Nationellt prov Matematik 2b ht 2015 DEL D

I en rätvinklig triangel $ABC$ABC är sidan $AB$AB  $5,6$5,6 cm och sidan $BC$BC  $1,8$1,8 cm.
Triangeln $DEF$DEF är likformig med triangeln $ABC$ABC. Sidan $EF$EF är dubbelt så lång som sidan $BC$BC, se figur.

Hur många gånger större är arean av triangeln $DEF$DEF än arean av triangeln $ABC$ABC?

Edvin och Svante ska tillverka skal till mobiltelefoner. De har gjort beräkningar och kommit fram till att de kan producera maximalt $350$350 paket med mobilskal. Varje paket innehåller 10 mobilskal. De ställer upp modeller för intäkt och kostnad enligt nedan.

Intäkten $I$I kr för $x$x stycken sålda paket: $I\left(x\right)=650x$I(x)=650x 
Kostnaden $K$K kr för att tillverka $x$x stycken paket: $K\left(x\right)=x^2+80x+1000$K(x)=x²+80x+1000 

Vinsten $V$V kr ges av skillnaden mellan intäkten $I$I kr och kostnaden $K$K kr:

 $V\left(x\right)=650x-\left(x^2+80x+1000\right)$V(x)=650x−(x²+80x+1000) 

Anta att Edvin och Svante säljer alla paket som de tillverkar. Bestäm hur många paket de ska tillverka för att vinsten $V\left(x\right)$V(x) ska bli maximal.

Det bensinpris som en kund betalar vid tankning består bland annat av bensinens inköpspris, skatt och bensinbolagens påslag för exempelvis personalkostnader.

En förenklad modell för att beskriva bensinbolagens påslag ges av
 $f\left(x\right)=0,80\cdot1,104^x$ƒ (x)=0,80·1,104^x 
där $f\left(x\right)$ƒ (x) är bensinbolagens påslag i kr/liter och $x$x är antal år efter 1 januari 2008.

Bestäm vilket år bensinbolagens påslag nådde $1,50$1,50 kr/liter enligt modellen.

Bestäm konstanten $a$a så att en rät linje genom punkterna $\left(a,\text{ }a^2\right)$(a, a²) och $\left(-2;\text{ }3,19\right)$(−2; 3,19) har lutningen $4,2$4,2 

Figuren visar en cirkel med medelpunkten $M$M och två trianglar $ABC$ABC och $BDF$BDF. Sträckan $BE$BE är cirkelns diameter.

a) Visa att trianglarna $ABC$ABC och $BDF$BDF är likformiga.

b) Sträckan $BD$BD är $13,8$13,8 cm och $BF$BF är $5,6$5,6 cm. Sträckorna $BC$BC och $CE$CE är lika långa. Beräkna sträckan $AB$AB om cirkelns diameter är $6,0$6,0 cm.

Tabellen och diagrammet visar sambandet mellan maximalt studiemedel per termin vid heltidsstudier och konsumentprisindex (KPI) mellan år 2006 och år 2010. Maximalt studiemedel betecknas med $y$y kr och KPI med $x$x.

a) Bestäm ett linjärt samband mellan maximalt studiemedel, $y$y, och KPI, $x$x.

b) Vilket av värdena A – G är en rimlig korrelationskoefficient för sambandet mellan maximalt studiemedel och KPI?
Endast svar krävs

Mikaela åker skidor flera gånger i veckan i ett elljusspår. En gång i veckan antecknar hon hur lång tid det tar att åka $4$4 km.

Efter $12$12 veckor beräknar hon medelvärdet av sina $12$12 åktider till $24,5$24,5 minuter och standardavvikelsen till $0,29$0,29 minuter. De två följande veckorna antecknar hon åktiderna  $24,0$24,0 minuter respektive $25,0$25,0 minuter.

a) Hur förändras medelvärdet för Mikaelas åktider när de två nya tiderna räknas in? Motivera ditt svar.

b) Beräkna standardavvikelsen för Mikaelas alla $14$14 åktider.

Kim ska tillverka tallriksunderlägg av överblivna tygbitar från en fabrik.
Han får veta att tygbitarna har formen av en rätvinklig triangel med basen $60$60 cm och höjden $90$90 cm. Ur dessa tygbitar ska Kim klippa rektangulära tallriksunderlägg med bredden $x$x och längden $y$y, se figur.

Kim vill undersöka hur han ska klippa för att tallriksunderläggens area ska bli så stor som möjligt. Han ritar in en tygbit i ett koordinatsystem, se figur.

Beräkna den bredd $x$x och den längd $y$y som ger den största arean för ett tallriksunderlägg.