KURSER /
Matematik 1
/ Exponentialfunktioner och Potensfunktioner
Exponentialfunktioner och Potensfunktioner
Författare:
Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
En exponentialfunktion skrivs på formen y=C⋅axy=C·ax . Vi har alltså variabeln i exponenten.
En potensfunktion skrivs istället enligt y=Cxay=Cxa där variabeln istället befinner sig i basen.
Bägge dessa typer av icke-linjära funktioner skrivs alltså med en term som består av en potens. Du kan avgöra vilken av dessa funktioner det är genom att
- Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
- Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.
Exponentialfunktioner
En funktion där variabeln återfinns i exponenten kallas för en exponentialfunktion.
Definition
En exponentialfunktion skrivs på formen
y=C⋅axy=C·ax
där CC och aa är konstanter och a>0a>0.
Om vi ritar ut en exponentialfunktion så kan den exempelvis se ut på följande vis.
Notera här att kurvan skär yy-axeln i y=100y=100, dvs det som benämns konstanten CC ovan. I det här fallet så är kurvan exponentiellt växande ju större xx-värde vi har.
Om vi istället har en exponentialfunktion där konstanten a<1a<1 så ser den funktions kurva ut på följande vis.
Notera återigen att kurvan skär yy-axeln i y=100y=100. Den här funktionen avtar istället exponentiellt och funktionsvärdet blir mindre och mindre ju större xx blir.
Exempel 1
Du sätter in 50005000 kronor på ett bankkonto med räntan 2,5 %2,5 % per år.
a) Beskriv hur pengarna växer på kontot med hjälp av en exponentialfunktion.
b) Använd funktionen och bestäm hur mycket pengar du har efter 12 år.
Lösning
a)
Vårt startvärde är 50005000 kronor.
Räntan är 2,5 %2,5 % så förändringsfaktorn är 1,0251,025 .
Tiden xx beskriver antalet år efter att vi satt in pengarna.
Vi kan beskriva hur pengarna yy kr ökar på kontot med funktionen
y=5000⋅1,25xy=5000·1,25x
b)
För att ta reda på hur mycket pengar vi har efter 1212 år så sätter vi in denna tid i funktionen
y=5000⋅1,02512≈6 724 kry=5000·1,02512≈6 724 kr
Lite längre ner i denna text kan du själv undersöka hur de olika konstanterna påverkar exponentialfunktionens graf.
Potensfunktioner
En funktion där variabeln återfinna i basen kallas för en potensfunktion.
Definition
En potensfunktion skrivs på formen
y=C⋅xay=C·xa
där CC och aa är konstanter.
I matematik 1 är den framför allt den linjära funktion som tillämpas medan vi in de senare kurserna jobbar med potensfunktioner med högre grad än ett.
Exempel på potensfunktioner kan vara
- y=x2y=x2 (som är en så kallad andragradsfunktion)
- y=x21=xy=x12 =√x
- y=x0,0056y=x0,0056
Exempel 2
Du vill sätta in 10 00010 000 kronor på ett bankkonto i 10 år. Beskriv hur dina pengar kommer att växa med hjälp av en potensfunktion.
Lösning
Vi antar i detta exempel att räntan är positiv.
Vi kallar förändringsfaktorn för xx.
Vi kan då skriva funktionen som
y=10 000⋅x10y=10 000·x10 där xx är förändringsfaktorn.
Tillämpningar av potensfunktioner och exponentialfunktioner
Ofta basera många tillämpningar av dessa funktioner på upprepade procentuella förändringar. Därför är det viktigt att du känner till begreppet förändringsfaktor. De olika variablerna och konstanterna i funktionerna betyder oftast följande:

yy motsvarar funktionsvärdet
CC motsvarar startvärdet, funktionens värde när x=0x=0
aa motsvarar förändringsfaktorn
xx motsvarar ofta antalet förändringar
Undersök exponentialfunktionens graf
Undersök grafens utseende genom att dra i reglagen för CC och aa.
Hur förändras grafens utseende då CC ökar eller minskar?
Hur förändras grafens utseende då aa ökar eller minskar?
