Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 1
/ Exponentialfunktioner och Potensfunktioner
Exponentialfunktioner och Potensfunktioner
Innehåll
En exponentialfunktion skrivs på formen $y=C\cdot a^x$y=C·ax . Vi har alltså variabeln i exponenten.
En potensfunktion skrivs istället enligt $y=Cx^a$y=Cxa där variabeln istället befinner sig i basen.
Bägge dessa typer av icke-linjära funktioner skrivs alltså med en term som består av en potens. Du kan avgöra vilken av dessa funktioner det är genom att
- Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
- Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.
Exponentialfunktioner
En funktion där variabeln återfinns i exponenten kallas för en exponentialfunktion.
Definition
En exponentialfunktion skrivs på formen
$y=C\cdot a^x$y=C·ax
där $C$C och $a$a är konstanter och $a>0$a>0.
Om vi ritar ut en exponentialfunktion så kan den exempelvis se ut på följande vis.
Notera här att kurvan skär $y$y-axeln i $y=100$y=100, dvs det som benämns konstanten $C$C ovan. I det här fallet så är kurvan exponentiellt växande ju större $x$x-värde vi har.
Om vi istället har en exponentialfunktion där konstanten $a<1$a<1 så ser den funktions kurva ut på följande vis.
Notera återigen att kurvan skär $y$y-axeln i $y=100$y=100. Den här funktionen avtar istället exponentiellt och funktionsvärdet blir mindre och mindre ju större $x$x blir.
Exempel 1
Du sätter in $5000$5000 kronor på ett bankkonto med räntan $2,5\text{ }\%$2,5 % per år.
a) Beskriv hur pengarna växer på kontot med hjälp av en exponentialfunktion.
b) Använd funktionen och bestäm hur mycket pengar du har efter 12 år.
Lösning
a)
Vårt startvärde är $5000$5000 kronor.
Räntan är $2,5\text{ }\%$2,5 % så förändringsfaktorn är $1,025$1,025 .
Tiden $x$x beskriver antalet år efter att vi satt in pengarna.
Vi kan beskriva hur pengarna $y$y kr ökar på kontot med funktionen
$y=5000\cdot1,25^x$y=5000·1,25x
b)
För att ta reda på hur mycket pengar vi har efter $12$12 år så sätter vi in denna tid i funktionen
$y=5000\cdot1,025^{12}\approx6\text{ }724\text{ }kr$y=5000·1,02512≈6 724 kr
Lite längre ner i denna text kan du själv undersöka hur de olika konstanterna påverkar exponentialfunktionens graf.
Potensfunktioner
En funktion där variabeln återfinna i basen kallas för en potensfunktion.
Definition
En potensfunktion skrivs på formen
$y=C\cdot x^a$y=C·xa
där $C$C och $a$a är konstanter.
I matematik 1 är den framför allt den linjära funktion som tillämpas medan vi in de senare kurserna jobbar med potensfunktioner med högre grad än ett.
Exempel på potensfunktioner kan vara
- $y=x^2$y=x2 (som är en så kallad andragradsfunktion)
- $y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$y=x12 =√x
- $y=x^{0,0056}$y=x0,0056
Exempel 2
Du vill sätta in $10\text{ }000$10 000 kronor på ett bankkonto i 10 år. Beskriv hur dina pengar kommer att växa med hjälp av en potensfunktion.
Lösning
Vi antar i detta exempel att räntan är positiv.
Vi kallar förändringsfaktorn för $x$x.
Vi kan då skriva funktionen som
$y=10\text{ }000\cdot x^{10}$y=10 000·x10 där $x$x är förändringsfaktorn.
Tillämpningar av potensfunktioner och exponentialfunktioner
Ofta basera många tillämpningar av dessa funktioner på upprepade procentuella förändringar. Därför är det viktigt att du känner till begreppet förändringsfaktor. De olika variablerna och konstanterna i funktionerna betyder oftast följande:
$y$y motsvarar funktionsvärdet
$C$C motsvarar startvärdet, funktionens värde när $x=0$x=0
$a$a motsvarar förändringsfaktorn
$x$x motsvarar ofta antalet förändringar
Undersök exponentialfunktionens graf
Undersök grafens utseende genom att dra i reglagen för $C$C och $a$a.
Hur förändras grafens utseende då $C$C ökar eller minskar?
Hur förändras grafens utseende då $a$a ökar eller minskar?
