Matematik 2b

Algebra
Linjära ekvationssystem
Andragradsekvationer
Andragradsfunktioner
Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner
Statistik
Geometri
Sammanfattning begrepp och formler Matematik 2
Genomgångar nationella prov
Nationellt prov Ma2b VT 2022
- NP Ma2b vt 2022 Delprov B och C
- NP Ma2b vt 2022 Delprov D
Nationellt prov Ma2b VT 2016
- NP Ma2b vt 2016 Delprov B och C
- NP Ma2b vt 2016 Delprov D
Nationellt prov Ma2b HT 2015
- NP Ma2b ht 2015 Delprov B och C
- NP Ma2b ht 2015 Delprov D
Nationellt prov Ma2b VT 2015
- NP Ma2b vt 2015 Delprov B och C
- NP Ma2b vt 2015 Delprov D
Nationellt prov Ma2b HT 2014
- NP Ma2b ht 2014 Delpro B och C
- NP Ma2b ht 2014 Delprov D
Nationellt prov Ma2b VT 2014
- NP Ma2b vt 2014 Delprov B och C
- NP Ma2b vt 2014 Delprov D
Nationellt prov Ma2b HT 2013
- NP Ma2b ht 2013 Delprov B och C
- NP Ma2b ht 2013 Delprov D
Nationellt prov Ma2b VT 2013
Nationellt prov Ma2b HT 2012
Nationellt prov Ma2a VT 2012

Mina Kursgrupper
MV Kurser

00:00

Dela

/ Andragradsfunktioner

Andragradsfunktioner

Problemlösning Andragradsfunktioner

Name: Problemlösning Andragradsfunktioner - (Matte 2) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 4.12 (17 reviews)

Författare:Simon Rybrand

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Vertex avslöjar största och minsta värdet
Formler som används i uppgifter med andragradsfunktioner
Vilka punkter tillhör funktionen?
Vad säger funktionsuttrycket om grafen?
Hur påverkar koefficienten framför x² parabelns utseende?
Hur påverkar koefficienten framför x parabelns utseende?
Hur påverkar konstanttermen parabelns utseende?
Ta fram ”särskilda punkter”
Exempel i videon
Kommentarer

Vertex avslöjar största och minsta värdet

Med hjälp av symmetrilinjen kan man bestämma en parabels största eller minsta värde. Symmetrilinjen går nämligen alltid genom vertex, det vill säga minimi- eller maximipunkten.

Vertex koordinater är alltid $\left(x_s,\text{ }f\left(x_s\right)\right)$ (x_s, ƒ (x_s)) där $x_s$ x_s är symmetrilinjens ekvation.

Funktionsvärdet motsvarar alltid $y$ y -koordinaten i en punkt. Genom vertex går symmetrilinjen. Den ligger mittemellan två punkter på grafen med samma $y$ y -värde, tex funktionens nollställen.

Formler som används i uppgifter med andragradsfunktioner

Andragradsekvation

$ax^2+bx+c=0$

där $a,b,c$ är konstanter och $a≠0$

Löses med pq och med nollproduktmetoden om $c=0$ c=0 och kvadratrotsmetoden om $b=0$ b=0.

Symmetrilinjens ekvation

Symmetrilinjen, den linje som går mittemellan två lika y-värden, kan beräknas på två sätt.

$x_{sym}=$ x_sym= $\frac{x_1+x_2}{2}$ x₁+x₂2 , där $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ ƒ (x₁)=ƒ (x₂)

eller

$x_{sym}=$ x_sym= $-\frac{p}{2}$ −p2 där $p$ p hänvisar till pq-fomeln

Formel från nollställen och punkt

Om vi känner till två nollställen och en punkt på grafen kan vi ta fram andragradsfunktionens formel. Vi utgår då från att vi kan skriva andragradsfunktionens formel som

$f\left(x\right)=k\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ ƒ (x)=k(x−x₁)(x−x₂)

där $x_1$ x₁ och $x_2$ x₂ är nollställenas x-värden. Konstanten $k$ k styr grafens böjning.

Vilka punkter tillhör funktionen?

En punkt som ligger på grafen till en funktion kommer alltid uppfylla likheten mellan $f\left(x\right)$ ƒ (x) och funtkionsuttrycket. Sätter du in koordinaterna till en punkt i funktionsuttrycket och $VL\ne HL$ VL≠HL tillhör inte punkten funktionen.

Exempel 1

a) Tillhör punkten $\left(2,\text{ }6\right)$ (2, 6) grafen till funktionen $f\left(x\right)=x^2+4x-6$ ƒ (x)=x²+4x−6?

b) Tillhör punkten $\left(1,\text{ }4\right)$ (1, 4) grafen till funktionen $f\left(x\right)=x^2+4x-6$ ƒ (x)=x²+4x−6?

Lösning

a) Vi sätter in $x=2$ x=2 i funktionsuttrycket och beräknar värdet för att se om vi får en likhet.

