Kapiteltest - Trigonometriska formler och ekvationer Ma4

Ange vinkeln för punkten

a)  $P$P i grader

b)  $Q$Q i radianer

Ange exakt svar.

Om  $\cos v=a$cosv=a  vilket värde har då

a)   $\cos\left(-v\right)$cos(−v) 

b)  $\cos\left(v+\pi\right)$cos(v+π) 

Motivera ditt svar med hjälp av enhetscirkeln

a) Uttryck vinkeln $40°$40°  i radianer. Svara exakt.

b) Uttryck vinkeln $\frac{\pi}{12}$π12  i grader. Svara exakt.

Ange samtliga lösningar med en decimals noggrannhet. Ange svaren i grader.

a) $\cos3u=0,809$cos3u=0,809 

b)  $\sin$sin $\frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$x2 =1√2  

Ange samtliga lösningar med en decimals noggrannhet. Ange svaren i radianer.

a)  $\tan v=7$tanv=7 

b) $\cos2x\left(\sin2x-1\right)=0$cos2x(sin2x−1)=0 

Visa att $\left(4-\cos v\right)\left(4+\cos v\right)=15+\sin^2v$(4−cosv)(4+cosv)=15+sin²v 

Ekvationen  $\frac{x}{8}$x8  $+\text{ }\cos x+2=$+ cosx+2= $\frac{x}{4}$x4   har flera lösningar.

Samtliga lösningar ligger i intervallet $360^{\circ}\le x\le1440^{\circ}$360^∘≤x≤1440^∘ .

a) Bestäm den minsta lösningen till ekvationen.

b) Bestäm antalet lösningar till ekvationen.

Figuren visar grafen till funktionen   $y=A\cdot\sin k\left(x+v\right)+d$y=A·sink(x+v)+d  där  $A,\text{ }k,\text{ }v$A, k, v och  $d$d är konstanter.

a) Vad motsvarar konstanten $A$A och bestäm konstantens värde?

b) Vad motsvarar konstanten $k$k  och bestäm konstantens värde?

c) Vad motsvarar konstanten $d$d  och bestäm konstantens värde?

d) Vad motsvarar konstanten $v$v och bestäm konstantens värde?

Under ett experiment mättes temperaturen på jorden i en kruka på en balkong. Enligt en förenklad modell kan förändringen av temperaturen på jorden beskrivas med sambandet $y=17+4\text{ }\sin\left(0,262x\right)$y=17+4 sin(0,262x)  där $y\text{ }^{\circ}C$y ^∘C är temperaturen och $x$x är antalet timmar efter klockan 08.00.

a) Beräkna och tolka perioden på modellen $y=17+4\text{ }\sin\left(0,262x\right)$y=17+4 sin(0,262x).

b) Mellan vilka temperaturer varierar jorden i krukan enligt modellen?

a) Skriv om uttrycket $f(x)=3\text{ }\sin x+4\text{ }\cos x$ƒ (x)=3 sinx+4 cosx  på formen  $y=A\sin\left(x+v\right)$y=Asin(x+v) 

b) Lös ekvationen  $3\text{ }\sin x+4\text{ }\cos x=1$3 sinx+4 cosx=1 

Visa hur du kan bestämma  $\cos v$cosv   utan att använda din räknare, om du vet att $\sin v=$sinv= $\frac{3}{5}$35  

Visa att $\cos\left(x-90^{\circ}\right)-\cos\left(x+90^{\circ}\right)=2\sin x$cos(x−90^∘)−cos(x+90^∘)=2sinx 

Visa att    $\frac{2}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{1+\sin x}{\cos x}$2cosx =cosx1+sinx +1+sinxcosx  

för alla $x$x där uttrycken i båda led är definierade

Med hjälp av två rätvinkliga tringlar kan vi ta fram ett antal exakta trigonometriska värden.

Visa med hjälp av subtraktionsformlen och de exakta trigonometriska värdena du kan bestämma utifrån figuren hur du kan beräkna ett exakt värde för  $\sin$sin$\frac{\pi}{12}$π12  utan räknare.

a) Ange ett exempel på en kontinuerlig funktion $f$ƒ  som är definierad för alla $x$x och har värdemängden $-5\le f(x)\le3$−5≤ƒ (x)≤3 .

b) Ange en generell formel som omfattar alla kontinuerliga funktioner  $f$ƒ  som är definierad för alla $x$x och har värdemängden $-5\le f(x)\le3$−5≤ƒ (x)≤3.

Bestäm samtliga lösningar i intervallet $500^{\circ}<$500^∘< $x<700^{\circ}$x<700^∘ till ekvationen

 $\cos^2x+\sin2x=0$cos²x+sin2x=0 

För vilka vinklar $v$v i intervallet $0^{\circ}\le v\le360^{\circ}$0^∘≤v≤360^∘ gäller att $\sin\left(2v\right)+1<$sin(2v)+1<  $\frac{1}{2}$12  

Bestäm samtliga lösningarna till ekvationen   $\cos\left(x+50^{\circ}\right)=\cos6x$cos(x+50^∘)=cos6x