Sammanfattningsvis kan vi konstatera att för en exponentialfunktion där både CC och a>1a>1 motsvarar en graf som är växande. Det innebär att när värdet på xx ökar, ökar även yy-värdet. Förändringsfaktorn motsvarar då en procentuell ökning. Väldigt skissartat skulle den kunna se ut på följande vis.
Om däremot CC är positivt och 0<0< a<1a<1 kommer motsvarar en graf som är avtagande. Det innebär att när xx-värdet ökar, minska yy-värdet. Förändringsfaktorn motsvarar då en procentuell minskning. Lika skissartat skulle den kunna se ut på följande vis.
Om CC däremot är ett negativa tal kommer grafen speglas i xx -axeln.
Så löser du en exponentialekvation grafiskt
I Matematik 1 använder vi grafisk lösning när vi löser exponentialekvationer. Skriv om ekvationen så att du endast har en konstant i ena ledet. Med hjälp av ett digitalt verktyg kan du skriva in VL och HL som två olika funktioner och därefter använda grafräknarens funktion för att bestämma deras skärningspunkt. Ekvationens lösning motsvaras av skärningspunktens xx -värdet.
Om du exempelvis vill lösa ekvationen 20 000=15 000⋅1,036x20 000=15 000·1,036x i Geogebra kan vi finna lösningen genom att skriva in VL och HL som två olika funktioner.
Vi använder verktyget för att bestämma skärningspunkten.
Klicka på ikonen och välj skärningspunkt mellan två objekt.
Klicka sedan på de två graferna till funktionerna och skärningspunkten (8,13416; 20 000)(8,13416; 20 000) anges.
Det innebär att y=20 000y=20 000 när x=8,13416x=8,13416 vilket därmed motsvarar lösningen till ekvationen.
I matematik 2 lär vi oss om logaritmer för att lösa exponentialekvationer algebraiskt.
Exempel i videon
- En dator kostar 10 000 kr och priset höjs med 12 %, vilket blir det nya priset?
- En dator kostar 10 000 kr och priset sänks med 20 %, vilket blir det nya priset?
- 9000 kr sätts in på banken, ställ upp ett samband för hur värdet på pengarna ökar om räntan är x %.
- Du sätter in 9000 kr på banken med räntan 5 %, hur mycket pengar har du efter x år?
Kommentarer
e-uppgifter (10)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken förändringsfaktor motsvarar en ökning med 1,4%1,4% ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 1,014(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(2/0/0)E C A B 1 P PL M 1 R K Formeln y=26 000⋅0,75xy=26 000·0,75x beskriver värdeförändringen yy kronor på en elcykel xx år efter inköpet.
Hur stor är värdeminskningen i procent per år?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 25 %(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Förändringsfaktor - År 9Rättar...3.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken förändringsfaktor motsvarar en sänkning med 23 %23 % ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 0,77(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Du har sparat pengar och ska äntligen köpa en digital systemkamera! Den kostar 59995999 kr men du har en kupong som ger dig 15%15% rabatt.
Vad kommer kameran att kosta efter att man dragit av rabatten?
Avrunda till jämt hundratal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 5 100 kr(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken av följande matematiska modeller är en potensfunktion?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Lisa sätter in 50005000 kr på ett sparkonto med en fast årlig ränta på 2,1 %2,1 % .
Vilken funktion kan beskriva ökningen av pengar på kontot?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken av följande matematiska modeller är inte en potensfunktion, då xx är en oberoende variabel och alla andra variabler motsvarar givna konstanter?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Du köper en bil för 26 00026 000 kr. Vilken matematisk modell ger dig möjlighet att beräkna hur många år det tar innan bilens värde sjunkit till 50005000 kr, om värdet beräknas ha en konstant procentuell minskning på 23%23% per år?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Stig har ärvt en del aktier och har försökt sätta upp en matematisk modell som beskriver sambandet mellan aktiens startvärde CC, aktiens procentuella förändring per månad, aa, antal månader han ägt aktien, tt, samt det aktuella värdet på aktien V(t)V(t).
