...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Trigonometri och trigonometriska funktioner

Kurvan till y = a sin x + b cos x

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video Skapa thumbnails
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Om vi ritar grafen till funktionen
$y=4\sin x+3\cos x$y=4sinx+3cosx får vi följande.
Sinuskurva

Vi ser att grafen ser ut som en sinusfunktion, om än något förskjuten i sidled.

Målet med denna lektion är att lära oss skriva om funktionsuttryck på formen $y=a\text{ }\sin x+b\text{ }\cos x$y=a sinx+b cosx  till sinusfunktioner.

Kurvan till y = a sin x + b cos x

När du skriver om dessa typer av funktioner använder du följande formel.

Om  $a>0$a>0$b>0$b>0,  $0^{\circ}<$0< $v$v $<90^{\circ}$<90 och   $\tan v=$tanv= $\frac{b}{a}$ba   så gäller

$f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v)

$f\left(x\right)=a\sin x-b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x-v\right)$ƒ (x)=asinxbcosx=a2+b2sin(xv)

Amplituden är $c=\sqrt{a^2+b^2}$c=a2+b2 och $v=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$v=tan1(ba )  anger förskjutningen i sidled.

I formelbladet till nationella prov anges endast formeln:

$a\sin x+b\cos x=c\sin\left(x+v\right)$asinx+bcosx=csin(x+v) där  $c=\sqrt{a^2+b^2}$c=a2+b2 och $\tan v=$tanv=$\frac{b}{a}$ba .

Exempel 1

Skriv om funktionsuttrycket $y=4\sin x+3\cos x$y=4sinx+3cosx på formen

$y=A\sin\left(x+v\right)$y=Asin(x+v)

Lösning

Vi börjar med att beräkna amplituden  $A$A. I vår uppgift är $a=4$a=4 och $b=3$b=3 vilket ger att

$A=\sqrt{a^2+b^2}=$A=a2+b2=  $\sqrt{4^2+3^2}=$42+32=$\sqrt{25}=5$25=5

Vidare beräknar vi vinkeln $v$v.

$v=\tan^{-1}$v=tan1 $\left(\frac{3}{4}\right)$(34 )  $\approx37^{\circ}$37

Det ger att funktionen på den omskrivna formen är

$y=5\sin\left(x+37^{\circ}\right)$y=5sin(x+37)

Härledning

Vi visar fallet att om  $a>0$a>0$b>0$b>0,  $0^{\circ}<$0<$v$v$<90^{\circ}$<90 och $\tan v=\frac{b}{a}$tanv=ba  så gäller  $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v) .

Vi vill här visa att vi kan skriva funktionen $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x$ƒ (x)=asinx+bcosx som $f\left(x\right)=A\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=Asin(x+v).

1)

Vi börjar att jobba med uttrycket $A\sin\left(x+v\right)$Asin(x+v) och använder en av additionsformlerna för sinus för att skriva skriva om det.

$f\left(x\right)=A\sin\left(x+v\right)=A\left(\sin x\cos v+\cos x\sin v\right)$ƒ (x)=Asin(x+v)=A(sinxcosv+cosxsinv)

I uttrycket ovan kan vi vi bryta ut $\cos v$cosv.

$f\left(x\right)=A\left(\sin x\cos v+\cos x\sin v\right)=A\cos v\left(\sin x+\cos x\tan v\right)$ƒ (x)=A(sinxcosv+cosxsinv)=Acosv(sinx+cosxtanv)

Notera här ovan att när vi bryter ut $\cos v$cosv ur den andra termen i parentesen så får vi

$\cos x\sin v=\frac{\cos x\sin v}{\cos v}=\cos x\frac{\sin v}{\cos v}=\cos x\cdot\tan v$cosxsinv=cosxsinvcosv =cosxsinvcosv =cosx·tanv

2)

Vi går nu vidare och skriver om $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x$ƒ (x)=asinx+bcosx genom att bryta ut $a$a.

$f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=a\left(\sin x+\frac{b}{a}\cos x\right)$ƒ (x)=asinx+bcosx=a(sinx+ba cosx)

Notera återigen att när vi bryter ut $a$a i den andra termen så får vi $b\cos x=\frac{b\cos x}{a}=\frac{b}{a}\cos x$bcosx=bcosxa =ba cosx

3) 

Vi ställer upp de bägge funktionerna så att vi kan jämföra dem

$f\left(x\right)=A\cos v\left(\sin x+\cos x\tan v\right)$ƒ (x)=Acosv(sinx+cosxtanv)
$f\left(x\right)=a\left(\sin x+\frac{b}{a}\cos x\right)$ƒ (x)=a(sinx+ba cosx)

Vi ser att dessa bägge funktioner kommer att vara identiska om

$A\cos v=a$Acosv=a och om $\tan v=\frac{b}{a}$tanv=ba 

Vi får därför att $v=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$v=tan1(ba )

4)

Vi vill nu bestämma $A$A.

