Primtal och delbarhet

Ett sätt att förstå primtalen är att tänka på dem som matematikens legobitar. En erfaren legobyggare ser sin konstruktion som en sammansättning av olika bitar. Genom att kombinera bitarna på olika sätt kan man bygga hur stora modeller som helst. Och man kan alltid plocka isär modellen i sina beståndsdelar igen.

På liknande sätt ser en matematiker talet $30$ som en produkt av en tvåa, en trea och en femma:

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal, där primtalen är de sammansatta talens minsta beståndsdelar. De sammansatta talen byggs upp av primtalsfaktorer.

Ett primtal är ett heltal som bara går att dela jämnt med $1$1 och sig självt. Man definierar det så här:

Kom ihåg att $1$ inte är ett primtal.

Det finns oändligt många primtal, men här är alla primtal mellan $1$ och $100$:

$2,\,3,\,5,\,7,\,11,$$\,13,\,17,\,19,\,23,$$\,29,\,31,\,37,$
$41,\,43,\,47,\,53,$$\,59,\,61,\,67,\,71,$$\,73,\,79,\,83,\,89,\,97$

Som du ser är bara ett enda av dessa primtal ett jämnt tal, nämligen talet $2$2. Och det är faktiskt det enda jämna primtalet som finns!

Heltal som går att dela upp i mindre faktorer är inte primtal, utan kallas sammansatta tal. Till exempel är talet $6$6 ett sammansatt tal, eftersom det kan delas upp i faktorerna $2$2 och $3$3.

Alla positiva heltal större än $1$ är alltså antingen ett primtal eller ett sammansatt tal.

När man faktoriserar ett tal delar man upp det i faktorer. Om man fortsätter tills alla faktorer är primtal kallas det primtalsfaktorisering.

Exempelvis är $12 = 2 \cdot 6$, men eftersom $6$ inte är ett primtal fortsätter vi dela upp även talet $6$ i faktorer:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$

Nu är alla faktorer primtal. Vi har primtalsfaktoriserat talet $12$.

Begreppet delbarhet innebär att kvoten man får när man dividerar två heltal också är ett heltal.

Exempelvis delar talet $2$ talet $12$ eftersom $\dfrac{12}{2} = 6$ och $6$ är ett heltal.

Alla primtal är bara delbara med $1$ och sig själva, alltså exakt två delare. Varken fler eller färre.

Men sammansatta tal är delbara med fler tal, nämligen även med sina primtalsfaktorer och alla möjliga kombinationer av dem.

Exempelvis är $12$ delbart med $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ och $12$.

Detta beror på att talen $4$ och $6$ är kombinationer av primtalsfaktorerna $2$, $2$ och $3$. Alltså $2 \cdot 2 = 4$ och $2 \cdot 3 = 6$.

När man primtalsfaktoriserar underlättar det att känna till några enkla delbarhetsregler.

Siffersumman är det tal man får när man adderar siffrorna i talet med varandra. T.ex. har talet $314$ siffersumman $3+1+4=8$.

Du hittar fler delbarhetsregler sist i lektionen.

Till hjälp för att primtalsfaktorisera kan så kallade faktorträd användas. Man delar steg för steg upp ett tal i mindre faktorer tills det endast består av primtal.

Nedan kan du med hjälp av "Eratosthenes såll" leta primtal med hjälp av ett digitalt verktyg. Det är en algoritm, ungefär samma sak som en metod, som uppfanns av den grekiske matematikern Eratosthenes för att lista alla primtal upp till ett valfritt tal.

Så här fungerar Eratosthenes såll:

1. Gör en lista på alla tal från $2$ till ett tal du väljer, vi kallar det för $n$.
2. Ta bort alla jämna tal från listan som är större än $2$.
3. Det första talet som blir kvar i listan är nu ett primtal, nämligen $3$.
4. Behåll talet men ta bort alla andra tal som är delbara med det primtalet.
5. Upprepa steg $3$ och $4$ tills du har nått ett tal som är större än $\sqrt{n}$.

De tal som blir kvar i listan är primtal. Du behöver inte kunna göra det här för hand på högstadiet – men det är ett bra exempel på hur digitala verktyg kan användas för att lösa matematiska problem effektivare.

Delbarhet och primtalsfaktorisering är verktyg du kommer att ha stor användning av ju längre du kommer i matematiken. De gör det lättare att arbeta med bråk, stora tal och mycket annat framöver.