Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Areasatsen är en av de tre triangelsatserna tillsammans med sinussatsen och cosinussatsen.
Med hjälp av denna sats kan du beräkna arean för en triangel när du känner till längden av två av triangelns sidor samt den mellanliggande vinkeln. Alltså vinkeln vars vinkelben motsvarar de två kända längderna. Satsen ger följande.
Areasatsen
För en triangel $ABC$ABC ges arean av följande kvot.
$\text{Area}=$Area= $\frac{a\text{ }b\text{ }\sin C}{2}$a b sinC2
där $C$C är mellanliggande vinkel för sidorna $a$a och $b$b
Då det finns tre vinklar i samma triangel gäller så klart att likhet råden mellan följande tre kvoter, eftersom att de alla motsvarar samma triangels area.
$\frac{a\text{ }b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\text{ }c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\text{ }c\cdot\sin B}{2}$a b·sinC2 =b c·sinA2 =a c·sinB2
Vi använder oss alltså av en av de tre kvoterna i taget för att beräkna en triangels area. Vilken vi väljer beror på vilka sidor och vinklar på triangeln som är kända för oss.
Exempel 1
Beräkna triangelns area
Lösning
Vi beräknar arean med hjälp av areasatsen. Den ger att
$Area=$Area=$\frac{2,6\cdot5,0\cdot\sin68^{\circ}}{2}\approx$2,6·5,0·sin68∘2 ≈$6,03$6,03
Vi svarar här med enheten areaenhet då inga andra enheter har nämnts i figuren.
$Area\approx6,03\text{ }a.e$Area≈6,03 a.e
Exempel 2
Bestäm vinkeln $v$v så att triangeln får arean $12\text{ }cm^2$12 cm2
Lösning
Med hjälp av areasatsen ställer vi upp följande ekvation
$\frac{6\cdot4,8\cdot\sin v}{2}=$6·4,8·sinv2 = $12$12
Vi löser denna ekvation och börjar med att multiplicera bägge leden med 2
$6\cdot4,8\cdot\sin v=24$6·4,8·sinv=24
Nu delar vi med $6\cdot4,8$6·4,8 och får då
$\sin v=$sinv= $\frac{24}{6\cdot4,8}$246·4,8
Därefter tar vi sinusinversen i bägge leden och får
$v=\sin^{-1}\left(\frac{24}{6\cdot4,8}\right)\approx56,4^{\circ}$v=sin−1(246·4,8 )≈56,4∘
Därför skall vinkeln vara $56,4^{\circ}$56,4∘ för att arean skall bli $12\text{ }cm^2$12 cm2
Bevis av areasatsen
Vi gör beviset först för när en vinkel A är spetsig. Därefter bevisar vi satsen när vinkel A är trubbig.
1. Spetsig vinkel
Vi antar att vinkeln AA är spetsig enligt figuren ovan. När en vinkel är spetsig är den mindre än 90∘90∘ .
Sambandet för sinus kan skrivas som
sinA=sinA=bhhb där vi bryter ut h=b⋅sinAh=b·sinA.
Arean för en triangel är A=A= 2Basen ⋅Ho¨jdenBasen ·Höjden2 där basen motsvarar cc och höjden b⋅sinAb·sinA.
Slutligen sätter vi in detta i formeln för att beräkna en triangels area och får att
Arean=Arean= 2Basen ⋅Ho¨jden=2c⋅b⋅sinABasen ·Höjden2 =c·b·sinA2 vilket är areasatsen.
2. Trubbig vinkel
Nu är vinkeln AA trubbig istället i figuren ovan, dvs den är större än 90∘90∘ .
Sambandet för sinus för vinkeln 180∘−A180∘−A kan skrivas som
sin(180∘−A)=sin(180∘−A)= bhhb där vi bryter ut h=b⋅sin(180∘−A)h=b·sin(180∘−A)
Sambandet för vinklar och sinus ger att sin(180∘−A)=sinAsin(180∘−A)=sinA. I lektionen om enhetscirkeln bevisar vi det sambandet.
Därför får vi att
h=b⋅sin(180∘−A)=b⋅sinAh=b·sin(180∘−A)=b·sinA
Då gäller även här att triangelns area kan beskrivas som
Area=Area= 2c⋅b⋅sinAc·b·sinA2
Detta var beviset för areasatsen.
Exempel i videon
- Bestäm triangelns area då vinkeln C=30∘C=30∘, AC=12 cmAC=12 cm och BC=15 cmBC=15 cm.