Vilken av de matematiska modellerna nedan beskriver ett korrekt samband mellan just dessa variabler?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...10. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Teckna en matematisk modell som beskriver sambandet mellan en akties startvärde CC, förändringsfaktorn som motsvarar aktiens procentuella förändring per månad, aa, antal månader han ägt aktien, tt, samt det aktuella värdet på aktien V(t)V(t).
Svar:Ditt svar:Rätt svar: V(t)=C⋅at(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (3)
11. Premium
(0/1/0)NPE C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen x21=9x12 =9
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=81(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: PotensekvationerRättar...12. Premium
(0/3/0)E C A B 1 P PL 1 M 1 R K Freddy sparar pengar för kunna resa efter studenten. Målet är att det ska finnas 15 00015 000 kr på kontot om tre år. En fond lovar 2,8%2,8% i årlig tillväxt.
Hur mycket pengar behöver sättas in nu på fondkontot, för att det ska finnas ungefär 15 00015 000 kr om tre år, om allt sätts in nu på en gång?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...13. Premium
(0/2/0)E C A B P PL M 1 R 1 K Studera följande tre fall. Vilket av fallen kan matematiskt beskrivas med en exponentialfunktion?
(Skriv gärna först upp en matematisk modell för vart och en av fallen när du läser igenom dem.)Fall 1: Ann vill beräkna tt stycken tröjors totala kostnad, yy kr, efter att en rabatt på x%x% har dragits av från det ursprungliga priset CC kr. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den totala kostnaden y kr.
Fall 2: Zoe vill beräkna hur lång tid, tt timmar, det tar innan kaffet har temperaturen y°Cy°C om temperaturen förändras med förändringsfaktorn xx varje timme och hade starttemperaturen C °CC °C. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna antalet timmar innan temperaturen är y °Cy °C.
Fall 3:Max vill beräkna förändringsfaktorn xx som motsvarar den konstanta procentuella ökning som hans aktier behöver hålla för att han ska ha dubblat sin insats CC kronor efter tt månader. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den procentuella ökningen.
Träna även på att motivera ditt svar.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (2)
14. Premium
(1/1/1)NPE C A B 1 P 1 1 PL M R K
Antal besökare på en hemsida ökar procentuellt lika mycket varje år, två år i rad. Bestäm den årliga ökningen i procent då den totala ökningen är 3737 % under tvåårsperioden.Svar:Ditt svar:Rätt svar: 17%(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...15. Premium
(0/0/1)E C A B P PL M R 1 K En grupp forskare studerar en särskild bakterieodling. De har upptäckt att den hela tiden ökar med lika många procent.
Hur lång tid tar det innan odlingen har uppnått den mängd bakterier, som är en miljard gånger fler än den ursprungliga, om det under de tre första dygnen blivit tusen gånger fler bakterier, än vid starten av mätningarna?
Svara i antal hela dygn.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 9 dygn(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Leo Lisinski
Hej! Jag har en fundering kring uppgift 5:
”Vilken av följande matematiska modeller är en potensfunktion?”
Rätt svar enligt facit är
f(x) = 8x^2 + 3x
Men enligt åtminstone vissa definitioner är potensfunktioner endast av en term,
som ni själva skriver i genomgången: y = k·x^n
Jag skulle rekommendera att byta ut det korrekta alternativet mot tex
f(x) = 5·x^(1/3)
Tack för en bra hemsida! Mvh Leo
Simon Rybrand (Moderator)
Vi kikar på detta, tack för feedback!
Hanna Henriksson
Hej! Tack för en jättebra sida, pedagogiskt och tydligt! Undrar om du skulle vilja hjälpa mig med att förklara hur man kommer framtill potensekvationen y=t*C(100-x)/100, förstår den inte riktigt (fall 1 i uppgift 8), tack på förhand! / Hanna
Lovisa Ehrenborg
Fråga 4: Svarade f(x)=8×2+3x. Får fel. I svaret står det att jag svarat rätt.
Fråga 8:
Fall 1 Står att rabatten är x % ej att förändringsfaktorn är x.
Fall 2 Står att temperaturen sjunker med x °C i timmen. Dvs linjärt ej exponentiellt med förändringsfaktor x.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tack för att du påpekade detta, vi fixar till det!