Sammanfattningsvis kan vi konstatera att för en exponentialfunktion där både $C$C och $a>1$a>1 motsvarar en graf som är växande. Det innebär att när värdet på $x$x ökar, ökar även $y$y-värdet. Förändringsfaktorn motsvarar då en procentuell ökning. Väldigt skissartat skulle den kunna se ut på följande vis.
Om däremot $C$C är positivt och $0<$0< $a<1$a<1 kommer motsvarar en graf som är avtagande. Det innebär att när $x$x-värdet ökar, minska $y$y-värdet. Förändringsfaktorn motsvarar då en procentuell minskning. Lika skissartat skulle den kunna se ut på följande vis.
Om $C$C däremot är ett negativa tal kommer grafen speglas i $x$x -axeln.
Så löser du en exponentialekvation grafiskt
I Matematik 1 använder vi grafisk lösning när vi löser exponentialekvationer. Skriv om ekvationen så att du endast har en konstant i ena ledet. Med hjälp av ett digitalt verktyg kan du skriva in VL och HL som två olika funktioner och därefter använda grafräknarens funktion för att bestämma deras skärningspunkt. Ekvationens lösning motsvaras av skärningspunktens $x$x -värdet.
Om du exempelvis vill lösa ekvationen $20\text{ }000=15\text{ }000\cdot1,036^x$20 000=15 000·1,036x i Geogebra kan vi finna lösningen genom att skriva in VL och HL som två olika funktioner.
Vi använder verktyget för att bestämma skärningspunkten.
Klicka på ikonen 
och välj skärningspunkt mellan två objekt.
Klicka sedan på de två graferna till funktionerna och skärningspunkten $\left(8,13416;\text{ }20\text{ }000\right)$(8,13416; 20 000) anges.
Det innebär att $y=20\text{ }000$y=20 000 när $x=8,13416$x=8,13416 vilket därmed motsvarar lösningen till ekvationen.
I matematik 2 lär vi oss om logaritmer för att lösa exponentialekvationer algebraiskt.
Exempel i videon
- En dator kostar 10 000 kr och priset höjs med 12 %, vilket blir det nya priset?
- En dator kostar 10 000 kr och priset sänks med 20 %, vilket blir det nya priset?
- 9000 kr sätts in på banken, ställ upp ett samband för hur värdet på pengarna ökar om räntan är x %.
- Du sätter in 9000 kr på banken med räntan 5 %, hur mycket pengar har du efter x år?
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (10)
-
1. Premium
Vilken förändringsfaktor motsvarar en ökning med $1,4\%$1,4% ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
2. Premium
Formeln $y=26\text{ }000\cdot0,75^x$y=26 000·0,75x beskriver värdeförändringen $y$y kronor på en elcykel $x$x år efter inköpet.
Hur stor är värdeminskningen i procent per år?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Förändringsfaktor - År 9Liknande uppgifter: exponentialfunktion förändringsfaktor Funktioner ProcentRättar... -
-
3. Premium
Vilken förändringsfaktor motsvarar en sänkning med $23\text{ }\%$23 % ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
4. Premium
Du har sparat pengar och ska äntligen köpa en digital systemkamera! Den kostar $5999$5999 kr men du har en kupong som ger dig $15\%$15% rabatt.
Vad kommer kameran att kosta efter att man dragit av rabatten?
Avrunda till jämt hundratal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
5. Premium
Vilken av följande matematiska modeller är en potensfunktion?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
6. Premium
Lisa sätter in $5000$5000 kr på ett sparkonto med en fast årlig ränta på $2,1\text{ }\%$2,1 % .
Vilken funktion kan beskriva ökningen av pengar på kontot?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: exponentialfunktion exponentiell ökning exponentiell tillväxt förändringsfaktor modelleringRättar... -
7. Premium
Vilken av följande matematiska modeller är inte en potensfunktion, då $x$x är en oberoende variabel och alla andra variabler motsvarar givna konstanter?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
8. Premium
Du köper en bil för $26\text{ }000$26 000 kr. Vilken matematisk modell ger dig möjlighet att beräkna hur många år det tar innan bilens värde sjunkit till $5000$5000 kr, om värdet beräknas ha en konstant procentuell minskning på $23\%$23% per år?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
9. Premium
Stig har ärvt en del aktier och har försökt sätta upp en matematisk modell som beskriver sambandet mellan aktiens startvärde $C$C, aktiens procentuella förändring per månad, $a$a, antal månader han ägt aktien, $t$t, samt det aktuella värdet på aktien $V(t)$V(t).