$VL=f\left(2\right)=2^2+4\cdot2-6=6$ VL=ƒ (2)=2²+4·2−6=6

$HL=6$ HL=6

Vi ser att $VL\ne HL$ VL≠HL vilket innebär att punkten $\left(2,\text{ }6\right)$ (2, 6) ligger på grafen till $f.$ ƒ .

b) Vi sätter in $x=1$ x=1 i funktionsuttrycket och beräknar värdet för att se om vi får en likhet.

$VL=f\left(1\right)=1^2+4\cdot1-6=-1$ VL=ƒ (1)=1²+4·1−6=−1

$HL=4$ HL=4

Vi ser att $VL=HL$ VL=HL vilket innebär att punkten $\left(2,\text{ }6\right)$ (2, 6) inte ligger på grafen till $f.$ ƒ .

Vi kan även använda likheten för att bestämma okända värden.

Exempel 2

Punkten $P\left(a,-1\right)$ P(a,−1) ligger på grafen som tillhör $f\left(x\right)=x^2+4x-6$ ƒ (x)=x²+4x−6 . Bestäm $a$ a.

Lösning

Punkten $P=\left(a,\text{ }-1\right)$ P=(a, −1) har $x$ x -koordinaten $x=a$ x=a och $y$ y -koordinaten $y=-1$ y=−1 och vi får att $f\left(a\right)=-1$ ƒ (a)=−1. Vi sätter in dessa värden i funktionsuttrycket för att lösa ut $a$ a.

$f\left(x\right)=x^2+4x-6$ ƒ (x)=x²+4x−6 och $f\left(a\right)=-1$ ƒ (a)=−1 ger att

$-1=a^2+4a-6$ −1=a²+4a−6

$0=a^2+4a-5$ 0=a²+4a−5

$a_{1,2}=-2\pm\sqrt{2^2+5}$ a_1,2=−2±√2²+5

$a_{1,2}=-2\pm\sqrt{9}$ a_1,2=−2±√9

$a_{1,2}=-2\pm3$ a_1,2=−2±3

$a_1=1$ a₁=1 och $a_2=-5$ a₂=−5

Vi skulle även kunna lösa denna uppgift grafiskt genom att rita upp grafen till funktionen och läsa av vart $f\left(x\right)=-1$ ƒ (x)=−1.

Du kan alltid bestämma ett funktionsvärde genom att att sätta in ett $x$ x -värde som tillhör definitionsmängden. På så sätt får du koordinaterna till en punkt på grafen till funktionen.

Exempel 3

Bestäm en punkt som tillhör funktionen $f\left(x\right)=x^2+4x-6$ ƒ (x)=x²+4x−6

Lösning

Genom att välja ett $x$ x värde kan vi beräkna ett tillhörande $y$ y -värde.

Vi väljer $x=1$ x=1, men kan välja vilket annat värde som helst.

$f\left(1\right)=1^2+4\cdot1-6=-1$ ƒ (1)=1²+4·1−6=−1

Detta ger att punkten $P=\left(1,-1\right)$ P=(1,−1) ligger på grafen som tillhör funktionen.

Vad säger funktionsuttrycket om grafen?

Genom att förändra koefficienterna och konstanten i andragradsfunktionens funktionsuttryck så ändras parabelns utseende.

En andragradsfunktion skrivs i allmänform som $ax^2+bx+c=0$ ax²+bx+c=0 där konstanterna $a,\text{ }b$ a, b och $c$ c påverkar grafens utseende enligt nedan.

$a$ a avgör om parabeln är positiv eller negativ, bred eller smal.

$b$ b förskjuter parabeln i höjd- och sidled.

$c$ c förskjuter parabeln enbart i höjdled.

Återvänd till den interaktiv övningen för att själv undersöka grafens utseende.

Nedan går vi igen lite mer noggrant hur konstanterna påverkar grafen.

Hur påverkar koefficienten framför x² parabelns utseende?

För att en parabel ska ha en minimipunkt, måste andragradstermens koefficient vara positiv.
För att en parabel ska ha en maximipunkt, måste andragradstermens koefficient vara negativ.

Koefficientens storlek avgör hur vid eller smal parabeln är. Ju större tal, ju smalare.

Parabeln $f(x)=ax^2$ ƒ (x)=ax² har sitt vertex i origo. Den är varken förskjuten i sidled eller höjdled.

Hur påverkar koefficienten framför x parabelns utseende?

Förstagradstermen påverkar grafen genom att förskjuta den i sidled. Det räcket oftast att känna till det. Det är nämligen inget helt enkelt rörelsemönster grafen följer när det gäller förstagradstermen. Ta gärna hjälp av visualiseringsverktyget. Grafen rör sig utifrån vertex i ett bågformat mönster. Som ett U, då parabeln är negativ och koefficienten blir större och större. Och som en regnbåge, då parabeln är negativ och koefficienten ökar i värde.

Hur påverkar konstanttermen parabelns utseende?

