Nationellt Prov Matematik 3b vt 2017 DEL D

Kommer alla lampor att lysa efter 625 dygn enligt modellen? Motivera ditt svar.

Bestäm med hjälp av modellen hur många dygn det tar innan alla 75 lampor har slocknat.

Grafen till funktionen $f(x) = 5x^2 + 10$ƒ (x)=5x²+10 har en tangent i den punkt där $x = 2$x=2.

Tangentens ekvation kan skrivas  $y=ax-10$y=ax−10 . Bestäm $a$a.

Figuren visar ett gråmarkerat område som kan beskrivas med olikheterna:

 $y\le60-x$y≤60−x 
 $y\ge\frac{x}{3}-20$y≥x3 −20 
$y \le 2x - 30$y≤2x−30

Bestäm det största värde som $P = 5x - 8y + 30$P=5x−8y+30 antar i det gråmarkerade området.

I Sverige ökar konsumtionen av energidryck. Enligt en förenklad modell kan konsumtionen beskrivas med

$f(x) = 0{,}558 \cdot 1{,}16^x$ƒ (x)=0,558·1,16^x

där $f(x)$ƒ (x) är den årliga konsumtionen i liter per invånare och $x$x är tiden i år med start sista december 2001. Modellen gäller för $0 \le x \le 14$0≤x≤14.

Utgå från modellen och bestäm med vilken hastighet (uttryckt i liter/invånare/år) som den årliga konsumtionen av energidryck ökade sista december 2013.

Påstående: Alla sekanter till kurvan $y = x^2$y=x² som går genom punkten $(2, 4)$(2,4) har positiv lutning.

Stämmer påståendet? Motivera ditt svar.

Bestäm den andra punktens $x$x-koordinat så att sekantens lutning blir exakt 20.

I en musiktävling sker röstningen med SMS. Sambandet  $r\left(x\right)=200-0,003x^2$r(x)=200−0,003x² beskriver antalet inkommande SMS-röster per sekund, $x$x sekunder efter att registreringen startat.

Röstningen är öppen under fyra minuter. Bestäm hur många SMS-röster som registrerades under den sista minuten.

Figuren visar kurvan $y = x^3 + 1$y=x³+1 och två tangenter till grafen.

Tangeringspunkterna ligger på var sin sida om $y$y-axeln och på samma avstånd $a$a från $y$y-axeln. Tangenterna har riktningskoefficienterna $k_1$k₁ och $k_2$k₂.

Visa att $k_1 = k_2$k₁=k₂ oavsett hur långt avståndet $a$a är.

Bestäm definitionsmängden för areafunktionen $A$A.

Bestäm värdemängden för areafunktionen $A$A.

I figuren visas kurvan $y = e^x$y=e^x och två linjer som går genom punkten $P$P på kurvan.

Linjerna är parallella med koordinataxlarna och punkten $P$P har $x$x-koordinaten $a$a där $a > 0$a>0.

Bestäm $a$a så att arean av det streckade området blir lika stort som arean av det gråmarkerade området. Svara med tre decimalers noggrannhet.