...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Algebra

C-A uppgifter på faktorisering

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I den här lektionen går vi inte igenom några nya begrepp utan bara två svårare faktoriseringar som vi löser med bland annat konjugat- och kvadreringsregeln. Denna video är för den som vill fördjupa sina kunskaper och satsar på de högre betygen.

I genomgången använder vi följande regler.

Potensregel

$a^ba^c=a^{b+c}$

Konjugatregeln

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Kvadreringsreglerna

$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $
$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $

Kom ihåg att hela termerna ska kvadreras. Om en term består av flera faktorer gäller potensreglen $\left(a\cdot b\right)^2=a^2b^2$(a·b)2=a2b2 .

Först ett exempel med faktorisering av potenser.

Exempel 1

Bestäm värdet på $m$m som uppfyller ekvationen

  $x^{2m+n}-x^{n+5}=0$x2m+nxn+5=0   då  $x\ne0$x0 

Lösning

Vi kan använda oss av potensreglerna ”baklänges” och skriva om vänsterledet  $VL=x^{2m+n}-x^{n+5}$VL=x2m+nxn+5 som

  $VL=$VL=  $x^{2m+n}-x^{n+5}=x^{2m}\cdot x^n-x^n\cdot x^5=$x2m+nxn+5=x2m·xnxn·x5= $x^n\left(x^{2m}-x^5\right)$xn(x2mx5)  

För  $VL=0$VL=0 måste en av faktorerna vara lika med noll.

 $x^n=0$xn=0   kan ej uppfyllas då det enligt uppgiften gäller att  $x\ne0$x0.

 $x^{2m}-x^5=0$x2mx5=0  uppfylls då likhet mellan exponenterna råder, eftersom att potenserna har samma bas. Vi får att

$2m=5$2m=5     
$m=2,5$m=2,5 

Det värde på  $m$m  som uppfyller ekvationen är  $m=2,5$m=2,5 

Nu ett exempel där vi utnyttjar faktoriseringen för att kunna förkorta kvoter.

Exempel 2

Förenkla uttrycket  $\frac{-4a^2+4a+2(a-1)}{a-1}$4a2+4a+2(a1)a1  

Lösning

Då vi inte har några gemensamma faktorer i täljares alla termer och nämnaren, måste vi faktorisera uttrycket för att kunna förenkla det genom förkortning. Vi ser att den sista termen i täljaren har en genomsatt faktor med nämnaren. Vore det möjligt att även hitta den i de två fösta termerna. Vi provar att bryta ut  $-4a$4a ur de två första termerna och får att

  $\frac{-4a^2+4a+2(a-1)}{a-1}=\frac{-4a\left(a-1\right)+2(a-1)}{a-1}$4a2+4a+2(a1)a1 =4a(a1)+2(a1)a1  

Vilken lycka! Vi har nu fått en gemensam term i täljarens alla termer, som dess utom är samma som en faktor i nämnaren. Vi förkortar!

 $\frac{-4a\left(a-1\right)+2(a-1)}{a-1}=\frac{\left(a-1\right)\left(-4a+2\right)}{a-1}=$4a(a1)+2(a1)a1 =(a1)(4a+2)a1 = $-4a+2$4a+2 

Vi kan alltså förkorta uttrycket till  $-4a+2$4a+2 

Kom ihåg att det inte är något konstigt om du tycker att detta är svårt. Detta är en typiskt område i matematiken där det inte i huvud sak handlar om att förstå, utan om tärning. Ju fler uppgifter du gör, ju lättare kommer du att hitta de ”dolda faktorerna” och ger en givande faktorisering. Så. Ger inte upp. Fortsätt öva. Det kommer ge resultat. Här gäller mängdträning!

Du kan med fördel göra samma uppgift flera gånger för att lägga till i din minnesbank som ”vanliga faktorer”. Du kommer upptäcka att vissa faktorer är vanligare än andra.