Konstanttermen förskjuter funktionen i höjdled. En positiv konstantterm förskjuter parabeln rakt uppåt. En negativ rakt nedåt. Båda i lika många steg som konstantens värde.

Ta fram ”särskilda punkter”

När du jobbar med funktioner är det särskilda punkter på grafen som är lite extra intressanta. Dessa kan du be GeoGebra ta fram till dig för en funktion. Till exempel nollställen, största värde och skärningspunkten med $y$ y-axeln.

Exempel 4

Ta hjälp av GeoGebra för att ange nollställen, största värde och skärningspunkten med $y$ y-axeln till funktionen $f\left(x\right)=-2x^2-8x+10$ ƒ (x)=−2x²−8x+10.

Lösning

Vi skriver in funtkionsuttrycket $f\left(x\right)=-2x^2-8x+10$ ƒ (x)=−2x²−8x+10 i inmatningsfältet.

Genom att klicka på de tre punkterna efter funktionsuttrycket i inmatningsfältet kan vi ta hjälp av GeoGebra för att bestämma dessa olika punkter.

Vi kan nu läsa av värdena.

Funktionens nollställen är där grafen skär $x$ x -axeln och anges som Rot(f) i GeoGebra, till $x=-5$ x=−5 och $x=2$ x=2 .
Funktionens största värde, vilket är extrempunkten, är $y=18$ y=18
Skärningspunkten med $y$ y-axeln, vilket också ges av konstanten i funktionsuttrycket, är $\left(0,\text{ }10\right)$ (0, 10).

Exempel i videon

Eventföretaget Singadanso AB har märkt att intäkterna för en show beror på vilket pris dom sätter på biljetterna. Dom beskriver intäkterna I(x), där x är biljettpriset, med följande funktion:
$I\left(x\right)=80x-0,1x^2$ I(x)=80x−0,1x²
Hjälp företaget att bestämma pris per biljett så att intäkterna blir så höga som möjligt.
En andragradsfunktion har nollställen i $x=-5$ x=−5 och $x=6$ x=6 och går genom punkten $\left(-1,150\right)$ (−1,150). Bestäm funktionens uttryck (formel).
En andragradsfunktion $x^2-\left(a+1\right)x-\left(3+b\right)=0$ x²−(a+1)x−(3+b)=0 har lösningarna $x_1=-1\text{ och }x_2=4$ x₁=−1 och x₂=4 .
Bestäm konstanterna $a\text{ och }b$ a och b .

Nästa lektion: Kapiteltest – Andragradsfunktioner Ma2b

Kommentarer

Nina Andersson

2023-01-13

Hej,
Uppgift 25, jag har svårt att få ihop första meningarna i förklaringen till denna uppgift , vilken figur med blå och röd graf är det man ska se? som har gradering utmärkt på sina axlar så man kan läsa av värden?

mvh
(förvirrad) Nina

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2023-01-18

Hej Nina,

jag har försökt justera och förtydliga förklaringen. Hoppas det går att hänga med bättre nu.

Uppgiften är en b)-uppgift från ett tidigare utgiven Nationellt prov-uppgift och bygger vidare på en tidigare uppgift i lektionen som utgör a)-uppgiften. Hör av dig om det fortfarande är oklart.

Klara

2020-01-10

Hej Anna oct tack för utförligt svar!
Dock hade jag råkat skriva fel uppgiftsnummer och menade fråga 6 och inte fråga 5. Men jag såg nu vad jag gjort för fel på fråga 6!
Tack ändå

Klara Österberg

2019-12-04

I fråga 5 får jag ut att funktionens formel är f(x)=x^2 -2x -24. Dvs att andragradstermen är positiv och därför har en minimipunkt och minsta värdet x=1. I uppgiften har funktionen sitt största x-värde för 1. Har jag räknat ut funktionen fel? Kan ni beskriva hur jag kan räkna ut den? Tack!

Anna Admin (Moderator)

2019-12-06

Hej Klara,
om du läser av i grafen ser du att minsta värdet för funktionen är $x=-1$ . Enligt ditt förslag skulle grafen skära $y$ -axeln i $y=-24$ eftersom att det motsvarar konstanten i ditt funktionsuttryck. I figuren ser vi att grafen skär i origo vilket ger att konstanttermen måste vara lika med noll.

Som du ser i förklaringen till denna uppgift så behöver du inte ta fram funktionsuttrycket utan kan läsa av funktionens värde direkt i grafen.

Skulle du ändå vilja bestämma funktionsuttrycket så kan du använda dig av nollställena och får att
$f(x)=a(x-(-2))(x-0)=ax(x+2)=ax^2+2ax$

För att bestämma värdet på $a$ sätter du in en punkt på grafen. Till exempel $(1,3)$ . Vi får då att

$3=a\cdot 1^2+2\cdot a \cdot 1$
$3=a+2a$
$3=3a$
$a=1$

vilket ger oss funktionsuttrycket $f(x)=x^2+2x$

Kolla denna video om du är osäker på vad som hände här ovan Ange andragradsfunktionen utifrån nollställen och en punkt.

