00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 1
/  Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

En exponentialfunktion skrivs på formen y=Caxy=C\cdot a^xy=C·ax . Vi har alltså variabeln i  exponenten.

En potensfunktion skrivs istället enligt y=Cxay=Cx^ay=Cxa där variabeln istället befinner sig i basen.

Bägge dessa typer av icke-linjära funktioner skrivs alltså med en term som består av en potens. Du kan avgöra vilken av dessa funktioner det är genom att

  • Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
  • Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

Exponentialfunktioner

En funktion där variabeln återfinns i exponenten kallas för en exponentialfunktion.

Definition

En exponentialfunktion skrivs på formen

y=Caxy=C\cdot a^xy=C·ax

där  CCC och aaa är konstanter och a>0a>0a>0.

Om vi ritar ut en exponentialfunktion så kan den exempelvis se ut på följande vis.

Exponentialfunktion

Notera här att kurvan skär yyy-axeln i y=100y=100y=100, dvs det som benämns konstanten CCC ovan. I det här fallet så är kurvan exponentiellt växande ju större xxx-värde vi har.

Om vi istället har en exponentialfunktion där konstanten a<1a<1a<1 så ser den funktions kurva ut på följande vis.

Avtagande exponentialfunktion

Notera återigen att kurvan skär yyy-axeln i y=100y=100y=100. Den här funktionen avtar istället exponentiellt och funktionsvärdet blir mindre och mindre ju större xxx blir.

Exempel 1

Du sätter in 500050005000 kronor på ett bankkonto med räntan 2,5 %2,5\text{ }\%2,5 % per år.

a) Beskriv hur pengarna växer på kontot med hjälp av en exponentialfunktion.
b) Använd funktionen och bestäm hur mycket pengar du har efter 12 år.

Lösning

a)

Vårt startvärde är 500050005000 kronor.

Räntan är 2,5 %2,5\text{ }\%2,5 % så förändringsfaktorn är 1,0251,0251,025 .

Tiden xxx beskriver antalet år efter att vi satt in pengarna.

Vi kan beskriva hur pengarna yyy kr ökar på kontot med funktionen

y=50001,25xy=5000\cdot1,25^xy=5000·1,25x

b)

För att ta reda på hur mycket pengar vi har efter 121212 år så sätter vi in denna tid i funktionen

y=50001,025126 724 kry=5000\cdot1,025^{12}\approx6\text{ }724\text{ }kry=5000·1,025126 724 kr

Lite längre ner i denna text kan du själv undersöka hur de olika konstanterna påverkar exponentialfunktionens graf.

Potensfunktioner

En funktion där variabeln återfinna i basen kallas för en potensfunktion.

Definition

En potensfunktion skrivs på formen

 y=Cxay=C\cdot x^ay=C·xa 

där  CCC och aaa är konstanter.

I matematik 1 är den framför allt den linjära funktion som tillämpas medan vi in de senare kurserna jobbar med potensfunktioner med högre grad än ett.

Exempel på potensfunktioner kan vara

  •  y=x2y=x^2y=x2 (som är en så kallad andragradsfunktion)
  •  y=x12=xy=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}y=x12 =x
  •  y=x0,0056y=x^{0,0056}y=x0,0056

Exempel 2

Du vill sätta in 10 00010\text{ }00010 000  kronor på ett bankkonto i 10 år. Beskriv hur dina pengar kommer att växa med hjälp av en potensfunktion.

Lösning

Vi antar i detta exempel att räntan är positiv.

Vi kallar förändringsfaktorn för xxx.

Vi kan då skriva funktionen som

y=10 000x10y=10\text{ }000\cdot x^{10}y=10 000·x10  där xxx är förändringsfaktorn.

Tillämpningar av potensfunktioner och exponentialfunktioner

Ofta basera många tillämpningar av dessa funktioner på upprepade procentuella förändringar. Därför är det viktigt att du känner till begreppet förändringsfaktor. De olika variablerna och konstanterna i funktionerna betyder oftast följande:

Exponentialfunktion

yyy  motsvarar funktionsvärdet
CCC motsvarar startvärdet, funktionens värde när  x=0x=0x=0
aaa motsvarar förändringsfaktorn
xxx  motsvarar ofta antalet förändringar

Undersök exponentialfunktionens graf

Undersök grafens utseende genom att dra i reglagen för CCC och aaa.

Hur förändras grafens utseende då CCC ökar eller minskar?

Hur förändras grafens utseende då aaa ökar eller minskar?

Sammanfattningsvis kan vi konstatera att för en exponentialfunktion där både CCC och a>1a>1a>1 motsvarar en graf som är växande. Det innebär att när värdet på xxx ökar, ökar även yyy-värdet. Förändringsfaktorn motsvarar då en procentuell ökning. Väldigt skissartat skulle den kunna se ut på följande vis.

Om däremot CCC är positivt och  0<0<0< a<1a<1a<1  kommer motsvarar en graf som är avtagande. Det innebär att när xxx-värdet ökar, minska yyy-värdet. Förändringsfaktorn motsvarar då en procentuell minskning. Lika skissartat skulle den kunna se ut på följande vis.

Om CCC däremot är ett negativa tal kommer grafen speglas i xxx -axeln.

 Så löser du en exponentialekvation grafiskt

I Matematik 1 använder vi grafisk lösning när vi löser exponentialekvationer. Skriv om ekvationen så att du endast har en konstant i ena ledet. Med hjälp av ett digitalt verktyg kan du skriva in VL och HL som två olika funktioner och därefter använda grafräknarens funktion för att bestämma deras skärningspunkt. Ekvationens lösning motsvaras av skärningspunktens xxx -värdet.

Om du exempelvis vill lösa ekvationen 20 000=15 0001,036x20\text{ }000=15\text{ }000\cdot1,036^x20 000=15 000·1,036x i Geogebra kan vi finna lösningen genom att skriva in VL och HL  som två olika funktioner.

Vi använder verktyget för att bestämma skärningspunkten.

Klicka på ikonen och välj skärningspunkt mellan två objekt.

Klicka sedan på de två graferna till funktionerna och skärningspunkten (8,13416; 20 000)\left(8,13416;\text{ }20\text{ }000\right)(8,13416; 20 000)  anges. 

Det innebär att y=20 000y=20\text{ }000y=20 000 när x=8,13416x=8,13416x=8,13416  vilket därmed motsvarar lösningen till ekvationen.

I matematik 2 lär vi oss om logaritmer för att lösa exponentialekvationer algebraiskt.

Exempel i videon

  • En dator kostar 10 000 kr och priset höjs med 12 %, vilket blir det nya priset?
  • En dator kostar 10 000 kr och priset sänks med 20 %, vilket blir det nya priset?
  • 9000 kr sätts in på banken, ställ upp ett samband för hur värdet på pengarna ökar om räntan är x %.
  • Du sätter in 9000 kr på banken med räntan 5 %, hur mycket pengar har du efter x år?