Nationellt Prov Matematik 1b vt 2022 DEL C

För att konstruera ett mönster som liknar snöflingor kan man göra som den svenska matematikern Helge von Koch.
Utgå från en liksidig triangel med sidan 3, se bild.

Dela in varje sida i den ursprungliga triangeln i tre lika långa sträckor.
Den mittersta sträckan utgör nu sidan i en ny liksidig triangel.
En ny figur med större omkrets har nu bildats, figur 1.
Upprepa proceduren för att skapa nästa figur, figur 2.

a) Den ursprungliga triangeln har omkretsen $9$9.
     Beräkna omkretsen för figur 1.

b) Beräkna omkretsen för figur 2.

c) Omkretsen ökar för varje figur.
    Beräkna förändringsfaktorn från figur 1 till figur 2.

d) Omkretsen ökar exponentiellt för varje figur.
     Skriv en exakt formel för omkretsen $O$O för figur $n$n.

e) Vilket nummer har den figur som har omkretsen $\frac{2^{16}}{3^6}$2¹⁶3⁶  ?

Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $\left(2,\text{ }10\right)$(2, 10) och $\left(12,\text{ }30\right)$(12, 30).

Utgå från uttrycket $3(x+4)-(8+x)$3(x+4)−(8+x) 
Bestäm $x$x så att uttryckets värde blir $3$3. 

Lös ekvationen $\left(2x-5\right)\left(x+3\right)=2x^2-9$(2x−5)(x+3)=2x²−9 

Ali går på naturbruksprogrammet och ska markera ett $20$20 m$^2$² stort område att odla på. Området ska ha formen av en triangel med basen $b$b meter och höjden $h$h meter. Ali vill undersöka hur området kan se ut.

a) Bestäm en funktion för hur basen $b$b beror av höjden $h$h för Alis område.

b) Bestäm definitionsmängden för funktionen om $b$b ska vara minst $1$1 m lång.