Vi kan då beräkna $f(-2)$ och $f(1)$ som
$f(-2)=(-2)^2+2(-2)=0$
$f(1)=1^2+2\cdot 1=3$
vilket vidare ger oss att

$f(-2)+f(1)=0+3=3$

André Bakas-Carlsten

2019-12-03

Inget av namnen på fråga 3 blir rätt

Aksel Nordin

2019-02-16

I uppgift 11 förvandlas ett + till ett – i förklaringen. Varför?

Linus Jakobsson

2018-11-24

Fel i svaret på fråga 1. Det står 729 m^2 istället för cm^2.

Endast Premium-användare kan kommentera.

Träna mer

E
0/17
C
0/34
A
0/13

Totalpoäng

0/64

e-uppgifter (8)

1.
(3/0/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M 1

R

K

Din vän ska sy en rektangulär tygpåse. Runt påsen tänker han sy ett dekorationsband. Men detta band har en begränsad längd. Det gör att om påsens ena sida är $x$ x cm lång, så kan den andra bara vara $54-x$ 54−x lång.

Vilken är den största möjliga area påsen kan anta?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Maximal area är $729$ $cm^2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_M Tecknar en korrekt modell av arean.
+1 e_PL Godtagbar ansats tex framtagning av symmetrilinjen eller att eleven visar förståelse för att det är i andragradsfunktionen har en maxpunkt och att vi där hittar största funktionsvärdet.
+1 e_P redovisad lösning med korrekt maximal area $729$ $cm^2$

Rättad
Rättar...
2.
(2/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K

Vilken av följande funktioner har en maximipunkt i punkten $(0,6)$ (0,6)?

Öva på att motivera ditt svar på ett papper.
- $f(x)=x^2+6$
- $f(x)=x^2-6$
- $f(x)=-x^2+6$
- $f(x)=-x^2-6$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_B Korrekt val. ( $f(x)=-x^2+6$ )
- +1 e_R Godtagbart resonemang.
- Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner 1
Rättar...
3.
(2/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K

Jossan och Rosita ska ta fram symmetrilinjen för funktionen $f\left(x\right)=-x^2-5x+5$ ƒ (x)=−x²−5x+5.

Jossan säger att symmetrilinjen till funktionen kan beräknas genom $x_{sym}=$ x_sym= $-\frac{5}{2}$ −52
Rosita säger att den beräknas genom $x_{sym}=$ x_sym= $-\left(\frac{-5}{2}\right)$ −(−52 )

Vem anser du har rätt?

Ange svaret med personens namn. Träna på att motivera ditt svar.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: ‍Jossan
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_R Godtagbart resonemang.
+1 e_B Korrekt svar. (Jossan)

Rättad
Rättar...

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

En andragradsfunktion har alltid en andragradsterm, men har ofta även en förstagradsterm och en konstantterm.
Använd ett digitalt hjälpmedel för att rita funktionen

$f\left(x\right)=x^2+x+1$ ƒ (x)=x²+x+1

Prova nu och ändra koefficienterna framför de olika termerna en i taget och se vad som händer.

Vilken term tillhör den koefficient man ska förändra för att parabeln ska förflytta sig i höjdled utan att symmetrilinjen flyttas?
- Andragradstermen
- Förstagradstermen
- Konstanttermen
- Det går inte att förflytta parabeln i höjdled utan att symmetrilinjen flyttas.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_B Korrekt svar. (Konstanttermen)
- Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner 1
Rättar...
5. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P

PL 1

M

R

K

Vilket alternativ skulle kunna beskrivas med följande graf?
- Moa skjuter en fotboll som ligger på marken. Grafen beskriver bollens höjd över marken i meter efter $x$ sekunder från utsparken.
- Olle ska hoppas fallskärm från ett $2$ km högt berg. Grafen beskriver Olles höjd över marken $s$ sekunder efter att han hoppat.
- Amir lägger ett straffkast i basket. Grafen beskriver bollens höjd över marken $x$ sekunder efter att Amir lagt straffen.
- Kim har köp en leksaksraket som avfyras från marken. Grafen beskriver raketens hastighet i m/s $x$ sekunder efter uppskjutningen.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_PL Korrekt val. (Amir lägger ett straffkast i basket)
- Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner
Rättar...
6. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

I figuren är funktionen $y=f(x)$ y=ƒ (x) utritad.

