \lim\limits_{h \to 0} sinhh=\frac{\sin h}{h}=sinhh = 111   

Det ger att

f(x)=sinxf'(x)=\sin x\cdotlimh0 \lim\limits_{h \to 0}  cosh1h+\frac{\cos h-1}{h}+cosh1h +cosx\cos xlimh0 \lim\limits_{h \to 0}  sinhh=\frac{\sin h}{h}=sinhh =

sinx0+cosx1=cosx\sin x\cdot 0 +\cos x\cdot 1=\cos x

Vi konstaterar därmed att  f(x)=sinxf\left(x\right)=\sin xƒ (x)=sinx har derivatan  f(x)=cosxf’\left(x\right)=\cos xƒ (x)=cosx.

 

På liknande vis kan du härleda derivatan för cosinusfunktionen. Men för att derivera sin x och cos x behöver du såklart inte göra alla steg ovan utan bara använda deriveringsreglerna som vi just härlett.

Derivatan och tangentens lutning

Vi påminner om att derivatans värde, förändringshastigheten och punktens och tangents lutning antar samma värde för varje xxx i funktionens definitionsmängd.

Exempel 2

Funktionen  f(x)=3sinxf\left(x\right)=3\sin xƒ (x)=3sinx har en tangent i punkten P=(π2, 3sinπ2)P=\left(\frac{\pi}{2},\text{ }3\sin\frac{\pi}{2}\right)P=(π2 , 3sinπ2 ).

Ange tangents ekvation.

Lösning

Tangentens lutning är detsamma som derivatans värde i tangeringspunkten. Enligt deriveringregeln för sinus får vi att

 f(x)=3cosxf’\left(x\right)=3\cos xƒ (x)=3cosx 

Då funktionen har en maximipunkt i P=(π2, 3sinπ2)P=\left(\frac{\pi}{2},\text{ }3\sin\frac{\pi}{2}\right)P=(π2 , 3sinπ2 ) gäller att tangentens lutning är noll. Vi kan dubbelkolla detta med beräkningen cosπ2=0\cos\frac{\pi}{2}=0cosπ2 =0  får vi att  f(π)=30=0f’\left(\pi\right)=3\cdot0=0ƒ (π)=3·0=0 

Enligt tangentens ekvation gäller att

 y=f(π2)x+my=f’\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot x+my=ƒ (π2 )·x+m 

Vi sätter in punktens xxx– och yyy-koordinat för att beräkna mmm-värdet genom att först beräkna 3sinπ2=31=33\sin\frac{\pi}{2}=3\cdot1=33sinπ2 =3·1=3.

 3=0π2+m3=0\cdot\frac{\pi}{2}+m3=0·π2 +m

 m=3m=3m=3  

Tangentens ekvation är  y=3y=3y=3.

Kedjeregeln

När funktionsuttrycket inte enbart har ett xxx som sinus och cosinus ska ”verka” på, tex om  y=7sin(3x+5)y=-7\sin\left(3x+5\right)y=7sin(3x+5)  eller  y=cos2(7x)y=\cos^2\left(7-x\right)y=cos2(7x) säger man att funktionen är sammansatt av en ”inre” och ”yttre” funktion. Man behöver då använda den så kallade kedjeregeln för att kunna derivera rätt. Denna säger att om man har en funktion enligt f(g(x))f(g(x)) så blir derivatan av denna f(g(x))g(x)f ’(g(x)) \cdot g’(x). Dvs man tar den yttre derivatan och multiplicerar med den inre derivatan. 

y=f(g(x)) y=f(g(x)) har derivatan f(g(x))g(x) f'(g(x)) \cdot g'(x)

Denna regel tittar vi närmre på i kommande lektion.