- En triangeln ABC har sidorna AB=8 mAB=8 m och BC=12 mBC=12 m. Bestäm vinkeln B så att triangeln får arean 24 m224 m2
Kommentarer
e-uppgifter (3)
1.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Beräkna arean med hjälp av areasatsen då måtten är angivna i enheten meter.
Ange svaret med en decimals noggrannhet och enheten m^2.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 56,2 m²(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(2/0/0)E C A B P 1 PL M R 1 K Beräkna vinkeln vv då den spetsiga triangelns area är 2424 m².
Svara med en decimals noggrannhet.Svar:Ditt svar:Rätt svar: v≈49,6∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(2/0/0)E C A B P 1 PL M R 1 K I den spetsvinkliga triangeln ABCABC är AB=12AB=12 och AC=10AC=10.
Beräkna vinkeln AA om triangelns area är 5050 m²
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a≈56,4°(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (5)
4. Premium
(0/2/0)E C A B P 1 PL 1 M R K Beräkna arean för den ljusblå triangeln i figuren.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 126 m²(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(0/2/0)E C A B P 1 PL 1 M R K Beräkna arean med hjälp av areasatsen med en decimals noggrannhet.
Måtten är angivna i enheten meter.Svar:Ditt svar:Rätt svar: 6,0 m²(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(0/2/0)E C A B P 1 PL 1 M R K Bestäm fyrhörningens area.
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Fyrhörningens area är ca 61,3 m2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(0/3/0)E C A B P 1 PL 1 M R K 1 I den spetsvinkliga triangeln nedan är arean 99 m². Bestäm triangelns sida aa med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a=6,1 m(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(0/3/0)E C A B P PL 3 M R K Bo ska bygga ett hus som totalt är 66 meter högt. Huset har en symmetrisk gavel, vilket innebär att taket har samma lutning på var sida och att taknocken ligget i mitten av husets kortsida.
Hur stor är vinkeln vid taknocken som är markerad med vinkeln v i figuren?
Avrunda ditt svar till en decimal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: v=117,3∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (4)
9. Premium
(0/2/2)E C A B 1 P 1 PL 1 M R K 1 I den spetsvinkliga triangeln △ABC△ABC är arean 66 m². Bestäm triangelns kortaste sida med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Triangelns kortaste sida är 3,0 m.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...10. Premium
(0/0/3)E C A B P PL 2 M R K 1 Triangelns area är 2020 a.e. Bestäm triangelns längsta sida.
Avrunda till en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 11,8 l.e(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...11. Premium
(0/0/2)E C A B P PL 2 M R K Beräkna den blåa arean då den regelbundna sexhörningen har sidan 44 l.e.
Avrunda till en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 17,3 a.e(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...12. Premium
(0/0/2)E C A B P PL M 1 R K 1 Figuren visar en triangel med sidan xx.
Ange det värde på kk som ger att triangelns area kan beskrivas med formeln Area=k⋅x2Area=k·x2
Avrunda till två decimalers noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: k=0,43(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Jan Schiller
Förklaringen till uppgift 8 förstår inte jag. Taknockens vinkel är väl > 90 grader ?
Ni svarar 61,5 grader.
Jag fick det till 117,3 grader.
Vad är det jag har missat ?
Avsnitt: ariasatsen.
Hälsningar Jan , som tycker att ert material är bäst !
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Jan,
kul att du gillar oss.
Jag ser att det hade blivit en miss i lösningen och har nu korrigerat den. Tack för att du sa till. Det hjälper oss att bli bättre!
Lycka till med trigonometrin!
Anonym
Förklaringen verkar vara menad till någon annan uppgift. Det finns inga ”vinkelben a och b” och flera saker verkar inte stämma.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Johan,
refereringen till a och b är utifrån areasatsen på formelbladet. Alltså den generella areasatsen.
Det utgår vi ifrån för att sedan sätta in de värden som gäller för just den uppgiften.
Så lösningen med värdena i uppgiften kommer lite längre ner i texten i förklaringen.
Hoppas det blev tydligare.
Alexander Y
Alltså typ vad är sidan a i den triangeln?
Alexander Y
Fråga 11. Vilken sida menar du? Inte de två sidorna som i sida gånger sida gånger mellanliggande vinkel / 2. Kan du förklara?
Emmy Palm
Varför är värdet på fråga 7: 6,1 och inte 5,1?
Anna Admin (Moderator)
Kan du ha glömt att addera −2p som är lika med 1 i uppgiften?
Simon Sundberg vux Vuxelev
På övning 8 så är ”3,0m” rätt svar men ”3m” är fel svar. Det kanske är medvetet, men jag har inte stött på det tidigare.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Tack för att du sade till, det är korrigerat!
Endast Premium-användare kan kommentera.