Sambandet $\tan v=\frac{b}{a}$tanv=ba  kan beskrivas med hjälp av en rätvinklig triangel där kateterna är $a$a och $b$b och hypotenusan kommer då ges av pythagoras sats och vara $\sqrt{a^2+b^2}$a2+b2.

I samma triangel så gäller att $\cos v=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$cosv=aa2+b2  och om vi sätter in det i  $A\cos v=a$Acosv=a så får vi

$A\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=a$Aaa2+b2 =a

Vi skriver om uttrycket och får att

$A=\sqrt{a^2+b^2}$A=a2+b2

Så nu vet vi att förskjutningen $v=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$v=tan1(ba )  och att amplituden  $A=\sqrt{a^2+b^2}$A=a2+b2 och därmed har vi visat att om

$a>0$a>0$b>0$b>0, 0° < v < 90° och $\tan v=\frac{b}{a}$tanv=ba  så gäller  $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v) .

På liknande vis kan även  $f\left(x\right)=a\sin x-b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x-v\right)$ƒ (x)=asinxbcosx=a2+b2sin(xv) visas.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    I figuren visas graferna till  $y=\sin x$y=sinx och  $y=\cos x$y=cosx.

    Beräkna $y=\sin90^{\circ}+\cos90^{\circ}$y=sin90+cos90 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M 1
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    I figuren visas graferna till  $y=\sin x$y=sinx och  $y=\cos x$y=cosx.

    Beräkna värdet för $y=\sin x+\cos x$y=sinx+cosx för 

     $x=-45^{\circ}$x=45  $x=0^{\circ},\text{ }x=45^{\circ},x=90^{\circ},\text{ }x=135^{\circ},\text{ }x=180^{\circ},\text{ }x=270^{\circ}$x=0, x=45,x=90, x=135, x=180, x=270  och  $x=360^{\circ}$x=360.

    Plotta ut punkterna som bildas av respektive talpar och sammanbind till en graf.

    Läs av amplituden och förskjutningen och ange funktionen på formen  $y=A\sin\left(x+v\right)$y=Asin(x+v) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Skriv om funktionen  $f(x)=3\sin x+4\cos x$ƒ (x)=3sinx+4cosx  på formen $y=c\sin\left(x+v\right)$y=csin(x+v) 

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Eva, Jan och Lennart har fått i uppgift att beräkna det största värdet för funktionen  $y=7\sin x+2\cos x$y=7sinx+2cosx.

    ” Det är ju enkel!” utbrister en av dem.

    ”Det är ju lika med $9$9, eftersom att de två funktionerna har amplituderna $7$7 och $2$2 och det är ju deras största värden! Och  $7+2=9$7+2=9!”

    Håller du med? Motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Trigonometriska funktioner
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Vilket är det minsta värdet funktionen  $f(x)=3\sin x+4\cos x$ƒ (x)=3sinx+4cosx kan anta?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Amplitud och Period
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Vilket är det största värdet funktionen   $y=2\sin x-5\cos x$y=2sinx5cosx  kan anta?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Amplitud och Period
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Skriv om funktionen  $y=\sin x-\cos x$y=sinxcosx på formen $y=c\sin\left(x+v\right)$y=csin(x+v).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (5)

  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 1
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    I figuren visas graferna till  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x)  och  $y=g\left(x\right)$y=g(x).

    Skriv funktionsuttrycket  $y=c\text{ }\sin\left(x+v\right)$y=c sin(x+v) som motsvarar summan $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ƒ (x)+g(x).

    Ange svaret med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Trigonometriska funktioner
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Bilden visar grafen till funktionen  $y=3\sin x+\cos3x$y=3sinx+cos3x

    Går denna att skriva om på formen  $f\left(x\right)=c\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=csin(x+v)? Motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Funktionen  $y=\left(k+2\right)\sin x+k\cos x$y=(k+2)sinx+kcosx är given.

    Bestäm det positiva talet $k$k så att funktionens största värde blir $\sqrt{20}$20

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Trigonometriska funktioner
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Funktionen  $y=\left(k+2\right)\sin x+k\cos x$y=(k+2)sinx+kcosx är given.

    Bestäm det minsta positiva vinkeln $x$x som ger att funktionens största värde blir $\sqrt{20}$20.

    Ange svaret med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Trigonometriska funktioner
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Lös ekvationen  $4\sin x+3\cos x=4$4sinx+3cosx=4 algebraiskt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Trigonometriska funktioner
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 13. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Ange grafens ekvation på formen $y=a\sin x+b\cos x$y=asinx+bcosx 

     

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Trigonometriska funktioner
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se