Vilken av de matematiska modellerna nedan beskriver ett korrekt samband mellan just dessa variabler?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
10. Premium
Teckna en matematisk modell som beskriver sambandet mellan en akties startvärde $C$C, förändringsfaktorn som motsvarar aktiens procentuella förändring per månad, $a$a, antal månader han ägt aktien, $t$t, samt det aktuella värdet på aktien $V(t)$V(t).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
c-uppgifter (3)
-
11. Premium
Lös ekvationen $x^{\frac{1}{2}}=9$x12 =9
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: PotensekvationerLiknande uppgifter: Matematik 1 nationellt prov Nationellt prov Ma1b vt12 potensekvation potenser ProvRättar... -
-
12. Premium
Freddy sparar pengar för kunna resa efter studenten. Målet är att det ska finnas $15\text{ }000$15 000 kr på kontot om tre år. En fond lovar $2,8\%$2,8% i årlig tillväxt.
Hur mycket pengar behöver sättas in nu på fondkontot, för att det ska finnas ungefär $15\text{ }000$15 000 kr om tre år, om allt sätts in nu på en gång?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Blandade övningar Procent - C och A nivåLiknande uppgifter: Matematik 1 Matematik Högstadiet Procent Procent och problemlösning 2 upprepad förändringRättar... -
13. Premium
Studera följande tre fall. Vilket av fallen kan matematiskt beskrivas med en exponentialfunktion?
(Skriv gärna först upp en matematisk modell för vart och en av fallen när du läser igenom dem.)Fall 1: Ann vill beräkna $t$t stycken tröjors totala kostnad, $y$y kr, efter att en rabatt på $x\%$x% har dragits av från det ursprungliga priset $C$C kr. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den totala kostnaden y kr.
Fall 2: Zoe vill beräkna hur lång tid, $t$t timmar, det tar innan kaffet har temperaturen $y°C$y°C om temperaturen förändras med förändringsfaktorn $x$x varje timme och hade starttemperaturen $C\text{ }°C$C °C. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna antalet timmar innan temperaturen är $y\text{ }°C$y °C.
Fall 3: Max vill beräkna förändringsfaktorn $x$x som motsvarar den konstanta procentuella ökning som hans aktier behöver hålla för att han ska ha dubblat sin insats $C$C kronor efter $t$t månader. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den procentuella ökningen.
Träna även på att motivera ditt svar.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
a-uppgifter (2)
-
14. Premium
Antal besökare på en hemsida ökar procentuellt lika mycket varje år, två år i rad. Bestäm den årliga ökningen i procent då den totala ökningen är $37$37 % under tvåårsperioden.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: exponentialfunktioner nationellt prov Nationellt prov Ma1c vt12 potensfunktioner ProvRättar... -
-
15. Premium
En grupp forskare studerar en särskild bakterieodling. De har upptäckt att den hela tiden ökar med lika många procent.
Hur lång tid tar det innan odlingen har uppnått den mängd bakterier, som är en miljard gånger fler än den ursprungliga, om det under de tre första dygnen blivit tusen gånger fler bakterier, än vid starten av mätningarna?
Svara i antal hela dygn.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Exponentialfunktioner och PotensfunktionerLiknande uppgifter: exponentialfunktion förändringsfaktor upprepad procentuell förändringRättar... -
Leo Lisinski
Hej! Jag har en fundering kring uppgift 5:
”Vilken av följande matematiska modeller är en potensfunktion?”
Rätt svar enligt facit är
f(x) = 8x^2 + 3x
Men enligt åtminstone vissa definitioner är potensfunktioner endast av en term,
som ni själva skriver i genomgången: y = k·x^n
Jag skulle rekommendera att byta ut det korrekta alternativet mot tex
f(x) = 5·x^(1/3)
Tack för en bra hemsida! Mvh Leo
Simon Rybrand (Moderator)
Vi kikar på detta, tack för feedback!
Hanna Henriksson
Hej! Tack för en jättebra sida, pedagogiskt och tydligt! Undrar om du skulle vilja hjälpa mig med att förklara hur man kommer framtill potensekvationen y=t*C(100-x)/100, förstår den inte riktigt (fall 1 i uppgift 8), tack på förhand! / Hanna
Lovisa Ehrenborg
Fråga 4: Svarade f(x)=8×2+3x. Får fel. I svaret står det att jag svarat rätt.
Fråga 8:
Fall 1 Står att rabatten är x % ej att förändringsfaktorn är x.
