Nationellt prov Matematik 2c vt 2015 DEL D

En linje går genom punkterna $(0,\text{ }0)$(0, 0) och  $(3;\text{ }6,45)$(3; 6,45). En annan linje har ekvationen $y=2,15x+3$y=2,15x+3. Visa att linjerna är parallella.

För funktionen f gäller att $f\left(x\right)=x^2-4x+C$ƒ (x)=x²−4x+C  där $C$C är en konstant. Punkten $\left(5,\text{ }7\right)$(5, 7) ligger på funktionens graf.

Bestäm koordinaterna för en annan punkt som också ligger på grafen.

Lådagrammet visar resultatet från ett stickprov. Stickprovet anger antalet timmar en person sov per natt under en period av $15$15 nätter.

Värdena i stickprovet nedan är angivna i storleksordning. Två värden har ersatts med $x$x respektive $y$y.

$x,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }7,\text{ }7,\text{ }y,\text{ }8,\text{ }8,\text{ }8,\text{ }8,\text{ }9,\text{ }9,\text{ }13$x, 5, 6, 6, 7, 7, 7, y, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 13

Vilka värden har $x$x och $y$y ?

Motivera ditt svar.

Magnituden M är ett mått på hur starkt en stjärna lyser och kan beräknas med hjälp av formeln  $M-5=a-5\text{lg}\left(\frac{r}{3\cdot10^{16}}\right)$M−5=a−5lg(r3·10¹⁶ ) där $r$r är avståndet i meter från jorden till stjärnan och a en konstant för en specifik stjärna, se tabell nedan.

a) Beräkna magnituden M för stjärnan Sirius A.

b) Beräkna avståndet r till stjärnan Proxima Centauri.

Ett exemplar av ett känt datorföretags första datormodell såldes under år $2013$2013. I samband med försäljningen kunde man läsa följande i en tidningsnotis:

Priset för datorn har därmed tusenfaldigats, sedan den ursprungligen såldes $1976$1976. Den tillverkades för hand av företagets båda grundare, ledaren Steve Jobs och programmeraren Steve Wozniak, hemma i Jobs garage. ( TT 26 maj 2013)

Enligt tidningsnotisen såldes datorn år $2013$2013 till ett pris som var tusen gånger så stort som priset år $1976$1976. Anta att den procentuella prisökningen varit lika stor varje år. Beräkna den årliga procentuella prisökningen mellan år $1976$1976 och år $2013$2013 för datorn.

För en funktion $f$ƒ  där $f\left(x\right)=kx+m$ƒ (x)=kx+m gäller att

•  $f\left(x+2\right)-f\left(x\right)=3$ƒ (x+2)−ƒ (x)=3    och     $f\left(4\right)=2m$ƒ (4)=2m

Bestäm funktionen $f$ƒ .

En Galtonbräda är en anordning som används för att illustrera normalfördelning. Kulor släpps ner och ändrar riktning genom att passera ett antal spikar. Kulorna hamnar i olika fack och antalet kulor i facken blir ungefär normalfördelat kring mitten av brädan. Se figur.

Vid ett experiment släpptes $1478$1478 kulor ner i en Galtonbräda med $16$16 fack. I fack $6$6 hamnade $136$136 kulor, i fack $7$7 hamnade $223$223 kulor och i fack $8$8 hamnade $281$281 kulor.

Hur många kulor bör ha hamnat i fack $5$5?

Ett företag tillverkar anslagstavlor av olika storlekar. Varje anslagstavla består av en rektangulär platta omgiven av en ram. Ramen består av fyra delar som sågas till av en $5$5 cm bred trälist. Delarnas ändar är sågade med vinkeln $45$45° och trälistens utseende gör att delarna bara kan monteras på ett sätt. Ramen monteras så att den går $2$2 cm in över plattans framsida. Se figur.

Materialkostnaden för en anslagstavla beror på plattans area och trälistens längd. Priset för plattan anges i kr/m $^2$² och för trälisten i kr/m.

Materialkostnaden för en anslagstavla med bredden $36$36 cm och längden $46$46 cm är $59$59 kr. För en anslagstavla med bredden $46$46 cm och längden $56$56 cm är materialkostnaden $81$81 kr. Se figur.

Teckna ett generellt uttryck för den totala materialkostnaden för anslagstavlor som har bredden $a$a m och längden $b$b m.