Exempel i videon

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • Faktorisera $p^2 + p + 2(p+1)$
  • Faktorisera $x^{4b+4}-x^{4b}$

Kommentarer

Tijana Ilic

Hej,
Uppgift 8 har ett fel. I uppgiften står att man ska bryta ut faktorn ur  $a^{3+2n}+a^{2n}$ och i lösningen står det $a^{3+n}+a^{2n}$.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det hade slunkit in ett fel där, vi har korrigerat det. Tack för att du sade till!

Elena Ten

hej, första uppgiften har ett fel svar och i förklaringen är ett miss ”2”. I början…

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Elena.
    Jag hittar inte felet du beskriver. Vill du vara snäll och förklara igen, så jag kan kolla på det.
    Tack.

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Elena.

    Jag hittar inte felet du beskriver. Kan du beskriva det igen så jag kan kolla på det.
    Tack.

Max Shade

pom jag räknat ut en massa tal och misslyckats på en massa tal
och jag vill gå tillbaka och kolla på alla tal jag misslyckats på
vart lagras den infon
eller saknar den här siden en sådan funktion

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Tack för din kommentar.
    I nuläget saknas den funktionen hos oss, vi kommer att lägga till den inom någon månad då det är fler än du som har efterfrågat det!

    Anna Admin (Moderator)

    Där emot kan du redan nu går in på övningar du gjort för att göra om dem. När du då öppnar övningen är dina svar sparade och du kan där se vilka övningar du gjort rätt och fel på. Du ser även i listan över alla lektioner vilka uppgifter du klara och inte. Det du klarat är blåmarkerade, de du bör öva mer på är grå.
    Lycka till!

Linnea Lindh

Hej!
I lösningen till fråga 8:a står det :
”Då (x+1)=(√x+1)2 kan vi faktorisera uttrycker på följande vis”
Kan du förklara lite tydligare varför (x+1) blir till roten ur x + 1 upphöjt till två? Är det någon kvadreringsregel eller konjugatregel jag inte förstår?

Jakub Medynski

Uppgift 2 saknar förklaring.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till! Det är tillagt nu!

Binnon

Hej.

Jag förstår inte hur själva utbrytningen av parenteserna går till i slutet. Hur får man plötsligt bort p:et före parenteserna och hur kom 2:an på 1:ans plats? Går det att förklara med faktorisering for dummies?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    I det andra steget i den här uppgiften har du två termer, dvs $ p(p+1)$ och $2(p+1) $ och dessa bägge termer har det gemensamt att de innehåller $ (p+1) $.
    Så här gäller det att se att du kan bryta ut $(p+1)$ ur bägge termerna i uttrycket. Det här görs på samma sätt som om du skulle bryta ut ett $x$ ur bägge termerna men vi bryter alltså ut en hel parentes.
    Hoppas att detta hjälper dig vidare, annars får du gärna fortsätta diskussionen.


Endast Premium-användare kan kommentera.

c-uppgifter (19)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Faktorisera $25x^2-81y^2$25x281y2 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $1+x^2-2x$1+x22x.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $x^{a+b}-x^{b+c}$xa+bxb+c 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Arean på en viss triangel kan beskrivas med uttrycket $\left(9x-3xy^2\right)$(9x3xy2) cm$^2$2.

    Vilket alternativ motsvarar basens längd, om höjden är $3x$3x cm?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Faktorisera $p^4-16$p416 så långt som möjligt.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $(9-x)^2-2y(9-x)+y^2$(9x)22y(9x)+y2  så långt som möjligt.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $a^8-1^{40}$a8140 så långt som möjligt.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Anta att du har en rektangel där kortsidan är $x$x l.e och långsidan $x+p$x+p l.e.

    Du klipper nu av en del av rektangeln och placerar delen ”ovanför” rektangeln så att du nu istället får en figur som nästan motsvarar en kvadrat med sidan  $x+\frac{p}{2}$x+p2   l.e, med undantaget att det fattas en liten bit uppe i högra hörnet. 