Vilket alternativ ska du ange som svar om uppgiften är att lösa ekvationen $f(x)=0$ ƒ (x)=0 med hjälp av figuren?
- $\left(3,\text{ }5\right)$
- $x=3$
- $y=5$
- $(0,\text{ }2)$
- $x=0$
- $y=2$
- $x_1=-1$ och $x_2=7$
- $(-1,\text{ }0)$ och $(7,\text{ }0)$
- $y_1=0$ och $y_2=0$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_B Korrekt svar. ( $x_1=-1$ och $x_2=7$ )
- Rättad
Se mer: Nollställen och Symmetrilinje
Rättar...
7. Premium
(2/0/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K
M

En nyårsraket har en höjd som kan beskrivas av funktionen $f(t)=20t-2t^2$ ƒ (t)=20t−2t², där $t$ t är tiden i sekunder och $f(t)$ ƒ (t) är raketens höjd i meter. Hur lång tid tar det innan raketen landar och hur högt når raketen som högst?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Den landar efter $10$ sekunder och når som högst $50$ meter.
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_PL Godtagbar ansats tex bestämmer nollställena.
+1 e_P Redovisad lösning med korrekt svar. (Den landar efter $10$ sekunder och når som högst $50$ m)

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner
Rättar...
8. Premium
(2/1/0)
E C A

B

P

PL

M

R 2 1

K
M NP

Figuren nedan visar grafen till en andragradsfunktion $f$ ƒ där $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ ƒ (x)=ax²+bx+c och där $a$ a, $b$ b och $c$ c är konstanter.

a) Bestäm konstanten $c$ c med hjälp av figuren. Motivera.

b) Vilket av funktionsvärdena $f\left(-5\right)$ ƒ (−5) eller $f\left(10\right)$ ƒ (10) är minst? Motivera.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: a) $c=8$ b) $f\left(10\right)$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_R a) Godtagbart enkelt resonemang som leder till godtagbart svar (t.ex. ”Grafen skär $y$ på $8$ alltså är $c=8$ ”)
+1 e_R b) Godtagbart enkelt resonemang som leder till korrekt svar.
+1 c_R b) Godtagbart välgrundat resonemang som bygger på avstånd från symmetrilinjen och som leder till korrekt svar. ( $f\left(10\right)$ )

Rättad
Se mer: Vad är en andragradsfunktion
Rättar...

c-uppgifter (14)

9. Premium
(1/3/0)
E C A

B

P

PL

M 1 2

R

K 1
M NP

En rektangulär hage ska byggas mot en mur. Det finns $52$ 52 meter stängsel som ska räcka till tre av sidorna eftersom den fjärde sidan utgörs av muren.
Se figur.

Teckna ett uttryck för arean och bestäm vilka mått hagen ska ha för att dess area ska bli så stor som möjligt.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Sidorna ska vara $13$ m och $26$ m
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_M Godtagbar ansats, tecknar ett uttryck för hagens area, t.ex. $A\left(x\right)=x\left(52-2x\right)$
+1 c_M med godtagbar fortsättning, t.ex. bestämmer areafunktionens symmetrilinje
+1 c_M med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar (”Sidorna ska vara $13$ m och $26$ m”)
+1 c_K Lösningen kommuniceras på C-nivå, se de allmänna kraven. För denna uppgift kan matematiska symboler och representationer vara $=,\ \ A\left(x\right)$ , parenteser, figur (med införda beteckningar), termer såsom symmetri, symmetrilinje, nollställen, maximipunkt, största värde, area samt angivna enheter etc.

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner
Rättar...
10. Premium
(0/2/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K 1
NP

Koordinatsystemet visar graferna till en rät linje $f$ ƒ och en andragradsfunktion $g$ g.

Besvara frågorna med hjälp av graferna.

För vilka värden på $x$ x gäller att $g\left(x\right)<3$ g(x)<3?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $-3
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Godtagbart angivet intervall, t.ex. ”då x är mellan $-3$ och $4$ "
+1 c_K ...med korrekt använda olikhetstecken. ( $-3<x<4$ )

Rättad
Se mer: Linjära olikheter
Rättar...
11. Premium
(0/2/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K

Använd figuren och bestäm $f\left(-2\right)+f\left(1\right)$ ƒ (−2)+ƒ (1)

Träna på att motivera ditt svar.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $3$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Visar förståelse för skrivsättet $f\left(x\right)$ .
+1 c_R Godtagbar motivering med korrekt svar. ( $3$ )

Rättad
Rättar...
12. Premium
(0/2/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K

För en andragradsfunktion gäller att $f\left(x\right)=0$ ƒ (x)=0 har lösningarna $x_1=-4$ x₁=−4 och $x_2=6$ x₂=6.

För vilket $x$ x-värde har funktionen sitt största värde?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x=1$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Visar förståelse för att $x$ -värdet ges av symmetrilinjens ekvation.
+1 c_R Godtagbart resonemang med korrekt svar. ( $x=1$ )

Rättad
Rättar...
13. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K

En varm dag vattnar din pappa äppleträdet med en vattenspridare. Vattnets stråle har formen av en båge, en parabel, som kan beskrivas med funktionen $h\left(x\right)=-0,17x^2+1,02x+0,42$ h(x)=−0,17x²+1,0‍2x+0,42 , där $h\left(x\right)$ h(x) är strålens höjd över marken $x$ x meter ut från vattenspridaren. Du och din bror tävlar om vem som kan springa under strålen utan att bli blöt.