Fall 2 Står att temperaturen sjunker med x °C i timmen. Dvs linjärt ej exponentiellt med förändringsfaktor x.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tack för att du påpekade detta, vi fixar till det!
Jane_Ch
Ett företag omsätter 5000000 kr/år. Med en nyanställd i företaget är ägares mål att omsättning ska fördubblas på tre år. Med hur många procent måste då omsättningen i genomsnitt öka varje år?
Simon Rybrand (Moderator)
Du kan ställa upp följande potensekvation:
$ 5000000⋅x^3 = 10000000 $
där $x$ är förändringsfaktorn. När du löser detta så kommer du att få hur mycket omsättningen skall öka per år för att målet skall nås.
Amanda
Hej!
Jag undrar hur man vet om man ska använda en exponentialfunktion eller en potensfunktion när man löser en uppgift?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Ett ganska praktiskt sätt att se detta på är att utgå ifrån
$ y = Ca^t $
där C är startvärd, a procentuell förändring och t är tiden.
Om det är förändringen som förändras eller är okänd, dvs a = x, så är det en potensfunktion. Om det är tiden som förändras eller är okänd så är det en exponentialfiunktion.
nti_ma3
X^100=2^100 vad blir det, har tänkt på de länge men kommer inte på hur jag ska räkna ut. .
William
Vad är problemet? Vet du inte vad 2^100 blir eller är det x du inte vet vad är? För om x^100=2^100 så måste ju x vara x=2. Ser du sambandet?
nti_ma3
Hej
Jag har ett stort problem med procent. Jag förstår inte om man har 20%, varför är det 0,8 multipliceras med 10000
har 5%, varför skriver du 9000.1,05. Jag förstår tanken med fomeln men inte exemplar.
mvh
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Det som används vid procenträkning här är det som kallas för förändringsfaktor.
Om något exempelvis kostar 1000 kr och det ökar med 20 % så kan vi beräkna det nya priset med hjälp av förändringsfaktorn 1,2 (ökning på 20%) enligt:
1,2*1000 = 1200 kr.
Om det istället minskar med 20 % så kan får vi det nya priset mha förändringsfaktorn 0,8 (1-0,2) enligt:
0,8*1000=800 kr.
Sofia
Hur löser jag denna uppgiften :
En gitarr kostar 18000 kr i inköp och man beräknar att värdet minskar med 20 % per år. Beräkna värdet med två siffrors noggrannhet.
a) hur lång tid som krävs för att värdet ska minska med 60%
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du vet följande:
Kostnad: 18 000, om den har minskat med 60 % så är den värd 0,4*18 000 = 7200 samt att värdet minskar med förändringsfaktorn 0,8 (minskning 20 % per år). Du kan då ställa upp sambandet:
$ 7200 = 18000 \cdot 0,8^x $
Här löser du denna ekvation med hjälp av logaritmer, hoppas att detta hjälper dig vidare!
sheima Hachichi
Hej, i videon står det att det höjs med 12% fast du har skrivit 0,12?
sheima Hachichi
Oj, la in denna kommentar på fel ställe! Men pratar om videon och inte kommentaren ovanför.
Simon Rybrand (Moderator)
Där visar jag hur man kan räkna ut det nya priset på två lika vis. Dels genom
1) 10 000 + 0,12·10 0000 = 10 000 + 1200 = 11 200
och
2) 10 000·1,12 = 11 2000
Det andra sättet är med förändringsfaktor vilket är att föredra. Det går snabbare och det blir enklare vid upprepade procentuella förändringar.
annab87
Enligt min mattebok är 12^x-3 inte en exponentilafunktion medans 5^2*3^x och 2*4^x är det. Har det och göra med att det är ett multiplikationstecken med i funktionen? Jag använder mej utav de nya Origo-böckerna som är helt nya för alla. Så lite småfel i facit är det emellanåt.
Simon Rybrand (Moderator)
Skulle nästan behöva se det framför mig i boken och tyvärr har jag inte tillgång till just denna bok. Hoppas att det ordnar sig ändå.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Anna, om du har en funktion f(x) där variabeln sitter i exponenten så brukar man kalla det för en exponentialfunktion. Så bägge uttrycken ovan skulle jag säga är en exponentialfunktion, hittar du problemet i en uppgift eller här på sajten?
annab87
Varför är 2*4^x en exponentialfunktion men inte 12^x-3? Båda exponenterna är ju okända?
Endast Premium-användare kan kommentera.