    Vilken uttryck beskriver arean på biten som fattas?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Vilken term ska du addera till $x^2+8x$x2+8x så att du kan faktorisera hela uttrycket till $\left(x+4\right)^2$(x+4)2 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Arean på en kvadrat beskrivs med uttrycket

     $A=x^2-24x+144$A=x224x+144 

    Ange ett uttryck för kvadratens sidlängd.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Stämmer följande likhet?

     $\left(a-b\right)^2=\left(b-a\right)^2$(ab)2=(ba)2 

    Ange svaret Ja eller Nej, men träna även på att motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen

     $-\frac{32}{3x+2}=$323x+2 = $2$2 $-\frac{6x}{2}$6x2   

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den största möjliga faktorn att bryta ut ur uttrycket?

     $10yx^4+25x^3y^2+15x^5+45y^7x^4$10yx4+25x3y2+15x5+45y7x4 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande alternativ är den största möjliga faktorn som går att bryta ut ur 

    $(x+1)^2(x-1)^3-(x+1)^4(x-1)^2$(x+1)2(x1)3(x+1)4(x1)2 $+\text{ }(3+x)(x+1)^3(x-1)^5$+ (3+x)(x+1)3(x1)5

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $6a(a-1)+(a-1)^2$6a(a1)+(a1)2 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 16. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $4x(x+2)-4x(4x^2+8x)$4x(x+2)4x(4x2+8x) så långt som möjligt.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 17. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla $\frac{v^2+2v+1}{v+1}$v2+2v+1v+1  så långt som möjligt .

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 18. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är största möjliga faktor som går att bryta ut ur uttrycket?

     $\left(x+1\right)-5\sqrt{x+1}$(x+1)5x+1

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 19. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/1)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R11
    K

    Ella har fått i uppgift att förenkla uttrycket $\frac{\left(-6-x\right)^2}{\left(x+6\right)^2}$(6x)2(x+6)2 .  Ella säger att täljaren går att skriva om så att den blir identisk med nämnaren och att kvoten därmed måste vara $1$1 .

    Stämmer Ellas resonemang?

    Träna på att motivera ditt svar med matematiska resonemang.

    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (5)

  • 20. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla uttrycket med hjälp av konjugatregeln

     $\left(\sqrt{3x+\frac{1}{4}}+\frac{3}{2}\right)\left(\sqrt{3x+\frac{1}{4}}-\frac{3}{2}\right)$(3x+14 +32 )(3x+14 32 ) .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 21. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    För vilket värde på $a$a har ekvationen oändligt många lösningar?

     $\left(x-2\right)^4=\left(x^2-2ax+a^2\right)^2$(x2)4=(x22ax+a2)2 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 22. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange största möjliga faktorn som är möjlig att bryta ut ur  $a^{3+n}+a^{2n}$a3+n+a2n 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 23. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R1
    K

    När du ska beräkna produkter av större tal kan du ibland använda konjugatregeln för att underlätta beräkningen.

    Till exempel kan man efter omskrivning med konjugatregeln beräkna $19\cdot21$19·21 med uttrycket  $20^2-1$202och med samma metod beräkna produkten $18\cdot22$18·22  med uttrycket  $20^2-4$2024

    Ange vilket av följande alternativ som möjliggör beräkningen av $47\cdot53$47·53.

    Träna på att ta fram en generell förklaring av hur och när man kan använda denna metod.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 24. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R1
    K

    När du ska beräkna kvadraten av större  tal kan du använda konjugatregeln för att underlätta beräkningen.

    Till exempel kan man efter omskrivning med konjugatregeln beräkna $15^2$152 med uttrycket  $20\cdot10+5^2$20·10+52.

    Välj vilket av följande alternativ som möjliggör beräkningen av $15^2$152

    Träna på att ta fram en generell förklaring av hur och när man alltid kan använda denna metod.

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se