Nationellt prov Matematik 2a vt 2015 DEL D

En linje går genom punkterna $(0,\text{ }0)$(0, 0) och  $(3;\text{ }6,45)$(3; 6,45). En annan linje har ekvationen $y=2,15x+3$y=2,15x+3.
Visa att linjerna är parallella.

För funktionen f gäller att $f\left(x\right)=x^2-4x+C$ƒ (x)=x²−4x+C  där $C$C är en konstant. Punkten $\left(5,\text{ }7\right)$(5, 7) ligger på funktionens graf. Bestäm koordinaterna för en annan punkt som också ligger på grafen

Yamal ska köpa $100$100 fiskar till sitt nya akvarium. Han vill köpa blåtetror, slöjstjärtar och ciklider, se bilder.

Blåtetrorna kostar $10$10 kr/st, slöjstjärtarna $50$50 kr/st och cikliderna $200$200 kr/st. Yamal funderar över om det är möjligt att köpa totalt $100$100 fiskar för exakt  $3000$3000 kr om $4$4 av de $100$100 fiskarna han köper är ciklider.

Yamal ställer upp följande ekvationssystem:

$\begin{cases} 4+x+y=100 \\ 800+50x+10y=3000  \end{cases}$

a) Förklara vad $y$y står för i ekvationssystemet.

b) Bestäm hur många blåtetror och slöjstjärtar Yamal kan köpa om han köper $4$4 ciklider och totalt ska köpa $100$100  fiskar för $3000$3000 kr.

Julia har fått i uppgift att sätta ut en logisk symbol mellan ekvationerna $x=2$x=2  och $x^2=4$x²=4 så att hon får ett sant påstående. Hon väljer felaktigt att sätta ut en ekvivalenspil mellan ekvationerna. Vilken logisk symbol borde Julia använda istället? Motivera ditt svar.

(a-uppgift.)

Beaufortskalan är en skala för vindhastighet skapad i början av  $1800$1800-talet av Sir Francis Beaufort. Varje steg på skalan anges med ett heltal, det så kallade Beauforttalet. I tabellen visas vindhastighet, vindens benämning samt vindens verkningar till sjöss för några Beauforttal.

Sambandet mellan vindhastighet $v$v m/s och Beauforttalet $B$B ges av formeln

 $v=0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}}$v=0,8365·B³²  

Stormen Hilde drabbade stora delar av Sverige den 16 november 2013. Högsta vindhastigheten uppmättes då till $29$29m/s.

Vid beräkning av $B$B avrundas värdet till heltal. Beräkna Beauforttalet $B$B för vindhastigheten $29$29 m/s.

(b-uppgift.)

Beaufortskalan är en skala för vindhastighet skapad i början av  $1800$1800-talet av Sir Francis Beaufort. Varje steg på skalan anges med ett heltal, det så kallade Beauforttalet. I tabellen visas vindhastighet, vindens benämning samt vindens verkningar till sjöss för några Beauforttal.

Sambandet mellan vindhastighet $v$v m/s och Beauforttalet $B$B ges av formeln

 $v=0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}}$v=0,8365·B³²  

För extrema vindstyrkor finns det andra skalor. En sådan är TORRO-skalan som används för vindstyrkor upp mot $130$130m/s. Sambandet mellan vindhastighet $v$v m/s och talet $T$T enligt TORRO-skalan ges av formeln

 $v=0,8365\cdot\sqrt{8}\cdot\left(T+4\right)^{\frac{3}{2}}$v=0,8365·√8·(T+4)³²    där $T$T är avrundat till ett heltal.

Ange en formel för $B$B uttryckt i $T$T . Förenkla så långt som möjligt.

Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.

År $1900$1900 fanns det ungefär $239\text{ }000$239 000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär $2\text{ }300$2 300. Anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden.

Figuren visar graferna till tre funktioner $f$ƒ  , $g$g och $h$h där $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) , $y=g\left(x\right)$y=g(x) och $y=h\left(x\right)$y=h(x). De tre funktionerna representerar tre olika modeller för hur blåvalarnas antal kan ha minskat under $1900$1900 -talet.

 $y$y  är antalet blåvalar och $x$x är antal år från år $1900$1900 .

Anta att den årliga procentuella förändringen av antalet blåvalar var konstant under $1900$1900 -talet och fortsätter att vara konstant under $2000$2000 -talet.

a) Vilken av de tre modellerna representerar då hur blåvalarnas antal minskar efter år $1900$1900?

Motivera ditt svar.

Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.

År $1900$1900 fanns det ungefär $239\text{ }000$239 000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär $2\text{ }300$2 300. Anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden.

Figuren visar graferna till tre funktioner $f$ƒ  , $g$g och $h$h där $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) , $y=g\left(x\right)$y=g(x) och $y=h\left(x\right)$y=h(x). De tre funktionerna representerar tre olika modeller för hur blåvalarnas antal kan ha minskat under $1900$1900 -talet.

 $y$y  är antalet blåvalar och $x$x är antal år från år $1900$1900 .

b) Bestäm hur många blåvalar det finns kvar år $2065$2065 om den årliga procentuella förändringen av antalet blåvalar fortsätter att vara konstant.

För en funktion $f$ƒ  där $f\left(x\right)=kx+m$ƒ (x)=kx+m gäller att

•  $f\left(x+2\right)-f\left(x\right)=3$ƒ (x+2)−ƒ (x)=3    och     $f\left(4\right)=2m$ƒ (4)=2m 

Bestäm funktionen $f$ƒ .

Ett företag tillverkar anslagstavlor av olika storlekar. Varje anslagstavla består av en rektangulär platta omgiven av en ram. Ramen består av fyra delar som sågas till av en $5$5 cm bred trälist. Delarnas ändar är sågade med vinkeln $45$45° och trälistens utseende gör att delarna bara kan monteras på ett sätt. Ramen monteras så att den går $2$2 cm in över plattans framsida. Se figur.

Materialkostnaden för en anslagstavla beror på plattans area och trälistens längd. Priset för plattan anges i kr/m $^2$² och för trälisten i kr/m. Materialkostnaden för en anslagstavla med bredden $36$36 cm och längden $46$46 cm är $59$59 kr. För en anslagstavla med bredden $46$46 cm och längden $56$56 cm är materialkostnaden $81$81 kr. Se figur.

Teckna ett generellt uttryck för den totala materialkostnaden för anslagstavlor som har bredden $a$a m och längden $b$b m.