Linjära ekvationssystem med tre obekanta

Exempel 1

Lös ekvationssystemet

$ \begin{cases} x+2y+2z = 2 \quad (1) \\ x-2y-z = 3 \quad (2) \\ 2x – 2y + 2z = 8 \quad (3) \end{cases} $

Lösning

Vi använder ekvation (3) och löser ut $x$x ur denna ekvation.

 $2x-2y+2z=8$2x−2y+2z=8 Dela med 2
 $x-y+z=4$x−y+z=4 Addera med y och subtrahera med z
 $x=4+y-z$x=4+y−z 

Nu sätter vi $x=4+y-z$x=4+y−z i ekvation (1) och ekvation (2)

Ekvation (1)
 $x+2y+2z=2$x+2y+2z=2 Substituera
$\left(4+y-z\right)+2y+2z=2$(4+y−z)+2y+2z=2 Förenkla VL
$4+3y+z=2$4+3y+z=2 Subtrahera med 4
$3y+z=-2$3y+z=−2 

Ekvation (2)
$x-2y-z=3$x−2y−z=3 Substituera
$\left(4+y-z\right)-2y-z=3$(4+y−z)−2y−z=3 Förenkla VL
$4-y-2z=3$4−y−2z=3 Subtrahera med 4
$-y-2z=-1$−y−2z=−1

Nu har vi två nya ekvationer som kan användas för ett nytt ekvationssystem.

$ \begin{cases} 3y+z=-2 \quad (A) \\ -y-2z=-1 \quad (B) \end{cases} $

Vi löser ekvationssystemet med additionsmetoden. För att göra det så multiplicerar vi först ekvation (A) med $2$2 för att få de motsatta talen/termerna $2z$2z och $-2z$−2z. När vi har multiplicerat (A) med två så får vi ekvationssystemet.

$ \begin{cases} 6y+2z=-4 \\ -y-2z=-3 \end{cases} $

Nu adderar vi ekvationerna

 (6y+2z=-4)
+ ( -y-2z=-1)
——————
6y+2z-y-2z=-4-1

Nu elimineras $z$z och vi får
 $6y-y=-4-1$6y−y=−4−1 Förenkla
 $5y=-5$5y=−5
 $y=-1$y=−1 

Nu har vi $y=-1$y=−1 och kan sätta in detta i  $3y+z=-2$3y+z=−2  (A) för att ta reda på $z$z. Vi får då

$-3+z=-2$−3+z=−2 
$z=1$z=1 

Slutligen kan vi sätta in $y$y och $z$z i ekvation $x+2y+2z=2$x+2y+2z=2  (1) för att lösa ut $x$x. Då får vi

 $x-2+2=2$x−2+2=2
 $x=2$x=2 

Vi har nu hela lösningen som är
$\begin{cases} x = 2 \\ y=-1 \\ z= 1 \end{cases}$