00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Areasatsen är en av de tre triangelsatserna tillsammans med sinussatsen och cosinussatsen.

Med hjälp av denna sats kan du beräkna arean för en triangel när du känner till längden av två av triangelns sidor samt den mellanliggande vinkeln. Alltså vinkeln vars vinkelben motsvarar de två kända längderna. Satsen ger följande.

Areasatsen

För en triangel $ABC$ABC ges arean av följande kvot.

Bild till areasatsen

  $\text{Area}=$Area= $\frac{a\text{ }b\text{ }\sin C}{2}$a b sinC2  

där $C$C är mellanliggande vinkel för sidorna $a$a och $b$b 

Då det finns tre vinklar i samma triangel gäller så klart att likhet råden mellan följande tre kvoter, eftersom att de alla motsvarar samma triangels area.  

 $\frac{a\text{ }b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\text{ }c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\text{ }c\cdot\sin B}{2}$a b·sinC2 =b c·sinA2 =a c·sinB2  

Vi använder oss alltså av en av de tre kvoterna i taget för att beräkna en triangels area. Vilken vi väljer beror på vilka sidor och vinklar på triangeln som är kända för oss.

Exempel 1

Beräkna triangelns area

Exempel 1 areasatsen

Lösning

Vi beräknar arean med hjälp av areasatsen. Den ger att

 $Area=$Area=$\frac{2,6\cdot5,0\cdot\sin68^{\circ}}{2}\approx$2,6·5,0·sin682 $6,03$6,03  

 Vi svarar här med enheten areaenhet då inga andra enheter har nämnts i figuren.

 $Area\approx6,03\text{ }a.e$Area6,03 a.e 

Exempel 2

Bestäm v så att arean blir 12

Bestäm vinkeln $v$v så att triangeln får arean $12\text{ }cm^2$12 cm2 

Lösning

Med hjälp av areasatsen ställer vi upp följande ekvation

 $\frac{6\cdot4,8\cdot\sin v}{2}=$6·4,8·sinv2 = $12$12 

Vi löser denna ekvation och börjar med att multiplicera bägge leden med 2

 $6\cdot4,8\cdot\sin v=24$6·4,8·sinv=24 

Nu delar vi med $6\cdot4,8$6·4,8 och får då

 $\sin v=$sinv= $\frac{24}{6\cdot4,8}$246·4,8   

Därefter tar vi sinusinversen i bägge leden och får

 $v=\sin^{-1}\left(\frac{24}{6\cdot4,8}\right)\approx56,4^{\circ}$v=sin1(246·4,8 )56,4 

Därför skall vinkeln vara $56,4^{\circ}$56,4 för att arean skall bli $12\text{ }cm^2$12 cm2 

Bevis av areasatsen

Vi gör beviset först för när en vinkel A är spetsig. Därefter bevisar vi satsen när vinkel A är trubbig.

1. Spetsig vinkel

Bevis spetsig vinkel areasatsen

Vi antar att vinkeln AAA är spetsig enligt figuren ovan. När en vinkel är spetsig är den mindre än 9090^{\circ}90 .

Sambandet för sinus kan skrivas som

 sinA=\sin A=sinA=hb\frac{h}{b}hb   där vi bryter ut   h=bsinAh=b\cdot\sin Ah=b·sinA.

Arean för en triangel är A=A=A=  Basen Ho¨jden2\frac{\text{Basen }\cdot\text{Höjden}}{2}Basen ·Höjden2   där basen motsvarar ccc och höjden  bsinAb\cdot\sin Ab·sinA.

Slutligen sätter vi in detta i formeln för att beräkna en triangels area och får att

 Arean=\text{Arean}=Arean= Basen Ho¨jden2=cbsinA2\frac{\text{Basen }\cdot\text{Höjden}}{2}=\frac{c\cdot b\cdot\sin A}{2}Basen ·Höjden2 =c·b·sinA2   vilket är areasatsen.

2. Trubbig vinkel

Bevis areasatsen trubbig vinkel

Nu är vinkeln AAA trubbig istället i figuren ovan, dvs den är större än 9090^{\circ}90 .

Sambandet för sinus för vinkeln 180A180^{\circ}-A180A kan skrivas som

 sin(180A)=\sin\left(180^{\circ}-A\right)=sin(180A)= hb\frac{h}{b}hb    där vi bryter ut h=bsin(180A)h=b\cdot\sin\left(180^{\circ}-A\right)h=b·sin(180A) 

Sambandet för vinklar och sinus ger att sin(180A)=sinA\sin\left(180^{\circ}-A\right)=\sin Asin(180A)=sinA.  I lektionen om enhetscirkeln bevisar vi det sambandet.

Därför får vi att

 h=bsin(180A)=bsinAh=b\cdot\sin\left(180^{\circ}-A\right)=b\cdot\sin Ah=b·sin(180A)=b·sinA 

Då gäller även här att triangelns area kan beskrivas som

 Area=\text{Area}=Area= cbsinA2\frac{c\cdot b\cdot\sin A}{2}c·b·sinA2   

Detta var beviset för areasatsen.

Exempel i videon

  • Bestäm triangelns area då vinkeln C=30C=30^{\circ}C=30AC=12 cmAC=12\text{ }cmAC=12 cm och BC=15 cmBC=15\text{ }cmBC=15 cm.
  • En triangeln ABC har sidorna  AB=8 mAB=8\text{ }mAB=8 m och  BC=12 mBC=12\text{ }mBC=12 m. Bestäm vinkeln B så att triangeln får arean 24 m224\text{ }m^224 m2