Primtal och delbarhet

Ett sätt att förstå primtalen är att tänka dem som matematikens legobitar. En erfaren legobyggare ser sin konstruktion som en sammansättning av olika bitar. Genom att kombinera bitarna på olika sätt kan man bygga hur stora modeller som helst. Och man kan alltid plocka isär modellen i sina beståndsdelar igen.

På liknande sätt ser en matematiker talet $30$ som en produkt av en tvåa, en trea och en femma:

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal, där primtalen är de sammansatta talens minsta beståndsdelar. De sammansatta talen byggs upp av primtalsfaktorer.

Notera att $1$ inte är ett primtal.

Ett primtal måste alltid ha exakt två delare, sig själv och $1$1. Varken fler eller färre.

Primtalen har fascinerat matematiker i många hundra år. Den grekiske matematikern Euklides (född 325 f.Kr.) visade att det finns oändligt många primtal. Trots detta följer primtalen inget tydligt mönster på tallinjen, vilket gör dem svåra att förutsäga. Den oregelbundenheten gör primtalen användbara inom exempelvis kryptering av datatrafik.

Här följer alla primtal mellan $1$ och $100$:

$2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,$
$41,\,43,\,47,\,53,\,59,\,61,\,67,\,71,\,73,\,79,\,83,\,89,\,97$

Men det finns oändligt många fler.

Alla positiva heltal större än $1$ är alltså antingen ett primtal eller ett sammansatt tal.

När man faktoriserar ett tal delar man upp det i faktorer. Om man fortsätter tills alla faktorer är primtal kallas det primtalsfaktorisering.

Exempelvis är $12 = 2 \cdot 6$, men eftersom $6$ inte är ett primtal fortsätter vi dela upp även talet $6$6 i faktorer:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.

Nu är alla faktorer primtal. Vi har primtalsfaktoriserat talet $12$12.

Till hjälp för att primtalsfaktorisera kan så kallade faktorträd användas. Man delar steg för steg upp ett tal i mindre faktorer tills det endast består av primtal.

Begreppet delbarhet innebär att kvoten man får när man dividerar två heltal också är ett heltal.

Exempelvis delar talet $2$ talet $28$ eftersom $\dfrac{28}{2} = 14$, vilket är ett heltal. Vi skriver $2 \mid 28$.

Alla primtal är bara delbara med $1$ och sig själva. Sammansatta tal är dessutom delbara med sina primtalsfaktorer och alla möjliga kombinationer av dem.

Exempelvis är $12$ delbart med $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ och $12$.

Detta beror på att talet $6$ är ett så kallat sammansatt tal av primtalsfaktorerna $12=2\cdot2\cdot3$12=2·2·3.

Talet $12$12 är inte bara delbart med med sig själv och talet $1$1, utan även med talets primtalsfaktorer $2$2 och $3$3 och alla möjlig kombinationer av dem. Alltså $2\cdot2=4$2·2=4,  $2\cdot3=6$2·3=6 

När man primtalsfaktoriserar underlättar det att känna till några enkla delbarhetsregler.

Siffersumman är det tal man får när man adderar siffrorna i talet med varandra. T. ex. har talet $314$314 siffersumman  $3+1+4=8$3+1+4=8.

Du hittar du fler delbarhetsregler sist i lektionen.

Nedan kan du med hjälp av ”Eratosthenes såll” leta primtal. Det är en algoritm, som ungefär är samma sak som en metod, som uppfanns av den
grekiske matematikern Eratosthenes för att lista alla primtal upp till ett valfritt tal.

Så här fungerar Eratosthenes såll.

Gör en lista på alla tal från $2$ till ett tal du väljer, vi kallar det för $n$.
Ta bort alla jämna tal från listan som är större än $2$.
Det första talet i listan är nu ett primtal, nämligen $3$.
Behåll talet men ta bort alla andra tal som är delbara med det primtalet.
Upprepa steg $3$ och $4$ tills du har nått ett tal som är större än $\sqrt{n}$.
De tal som blir kvar i listan är primtal.

Detta är inget du behöver kunna göra på egen hand i denna kurs.

Delbarhet och primtalsfaktorisering är verktyg du kommer att ha stor användning av ju längre du kommer i matematiken. De gör det
lättare att arbeta med bråk, stora tal och mycket annat framöver.