Nationellt prov Matematik 3b ht 2015 del D

Miriam har födelsedag den 1 januari. På varje födelsedag sätter hennes farmor in $1\text{ }000$1 000 kr på Miriams fondkonto. Anta att den årliga procentuella värdeökningen på fondkontot är $6\text{ }\%$6 %.

Bestäm hur många insättningar farmor behöver göra för att Miriam ska ha minst $30\text{ }000$30 000 kr på sitt konto precis efter den sista insättningen.

Bortse från skatteeffekter.

För funktionen  $f$ƒ   gäller att  $f´\left(x\right)=4x^3$ƒ ´(x)=4x³ 
Bestäm $f\left(x\right)$ƒ (x) så att  $f\left(5\right)=282$ƒ (5)=282 

För funktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=4x^2-x^4+A$ƒ (x)=4x²−x⁴+A där $A$A är en konstant. Figuren visar grafen till funktionen  $f$ƒ   då  $A=0$A=0.

a) Sabina påstår:

– Funktionen har alltid tre extrempunkter oavsett värde på konstanten $A$A.

Har Sabina rätt? Motivera ditt svar.

b) Sabina undersöker $f\left(x\right)=4x^2-x^4$ƒ (x)=4x²−x⁴  och påstår:

– Andraderivatan för $f\left(x\right)=4x^2-x^4$ƒ (‍x)=4x²−x⁴  är mindre än $10$10 för alla $x$x.

Har Sabina rätt? Motivera ditt svar.

Föreningen Lyckans IF vill göra en prognos över antalet medlemmar för de kommande åren. Efter att ha studerat medlemsantalet under de senaste åren ställer de upp modellen 
 $f\left(t\right)=1250e^{0,012\cdot t}$ƒ (t)=1250e^0,012·t 
där  $f\left(t\right)$ƒ (t)  är antalet medlemmar och  $t$t  är tiden i år efter 1 januari år 2010.

a) Bestäm vilket år föreningen har  $2000$2000 medlemmar enligt modellen.

b) Bestäm hur snabbt antalet medlemmar ökar 1 januari år 2030 enligt modellen.

Det finns även andra modeller som beskriver antalet medlemmar som funktion av tiden. En sådan modell är

 $g\left(t\right)=1250+16t$g(t)=1250+16t 

där  $g\left(t\right)$g(t) är antalet medlemmar och $t$t är tiden i år efter 1 januari år 2010.

Lyckans IF vill undersöka hur prognosen för antalet medlemmar beror av vilken modell de använder. De tänker därför undersöka skillnaden i antalet medlemmar mellan de båda modellerna med hjälp av en ny funktion.

c) Ställ upp den nya funktionen och använd den för att bestämma för vilket värde på $t$t som skillnaden i antalet medlemmar är som störst i intervallet  $0\le$0≤ $t\le15$t≤15.

Peder ritar upp grafen till $f\left(x\right)=x^3+0,03x+1$ƒ (x)=x³+0,03x+1 på sin grafritande räknare och säger:

−Jag ser att grafen har en terrasspunkt.

Undersök om han har rätt.

Ellen och David har startat ett UF-företag och tänker tillverka och sälja två olika sorters tvålar. Den ena tvålen ska vara röd och hjärtformad och den andra ska vara rosa och rund.

Tvålarna ska tillverkas av tvålmassa, torkade rosenblad och röd tvålfärg.
Ellen och David har $10\text{ }000$10 000 g tvålmassa, $100$100 g torkade rosenblad och $40$40 g röd tvålfärg. Nedan visas hur mycket tvålmassa, torkade rosenblad och tvålfärg som de har totalt och som behövs för att tillverka en tvål av varje sort.

De har räknat ut att de tjänar $15$15 kr för varje hjärtformad tvål och $10$10 kr för varje rund tvål. Ellen och David förutsätter att alla tvålar de tillverkar blir sålda.

Anta att de tillverkar $x$x hjärtformade tvålar och $y$y runda tvålar. Bestäm hur många tvålar av varje sort som de ska sälja för att tjäna så mycket pengar som möjligt.

Figuren visar grafen till funktionen  $f$ƒ .

Utgå från figuren och förklara varför funktionens andraderivata är negativ i maximipunkten där $x=a$x=a.

Michel har glömt sin miniräknare och ska beräkna den geometriska summan

 $S_{10}=1+309+27+…+19\text{ }683$S₁₀=1+309+27+…+19 683 

Nedan visas hans korrekta beräkningar.

Bevisa att $S_n=$S_n=$\frac{a_1(k^n-1)}{k-1}$a₁(kⁿ−1)k−1   

för den geometriska summan  $S_n=a+ak+ak^2+ak^3+…+ak^{n-1}$S_n=a+ak+ak²+ak³+…+akⁿ⁻¹ 

Utgå från Michels beräkningar som hjälp för att genomföra beviset.

Amira ska tillverka fågelbad i betong. Fågelbaden består av fyra sidor som ska sättas fast på en rektangulär bottenplatta. Hon vill att fågelbaden ska ha en tillräckligt stor bottenyta och att kanterna inte ska vara för höga. Hon ställer därför upp följande villkor:

• Djupet, från överkanten till bottenplattan, ska vara $8$8 cm.
• Bottenplattan ska ha en tjocklek på $4$4 cm.

Se figur 1.

• En av sidorna ska ha en tjocklek på $6$6 cm.
• Tre av sidorna ska ha en tjocklek på $4$4 cm.
• Bottenytan, det vill säga ytan inuti fågelbaden, ska ha arean $900$900 cm$^2$².

Se figur 2.

Amira vill använda så lite betong som möjligt och tänker därför räkna ut hur mycket betong som behövs till varje fågelbad. Hon antar att bottenytan har en sida som är $x$x cm lång. Se figurerna ovan.

Ställ upp en funktion som anger volymen betong som funktion av $x$x. Utgå sedan från din funktion och bestäm den minsta volym betong som Amira behöver till varje fågelbad.