Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Derivata och deriveringsregler
Tangent och Sekant
Innehåll
En tangent är en rät linje som tangerar en kurva i en punkt. Tangentens lutning kan tolkas som förändringshastigheten i en punkt.
Sekanten skär istället kurvan i två eller fler punkter. Sekantens lutning kan tolkas som den genomsnittliga förändringshastigheten i ett intervall.
Tangentens definition
En tangent är en rät linje som tangerar kurvan i en punkt. Ordet tangerar kan förklaras med betydelsen snuddar vid eller tuschar. Man säger att tangenten tangerar kurvan i punkten.
Tangentens lutning kan tolkas som förändringshastigheten i en punkt. Lutningen ger oss ett mått på vilken slags förändring och hur stor eller liten den är i just en punkt, det som kallas för Derivatan. Vi kommer i en senare lektion gå igenom hur.
Ett vanligt missförstånd om man säger att tangenten ”skär” kurvan är, att man tror att tangenten kan ”gå rätt igenom” kurvan. Det är inte det man menar. Tangenten går inte igenom kurvan i tangeringspunkten utan snuddar endast vid kurvan.
En matematisk definition av en tangent i en deriverbar punkt $x=a$x=a är följande.
Tangenten för $f$ƒ i punkten $x=a$x=a är den räta linjen som har lutningen $f´\left(a\right)$ƒ ´(a) och som går genom $\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)$(a, ƒ (a)).
Skrivsättet $f´\left(a\right)$ƒ ´(a) motsvarar derivatan i punkten $x=a$x=a. Mer om det i lektionen om derivatans definition.
Sekantens definition
En sekant är en rät linje som skär två eller fler punkter på en kurva. En sekants lutning kan tolkas som den genomsnittliga förändringshastigheten i ett intervall, ofta ett tidsintervall.
En matematisk definition av en sekant är följande.
En sekant är en linje som går genom två punkter på en graf.
Om $f$ƒ är definierad på intervallet $a\le$a≤$x\le b$x≤b kallas kvoten $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ƒ (b)−ƒ (a)b−a för en differenskvot och ger lutningen för sekanten genom $\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)$(a, ƒ (a)) och $\left(b,\text{ }f\left(b\right)\right)$(b, ƒ (b)). Sekantens lutning motsvarar det man kallar för medellutningen för grafen i intervallet.
Omatematisk förklaring av tangenten
För vissa hjälper förståelsen av vad en tangent är, att tänka tangenten som en linjal som ska balanseras på kurvan i en punkt. För andra kan bilden av en laserstråle som tuschar en diskokula i en enda punkt så att strålen inte bryts utan fortsätter i samma riktning, vara till hjälp för förståelsen.
Bestäm derivatans värde med tangenten
Vi kommer i kommande lektioner gå igenom definitionen på derivatan, men för nu kan vi bara försöka acceptera att
Derivatans värde är detsamma som tangentens lutning i en punkt.
Utifrån detta kan vi beräkna derivatan genom att bestämma tangentens lutning.
Du kan genom att förflytta punkten $A$A längst kurvan se hur tangentens lutning, och där med även derivatans värde, förändras. Lägg gärna på minnet för vilka punkter derivatan är lika med noll. För de punkterna kommer vi fokusera lite extra på i denna kurs.
Exempel 1
a) Vilken eller vilka av linjerna är en sekant?
b) Vilken eller vilka av linjerna är en tangent?
Lösning
a) En sekant skär grafen i flera punkter. Detta stämmer in på linje $A$A och $C$C.
b) En tangent tangerar grafen i endast en punkt. Detta stämmer in på linje $B$B.
Exempel 2
Bestäm derivatan i punkten där $x=2$x=2
Lösning
Genom att bestämma tangentens lutning i den punkt där $x=2$x=2 kan vi bestämma värdet på derivatan när $x=2$x=2, eftersom att de har samma värde.
Vi ser att tangentens riktningskoefficient är $k=$k= $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$△y△x =y2−y1x2−x1 $=\frac{3-\left(-1\right)}{4-0}=\frac{4}{4}$=3−(−1)4−0 =44 $=1$=1
Vi får då att även derivatans värde när $x=2$x=2 har värdet $1$1.
Sambandet mellan derivatan, tangenten och sekanten
Vi kommer att röra oss mellan dessa två, sekanten och tangenten, för att definiera derivatan i kommande lektioner. Men först måste vi även introducera ett nytt begrepp, gränsvärde. Det är med hjälp av ett gränsvärde vi kommer att kunna göra beräkningar på sekantens lutning i ett oändligt litet intervall, så litet att vi låter det motsvara värdet av tangentens lutning i en av sekantens skärningspunkter. Men mer om detta i kommande lektioner.
