Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Kurvan till y = a sin x + b cos x
Om vi ritar grafen till funktionen
$y=4\sin x+3\cos x$y=4sinx+3cosx får vi följande.
Vi ser att grafen ser ut som en sinusfunktion, om än något förskjuten i sidled.
Målet med denna lektion är att lära oss skriva om funktionsuttryck på formen $y=a\text{ }\sin x+b\text{ }\cos x$y=a sinx+b cosx till sinusfunktioner.
Kurvan till y = a sin x + b cos x
När du skriver om dessa typer av funktioner använder du följande formel.
Om $a>0$a>0, $b>0$b>0, $0^{\circ}<$0∘< $v$v $<90^{\circ}$<90∘ och $\tan v=$tanv= $\frac{b}{a}$ba så gäller
$f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+v)
$f\left(x\right)=a\sin x-b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x-v\right)$ƒ (x)=asinx−bcosx=√a2+b2sin(x−v)
Amplituden är $c=\sqrt{a^2+b^2}$c=√a2+b2 och $v=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$v=tan−1(ba ) anger förskjutningen i sidled.
I formelbladet till nationella prov anges endast formeln:
$a\sin x+b\cos x=c\sin\left(x+v\right)$asinx+bcosx=csin(x+v) där $c=\sqrt{a^2+b^2}$c=√a2+b2 och $\tan v=$tanv=$\frac{b}{a}$ba .
Exempel 1
Skriv om funktionsuttrycket $y=4\sin x+3\cos x$y=4sinx+3cosx på formen
$y=A\sin\left(x+v\right)$y=Asin(x+v)
Lösning
Vi börjar med att beräkna amplituden $A$A. I vår uppgift är $a=4$a=4 och $b=3$b=3 vilket ger att
$A=\sqrt{a^2+b^2}=$A=√a2+b2= $\sqrt{4^2+3^2}=$√42+32=$\sqrt{25}=5$√25=5
Vidare beräknar vi vinkeln $v$v.
$v=\tan^{-1}$v=tan−1 $\left(\frac{3}{4}\right)$(34 ) $\approx37^{\circ}$≈37∘
Det ger att funktionen på den omskrivna formen är
$y=5\sin\left(x+37^{\circ}\right)$y=5sin(x+37∘)
Härledning
Vi visar fallet att om $a>0$a>0, $b>0$b>0, $0^{\circ}<$0∘<$v$v$<90^{\circ}$<90∘ och $\tan v=\frac{b}{a}$tanv=ba så gäller $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+v) .
Vi vill här visa att vi kan skriva funktionen $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x$ƒ (x)=asinx+bcosx som $f\left(x\right)=A\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=Asin(x+v).
1)
Vi börjar att jobba med uttrycket $A\sin\left(x+v\right)$Asin(x+v) och använder en av additionsformlerna för sinus för att skriva skriva om det.
$f\left(x\right)=A\sin\left(x+v\right)=A\left(\sin x\cos v+\cos x\sin v\right)$ƒ (x)=Asin(x+v)=A(sinxcosv+cosxsinv)
I uttrycket ovan kan vi vi bryta ut $\cos v$cosv.
$f\left(x\right)=A\left(\sin x\cos v+\cos x\sin v\right)=A\cos v\left(\sin x+\cos x\tan v\right)$ƒ (x)=A(sinxcosv+cosxsinv)=Acosv(sinx+cosxtanv)
Notera här ovan att när vi bryter ut $\cos v$cosv ur den andra termen i parentesen så får vi
$\cos x\sin v=\frac{\cos x\sin v}{\cos v}=\cos x\frac{\sin v}{\cos v}=\cos x\cdot\tan v$cosxsinv=cosxsinvcosv =cosxsinvcosv =cosx·tanv
2)
Vi går nu vidare och skriver om $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x$ƒ (x)=asinx+bcosx genom att bryta ut $a$a.
$f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=a\left(\sin x+\frac{b}{a}\cos x\right)$ƒ (x)=asinx+bcosx=a(sinx+ba cosx)
Notera återigen att när vi bryter ut $a$a i den andra termen så får vi $b\cos x=\frac{b\cos x}{a}=\frac{b}{a}\cos x$bcosx=bcosxa =ba cosx
3)
Vi ställer upp de bägge funktionerna så att vi kan jämföra dem
$f\left(x\right)=A\cos v\left(\sin x+\cos x\tan v\right)$ƒ (x)=Acosv(sinx+cosxtanv)
$f\left(x\right)=a\left(\sin x+\frac{b}{a}\cos x\right)$ƒ (x)=a(sinx+ba cosx)
Vi ser att dessa bägge funktioner kommer att vara identiska om
$A\cos v=a$Acosv=a och om $\tan v=\frac{b}{a}$tanv=ba
Vi får därför att $v=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$v=tan−1(ba )
4)
Vi vill nu bestämma $A$A.
Sambandet $\tan v=\frac{b}{a}$tanv=ba kan beskrivas med hjälp av en rätvinklig triangel där kateterna är $a$a och $b$b och hypotenusan kommer då ges av pythagoras sats och vara $\sqrt{a^2+b^2}$√a2+b2.