Hur långt ut från vattenspridaren ska du springa för att ha störst chans att inte bli blöt?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $3$ meter
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansats tex bestämmer sym.linjens ekvation.
+1 c_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $3$ meter)

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner
Rättar...
14. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K

En andragradsfunktion går genom punkten $\left(-4,10\right)$ (−4,10) och har nollställena $x_1=-5$ x₁=−5 och $x_2=1$ x₂=1.

Bestäm funktionens formel på formen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ ƒ (x)=ax²+bx+c.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $f\left(x\right)=-2x^2-8x+10$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansats tex tecknar funktionen i faktorform med hjälp av nollställena.
+1 c_P Redovisad lösning med korrekt svar.( $f\left(x\right)=-2x^2-8x+10$ )

Rättad
Rättar...
15. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P

PL 2

M

R

K
NP

En andragradsfunktion $x^2+\left(a+4\right)x+\left(b+5\right)=0$ x²+(a+4)x+(b+5)=0 har lösningarna $x_1=1$ x₁=1 och $x_2=-3$ x₂=−3 .

Bestäm värdet på konstanterna $a$ a och $b$ b.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $a=-2$ och $b=-8$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Korrekt svar. ( $a=-2$ och $b=-8$ )
+1 c_PL Korrekt svar. ( $a=-2$ och $b=-8$ )

Rättad
Rättar...
16. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R 1

K
NP

För andragradsfunktionen $f$ ƒ  gäller att

$f\left(x\right)=-0,5x^2+bx-2$ ƒ (x)=−0,5x²+bx−2

a) Bestäm för vilka värden på $b$ b som $f$ ƒ  endast har ett nollställe.

I figuren nedan ser du graferna till funktionen $f$ ƒ   för några olika värden på $b$ b. Grafernas maximipunkter är markerade. Då $b$ b varierar följer maximipunkterna grafen till en ny andragradsfunktion $g$ g, se figur.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $b=\pm2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_P Godtagbar ansats, t.ex. tecknar ekvationen $x=b\pm\sqrt{b^2-4}$ för beräkning av funktionens nollställe
+1 c_R med fortsatt välgrundat resonemang med korrekt svar ( $b=\pm2$ )

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner Nationellt prov Matematik 2b vt 2015 DEL B och C Nationellt prov Matematik 2c vt 2015 DEL B och C
Rättar...
17. Premium
(0/3/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M 1

R

K

Du vill bygga en rektangulär odlingslåda i din trädgård mot sidan av ditt växthus. Du har köpt virke som räcker till en sträcka av $9$ 9 meter. Du behöver endast virke för kanterna på lådan, eftersom att jorden utgör botten. Då ena sidan är mot växthuset behöver du bara använda virket till tre sidor.

Vilken är den största odlingsytan du kan få utifrån detta virke?

Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $10,1$ m²
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_M Tecknar en korrekt modell för beräkning av ytan.
+1 c_PL Godtagbar ansats tex beräknar längden på lådans sida som ger maximal area.
+1 c_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $10,1$ m $^2$ )

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner
Rättar...
18. Premium
(0/3/0)
E C A

B

P

PL 1

M

R 1

K 1

Låt säga att du har konstruerat en katapult som är höj- och sänkbar. När katapulten är upphöjd $10$ 10 m slungar den iväg en kula som följer en kaströrelse som kan beskrivas med funktionen $f\left(x\right)=2x-0,05x^2+10$ ƒ (x)=2x−0,05x²+10, där $f(x)$ ƒ (x) motsvarar kulans höjd i meter över marken $x$ x sekunder efter att kulan slungats iväg.

Rita parabeln som beskriver kaströrelsen i just detta läge och ange dess definitions och värdemängd.

Vilket påstående ska du välja för att öka avståndet mellan katapulten och nedslaget för kulan, utan att förändra konstruktionen på själva katapulten?

Träna på att motivera ditt svar väl.
- Höj upp katapulten mer.
- Sänk ner katapulten.
- Det går inte att öka längden på kastet, om man inte får ändra konstruktionen på katapulten.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_PL Godtagbar ansats tex anger definitionsmängd och värdemängden.
- +1 c_R Godtagbart resonemang med korrekt svar. ( Höj upp katapulten mer.)
- +1 c_K Lösningen kommuniceras på ett matematiskt språk som motsvarar C-nivå.
- Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner
Rättar...
19. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P 1

PL

M 1

R

K

Två tal har summan $41$ 41 och produkten $238$ 238.

Vilka är talen?

För full poäng måste du motivera ditt svar. Att prova sig fram med hjälp av räknaren räcker inte för full poäng.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $7\$ och $34$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_M Tecknar de två sambanden.
+1 c_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $7$ och $34$ )

Rättad
Rättar...
20. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K
M

Du och din bror kan båda gå raklånga under vattenspridarens strålar, utan att träffas av vattnet. Er pappa, som är $1,90$ 1,90 m lång, vill prova om han kan det också – hur kommer det att gå?