Exempel i videon
- Exempel på en sekant och tangent och vad som karaktäriserar dessa.
- Exempel på vad som händer när en sekant förändras mot att bli en tangent.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (16)
-
1. Premium
Vilket av alternativen nedan beskriver en sekant?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: begrepp definition Derivata sekantRättar... -
2. Premium
Vilket av alternativen nedan beskriver en tangent?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: begrepp definition Derivata sekantRättar... -
3. Premium
Ange linjens ekvation.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Räta linjens ekvationLiknande uppgifter: k-värde linjens lutning rätalinjens ekvationRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Ange lutningen till den linjära funktionen $y=-4x+5$y=−4x+5
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Räta linjens ekvationLiknande uppgifter: k-värde linjär funktion linjens lutningRättar...5. Premium
Ange en ekvation för linjen som går genom punkterna $(0,2)$(0,2) och $(1,0)$(1,0) .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Räta linjens ekvationLiknande uppgifter: Linjära funktioner linjens lutning Räta linjens ekvationRättar...6. Premium
Skriv om funktionsuttrycket $2y+6x=8$2y+6x=8 i $k$k -form.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Räta linjens ekvationLiknande uppgifter: k-form k-värde linjär funktion linjens lutningRättar...7. Premium
Dra punkt B så att linjen får lutningen $3$3.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Räta linjens ekvationLiknande uppgifter: linjär funktion linjens lutning räta linjen RiktningskoefficientRättar...8. Premium
Funktionen $f\left(x\right)=3x^2-5$ƒ (x)=3x2−5 har en tangent i punkten där $x=1$x=1.
Ange tangeringspunktens koordinater.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Derivata och deriveringsregler Derivata och Tangentens lutning Matematik 3 tangentRättar...9. Premium
Är den räta linjen i figuren en tangent eller en sekant?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och deriveringsregler Matematik 3 sekant Sekant och tangent tangenterRättar...10. Premium
Figuren visar parabeln till en andragradsfunktion $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x).
Vilken eller vilka av de räta linjerna i figuren kan antas vara en tangent?
Svara med aktuella bokstäver med kommatecken emellan.
Rättar...11. Premium
Den räta linjen är en tangent till kurvan i punkten $P$P.
a) Bestäm tangentens lutning.
b) Bestäm kurvans lutning i punkten $P$P.
c) Bestäm derivatans värde i punkten $P$P.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Tangentens ekvation och lutningLiknande uppgifter: Derivata kurvans lutning tangent tangenterRättar...12. Premium
Figuren visar grafen till en andragradsekvation. Uppskatta grafiskt tangentens lutning i punkten $P$P.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Tangentens ekvation och lutningLiknande uppgifter: Derivata tangentens lutningRättar...13. Premium
Bestäm sekantens lutning.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: k-värde linjen lutning sekant Sekant och tangent tangenterRättar...14. Premium
Ange i vilken eller vilka av de markerade punkterna på grafen som kurvans lutning är lika med noll.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata kurvans lutning tangent tangentens lutningRättar...15. Premium
Ange i vilken eller vilka av de markerade punkterna kurvans lutning är mindre än noll.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata kurvans lutning tangent tangentens lutningRättar...16. Premium
Ange i vilken eller vilka av de markerade punkterna kurvans lutning är positiv.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata kurvans lutning tangent tangentens lutningRättar...c-uppgifter (3)
-
17. Premium
Vilken av funktionerna nedan har en derivata som alltid är positiv?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan kurvans lutning tangentens lutningRättar... -
18. Premium
Vilken av funktionerna nedan har en derivata som alltid är lika med noll?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan kurvans lutning tangentens lutningRättar... -
19. Premium
Funktionen $f\left(x\right)=2x^2$ƒ (x)=2x2 har en sekant med lutningen minus två som går genom punkten $\left(-2,\text{ }8\right)$(−2, 8) .
Ange den andra punkten som sekanten går genom.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Tangentens ekvation och lutningLiknande uppgifter: Derivata Derivata och deriveringsregler Derivata och Tangentens lutning Matematik 3 tangentRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!Redigera uppgift Stäng Kopiera abc-fråga Flytta abc-fråga Länka abc-fråga Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Raaed Philo
Hej Carlos!
I C och F är tangenten parallellt med x-axel. Dvs att tangentens lutning är noll.
Carlos Malki
Hej! Jag råka skriva fel, jag menade fråga 12
Carlos Malki
Hej! I fråga 13on ska inte svaret vara, A,C,F,G och inte endast A och G eftersom i C och F är det också en minskning som är -y och som motsvarar ett negativt tal som är mindre än 0
Endast Premium-användare kan kommentera.