I samma triangel så gäller att $\cos v=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$cosv=a√a2+b2 och om vi sätter in det i $A\cos v=a$Acosv=a så får vi
$A\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=a$Aa√a2+b2 =a
Vi skriver om uttrycket och får att
$A=\sqrt{a^2+b^2}$A=√a2+b2
Så nu vet vi att förskjutningen $v=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$v=tan−1(ba ) och att amplituden $A=\sqrt{a^2+b^2}$A=√a2+b2 och därmed har vi visat att om
$a>0$a>0, $b>0$b>0, 0° < v < 90° och $\tan v=\frac{b}{a}$tanv=ba så gäller $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+v) .
På liknande vis kan även $f\left(x\right)=a\sin x-b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x-v\right)$ƒ (x)=asinx−bcosx=√a2+b2sin(x−v) visas.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (7)
-
1. Premium
I figuren visas graferna till $y=\sin x$y=sinx och $y=\cos x$y=cosx.
Beräkna $y=\sin90^{\circ}+\cos90^{\circ}$y=sin90∘+cos90∘
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnRättar... -
-
2. Premium
I figuren visas graferna till $y=\sin x$y=sinx och $y=\cos x$y=cosx.
Beräkna värdet för $y=\sin x+\cos x$y=sinx+cosx för
$x=-45^{\circ}$x=−45∘ $x=0^{\circ},\text{ }x=45^{\circ},x=90^{\circ},\text{ }x=135^{\circ},\text{ }x=180^{\circ},\text{ }x=270^{\circ}$x=0∘, x=45∘,x=90∘, x=135∘, x=180∘, x=270∘ och $x=360^{\circ}$x=360∘.
Plotta ut punkterna som bildas av respektive talpar och sammanbind till en graf.
Läs av amplituden och förskjutningen och ange funktionen på formen $y=A\sin\left(x+v\right)$y=Asin(x+v)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnRättar... -
-
3. Premium
Skriv om funktionen $f(x)=3\sin x+4\cos x$ƒ (x)=3sinx+4cosx på formen $y=c\sin\left(x+v\right)$y=csin(x+v)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kurvan till y = a sin x + b cos x Trigonometriska funktionerRättar... -
4. Premium
Eva, Jan och Lennart har fått i uppgift att beräkna det största värdet för funktionen $y=7\sin x+2\cos x$y=7sinx+2cosx.
” Det är ju enkel!” utbrister en av dem.
”Det är ju lika med $9$9, eftersom att de två funktionerna har amplituderna $7$7 och $2$2 och det är ju deras största värden! Och $7+2=9$7+2=9!”
Håller du med? Motivera ditt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometriska funktionerRättar... -
-
5. Premium
Vilket är det minsta värdet funktionen $f(x)=3\sin x+4\cos x$ƒ (x)=3sinx+4cosx kan anta?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Amplitud och PeriodLiknande uppgifter: Kurvan till y = a sin x + b cos x Minsta värdet Trigonometriska funktionerRättar... -
-
6. Premium
Vilket är det största värdet funktionen $y=2\sin x-5\cos x$y=2sinx−5cosx kan anta?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Amplitud och PeriodLiknande uppgifter: Kurvan till y = a sin x + b cos x största värdet Trigonometriska funktionerRättar... -
-
7. Premium
Skriv om funktionen $y=\sin x-\cos x$y=sinx−cosx på formen $y=c\sin\left(x+v\right)$y=csin(x+v).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kurvan till y = a sin x + b cos x Trigonometriska funktionerRättar... -
c-uppgifter (5)
-
8. Premium
I figuren visas graferna till $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) och $y=g\left(x\right)$y=g(x).
Skriv funktionsuttrycket $y=c\text{ }\sin\left(x+v\right)$y=c sin(x+v) som motsvarar summan $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ƒ (x)+g(x).
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometriska funktionerRättar... -
-
9. Premium
Bilden visar grafen till funktionen $y=3\sin x+\cos3x$y=3sinx+cos3x
Går denna att skriva om på formen $f\left(x\right)=c\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=csin(x+v)? Motivera ditt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
10. Premium
Funktionen $y=\left(k+2\right)\sin x+k\cos x$y=(k+2)sinx+kcosx är given.
Bestäm det positiva talet $k$k så att funktionens största värde blir $\sqrt{20}$√20.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometriska funktionerRättar... -
-
11. Premium
Funktionen $y=\left(k+2\right)\sin x+k\cos x$y=(k+2)sinx+kcosx är given.
Bestäm det minsta positiva vinkeln $x$x som ger att funktionens största värde blir $\sqrt{20}$√20.
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometriska funktionerRättar... -
-
12. Premium
Lös ekvationen $4\sin x+3\cos x=4$4sinx+3cosx=4 algebraiskt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometriska funktionerRättar... -
a-uppgifter (1)
-
13. Premium
Ange grafens ekvation på formen $y=a\sin x+b\cos x$y=asinx+bcosx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometriska funktionerRättar... -
Endast Premium-användare kan kommentera.