Vattnets stråle har formen av en båge, en parabel, som kan beskrivas med funktionen $h\left(x\right)=-0,17x^2+1,02x+0,42$ h(x)=−0,17x²+1,02x+0,42 , där $h\left(x\right)$ h(x) är strålens höjd över marken $x$ x meter ut från vattenspridaren.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Han kan gå raklång, men kommer nog bli lite blöt om axlarna.
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansats tex bestämmer sym.linjens ekvation.
+1 c_P Redovisad lösning med korrekt svar. (Han kan gå raklång, men kommer nog bli lite blöt om axlarna)

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner
Rättar...
21. Premium
(1/2/1)
E C A

B

P 1

PL 2

M

R 1

K
M NP

Ozonskiktet som omger Jorden skyddar oss från UV-strålning. Ozonskiktets tjocklek mäts i enheten Dobson Unit (DU).

Sedan 1980-talet mäter SMHI ozonskiktets tjocklek över olika platser i Sverige, bland annat över Norrköping. Mätvärdena från 1 juni till 31 december år 2008 kan enligt en förenklad modell beskrivas av andragradsfunktionen

$f\left(x\right)=0,0052x^2-1,4x+378$ ƒ (x)=0,0052x²−1,4x+378, $0\le x\le210$ 0≤x≤210

där $f\left(x\right)$ ƒ (x) är ozonlagrets tjocklek i enheten DU och $x$ x är antal dagar efter 1 juni.

a) Bestäm $f\left(0\right)$ ƒ (0) och beskriv hur $f\left(0\right)$ ƒ (0) kan tolkas i detta sammanhang.

När meteorologer talar om ozonhål menar de egentligen områden där ozonskiktets tjocklek är mindre än $220$ 220 DU. Det är alltså inte frågan om ett hål utan snarare om ett tunnare ozonskikt.

b) Uppstod det ett ozonhål i Norrköping under perioden 1 juni till 31 december 2008? Motivera ditt svar.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: a) $378\ DU$ b) Se förklaring.
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Godtagbar bestämning av $f\left(0\right)$ , ( $378$ DU)
+1 c_PL Godtagbar tolkning (”Ozonlagrets tjocklek 1:a juni”)
+1 c_PL Godtagbar ansats, t.ex. tecknar ekvationen $0,0052x^2-1,4x+378=220$ eller använder grafräknare och ritar graferna till funktionerna $y=0,0052x^2-1,4x+378$ och $y=220$
+1 a_R med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar (t.ex. ”Nej det blev aldrig något hål. Det blir minus under rottecknet och då saknar ekvationen lösning, ozonet når aldrig värdet $220$ DU.”)

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner
Rättar...
22. Premium
(0/3/0)
E C A

B 1

P 2

PL

M

R

K
M NP

Bestäm de värden på $x$ x där graferna till andragradsfunktionen $f\left(x\right)=3x^2-4x-29$ ƒ (x)=3x²−4x−29 och linjen $g\left(x\right)=2x+16$ g(x)=2x+16 skär varandra.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x_1=5$ och $x_2=-3$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Godtagbar ansats, visar insikt om att skärningspunkternas x-koordinater fås genom att t.ex. sätta $3x^2-4x-29=2x+16$
+1 c_P godtagbar fortsättning, t.ex. godtagbar omskrivning av ekvationen till $x^2-2x-15=0$
+1 c_P med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar. ( $x_1=5$ och $x_2=-3$ )

Rättad
Se mer: Träna mera på PQ-formeln
Rättar...

a-uppgifter (6)

23. Premium
(1/1/1)
E C A

B 1

P

PL

M 1

R 1

K
M

Ange en andragradsfunktion som har sin minimipunkt i punkten $(0,3)$ (0,3)

Motivera ditt val av funktion.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $f\left(x\right)=ax^2+3$ där $a>0$ .
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Anger en positiv koefficient till andragradstermen.
+1 c_M Anger en korrekt modell för en andragradsfunktion med minpunkt i punkten $\left(0,3\right)$ .
+1 a_R Lösning med ett resonemang som argumenterar med säkerhet kring valet av en korrekt funktion.

Rättad
Rättar...
24. Premium
(0/0/1)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K
NP

Koordinatsystemet visar graferna till en rät linje $f$ ƒ och en andragradsfunktion $g$ g.

Besvara frågan med hjälp av graferna.

För vilka värden på $x$ x gäller att $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$ ƒ (x)−g(x)=0 ?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x=-2$ och $x=4$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_B Korrekt svar. ( $x=-2$ och $x=4$ )

Rättad
Rättar...
25. Premium
(0/0/3)
E C A

B

P

PL 1

M

R 1

K 1
M

Romeo ser att Julias fönster står öppet. Han vill kasta in en ros genom hennes fönster som är $2$ 2 meter högt och beläget $6$ 6 meter över marken.