Jane_Ch
Ett företag omsätter 5000000 kr/år. Med en nyanställd i företaget är ägares mål att omsättning ska fördubblas på tre år. Med hur många procent måste då omsättningen i genomsnitt öka varje år?
Simon Rybrand (Moderator)
Du kan ställa upp följande potensekvation:
5000000⋅x3=10000000
där x är förändringsfaktorn. När du löser detta så kommer du att få hur mycket omsättningen skall öka per år för att målet skall nås.
Amanda
Hej!
Jag undrar hur man vet om man ska använda en exponentialfunktion eller en potensfunktion när man löser en uppgift?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Ett ganska praktiskt sätt att se detta på är att utgå ifrån
y=Cat
där C är startvärd, a procentuell förändring och t är tiden.
Om det är förändringen som förändras eller är okänd, dvs a = x, så är det en potensfunktion. Om det är tiden som förändras eller är okänd så är det en exponentialfiunktion.
nti_ma3
X^100=2^100 vad blir det, har tänkt på de länge men kommer inte på hur jag ska räkna ut. .
William
Vad är problemet? Vet du inte vad 2^100 blir eller är det x du inte vet vad är? För om x^100=2^100 så måste ju x vara x=2. Ser du sambandet?
nti_ma3
Hej
Jag har ett stort problem med procent. Jag förstår inte om man har 20%, varför är det 0,8 multipliceras med 10000
har 5%, varför skriver du 9000.1,05. Jag förstår tanken med fomeln men inte exemplar.
mvh
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Det som används vid procenträkning här är det som kallas för förändringsfaktor.
Om något exempelvis kostar 1000 kr och det ökar med 20 % så kan vi beräkna det nya priset med hjälp av förändringsfaktorn 1,2 (ökning på 20%) enligt:
1,2*1000 = 1200 kr.
Om det istället minskar med 20 % så kan får vi det nya priset mha förändringsfaktorn 0,8 (1-0,2) enligt:
0,8*1000=800 kr.
Sofia
Hur löser jag denna uppgiften :
En gitarr kostar 18000 kr i inköp och man beräknar att värdet minskar med 20 % per år. Beräkna värdet med två siffrors noggrannhet.
a) hur lång tid som krävs för att värdet ska minska med 60%
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du vet följande:
Kostnad: 18 000, om den har minskat med 60 % så är den värd 0,4*18 000 = 7200 samt att värdet minskar med förändringsfaktorn 0,8 (minskning 20 % per år). Du kan då ställa upp sambandet:
7200=18000⋅0,8x
Här löser du denna ekvation med hjälp av logaritmer, hoppas att detta hjälper dig vidare!
sheima Hachichi
Hej, i videon står det att det höjs med 12% fast du har skrivit 0,12?
sheima Hachichi
Oj, la in denna kommentar på fel ställe! Men pratar om videon och inte kommentaren ovanför.
Simon Rybrand (Moderator)
Där visar jag hur man kan räkna ut det nya priset på två lika vis. Dels genom
1) 10 000 + 0,12·10 0000 = 10 000 + 1200 = 11 200
och
2) 10 000·1,12 = 11 2000
Det andra sättet är med förändringsfaktor vilket är att föredra. Det går snabbare och det blir enklare vid upprepade procentuella förändringar.
annab87
Enligt min mattebok är 12^x-3 inte en exponentilafunktion medans 5^2*3^x och 2*4^x är det. Har det och göra med att det är ett multiplikationstecken med i funktionen? Jag använder mej utav de nya Origo-böckerna som är helt nya för alla. Så lite småfel i facit är det emellanåt.
Simon Rybrand (Moderator)
Skulle nästan behöva se det framför mig i boken och tyvärr har jag inte tillgång till just denna bok. Hoppas att det ordnar sig ändå.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Anna, om du har en funktion f(x) där variabeln sitter i exponenten så brukar man kalla det för en exponentialfunktion. Så bägge uttrycken ovan skulle jag säga är en exponentialfunktion, hittar du problemet i en uppgift eller här på sajten?
annab87
Varför är 2*4^x en exponentialfunktion men inte 12^x-3? Båda exponenterna är ju okända?
Endast Premium-användare kan kommentera.