Hans kaströrelse kan beskrivas med modellen $h\left(s\right)=2,1+3,4s-0,7s^2$ h(s)=2,1+3,4s−0,7s² där $h\left(s\right)$ h(s) motsvarar höjden över marken i meter och $s$ s motsvarar rosens horisontella rörelse i meter, från den punkt rosen kastas.

Hur långt ifrån väggen skall Romeo stå för att pricka fönstret rätt?

Träna på att motivera ditt svar med matematiska beräkningar och resonemang.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Ca $2,4$ meter från väggen.
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_PL Godtagbar ansats tex bestämmer intervallet som ger ett kast högre än $6$ meter.
+1 a_R Eleven för ett välgrundat och nyanserat resonemang utrif¨rn sina beräkningar som leder till rätt svar. (ca $2,4$ m från väggen)
+1 a_K Uppgifter kommuniceras på en nivå som motsvarar betyg A.

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner 1
Rättar...
26. Premium
(0/0/3)
E C A

B

P

PL 2

M

R

K 1
NP

För andragradsfunktionen $f$ ƒ gäller att

$f\left(x\right)=-0,5x^2+bx-2$ ƒ (x)=−0,5x²+bx−2

I figuren nedan ser du graferna till funktionen $f$ ƒ för några olika värden på $b$ b. Grafernas maximipunkter är markerade. Då $b$ b varierar följer maximipunkterna grafen till en ny andragradsfunktion $g$ g, se figur.

b) Bestäm andragradsfunktionen $g$ g .
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $g\left(x\right)=0,5x^2-2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_PL Godtagbar ansats, t.ex. visar att maximipunkternas y-koordinat för olika värden på $b$ är $-0,5b^2+b^2-2$ ...
+1 a_PL ...med i övrigt godtagbar lösning med korrekt tecknat funktionsuttryck för $g$ . ( $g\left(x\right)=0,5x^2-2$ )
+1 a_K Lösningen kommuniceras på A-nivå, se de allmänna kraven. Kommentar: Lösning som baseras på specialfall är också godtagbar eftersom det i uppgiften är givet att $g$ är en andragradsfunktion.

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner Nationellt prov Matematik 2b vt 2015 DEL B och C
Rättar...
27. Premium
(0/0/2)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K 1

Din vän säger att

$f\left(x\right)=\left(x+\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)\left(x+\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)$ ƒ (x)=(x+p2 −√(p2 )²−q)(x+p2 +√(p2 )²−q)

egentligen är samma funktion som

$g\left(x\right)=x^2+px+q$ g(x)=x²+px+q

Undersök hur din vän kan ha gjort och välj sedan det alternativ som du tycker stämmer bäst.
- ‍‍Min vän har rätt.
- ‍‍Min vän har fel.
- ‍‍Det går inte att avgöra utan att veta värdet på nollställena.
- ‍‍Det går inte att avgöra utan att veta symmetrilinjens ekvation.
- ‍‍Det går inte att avgöra utan att veta nollställena och symmetrilinjens ekvation.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 a_P ‍‍Redovisad lösning med korrekt svar. (Min vän har rätt)
- +1 a_K ‍‍Lösningen kommuniceras på en nivå som motsvarar A.
- Rättad
Rättar...
28. Premium
(0/0/2)
E C A

B

P

PL 1

M

R 1

K

Bestäm konstanten $a$ a så att $f\left(x\right)=ax^2-6x+a$ ƒ (x)=ax²−6x+a har en symmetrilinje i $x=18$ x=18
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $a=\frac{1}{6}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_PL Godtabar anstat tex anger att även $x_{sym}=\frac{3}{a}$ är symmetrilinjens ekvation.
+1 a_R Godtagbart resonemang som leder till korrekt svar. ( $a=\frac{1}{6}$ )

Rättad
Se mer: Nollställen och Symmetrilinje
Rättar...

Nästa lektion: Kapiteltest – Andragradsfunktioner Ma2b

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

Eddler AB
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
info@eddler.se

Säker SSL-server

Vad är detta?

Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)

Förhandsvisning Latex:

Latexkod:

Matematik 2b

Välj kurs

KURSER /

Matematik 2b

/ Andragradsfunktioner

Problemlösning Andragradsfunktioner

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Andragradsekvation

Symmetrilinjens ekvation

Formel från nollställen och punkt

Exempel 1

Lösning

Exempel 2

Lösning

Exempel 3

Lösning

Exempel 4

Lösning

Nina Andersson

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Klara

Klara Österberg

Anna Admin (Moderator)

André Bakas-Carlsten

Aksel Nordin

Linus Jakobsson

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

12. Premium

13. Premium

14. Premium

15. Premium

16. Premium

17. Premium

18. Premium

19. Premium

20. Premium

21. Premium

22. Premium

23. Premium

24. Premium

25. Premium

26. Premium

27. Premium

28. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...