Nationellt prov Matematik 4 vt 2022 del D

Yosef och Zara ritar kurvan  $y=\sin x$y=sinx  på sina digitala verktyg. När de jämför sina kurvor upptäcker de att kurvorna ser olika ut. Se figur.

Förklara varför kurvornas utseende skiljer sig åt på detta sätt.

Figuren visar ett gråmarkerat område som begränsas av $y$y-axeln, linjen  $x=1,9$x=1,9  samt kurvorna  $y=3x^2$y=3x²  och  $y=4x^3+k$y=4x³+k  där $k$k är en positiv konstant.

För ett visst värde på $k$k är arean av det gråmarkerade området $13$13 areaenheter.

Bestäm detta värde på $k$k. Svara med minst en decimal.

I en solpanel omvandlas energi från solstrålningen till elektricitet.

Solveig har satt upp en liten solpanel och mäter hur mycket effekt som den ger under några molnfria dagar. Hon upptäcker att mätvärdena varierar periodiskt och anpassar en sinuskurva till mätvärdena. Ekvationen för sinuskurvan blir  $y=390\sin\left(0,26x-2,0\right)+230$y=390sin(0,26x−2,0)+230  där $x$x är tiden i timmar från klockan $00.00$00.00 den $23$23 juli $2020$2020 och $y$y är effekten i watt (W).

Figuren visar hennes mätvärden och den anpassade sinuskurvan.

a) Bestäm hur stor effekten var klockan $19.00$19.00 den $23$23 juli $2020$2020.
Svara med minst två värdesiffror. Endast svar krävs.

b) Bestäm förändringshastigheten för effekten klockan $15.30$15.30 den $23$23 juli $2020$2020 mätt i W/h. Svara med minst två värdesiffror.

Figuren visar ett gråmarkerat område som begränsas av kurvan  $y=9x-x^4-7$y=9x−x⁴−7  och $x$x-axeln. Det gråmarkerade området roteras runt $x$x-axeln och bildar en rotationskropp.

Bestäm volymen av rotationskroppen. Svara med minst två decimaler.

Eleverna i klass TE19C har varit på föreläsning och är därför sena till efterföljande matematiklektion som började klockan $12.00$12.00.

Tiden som en elev är sen till matematiklektionen har en sannolikhetsfördelning med täthetsfunktionen  $f\left(t\right)=0,02t\cdot e^{-0,01t^2}$ƒ (t)=0,02t·e^−0,01t2  där $t$t  är antalet minuter som en elev är sen till matematiklektionen.

Bestäm hur många av klassens $32$32 elever som hunnit till matematiklektionen klockan $12.05$12.05.

Under ett blåsigt dygn kan vindhastigheten vid ett vindkraftverk beskrivas med modellen

$v\left(x\right)=11\sin\left(0,11x-0,89\right)+28$v(x)=11sin(0,11x−0,89)+28 ,  $0\le x\le24$0≤x≤24

där $v$v är vindhastigheten i km/h och $x$x är tiden i timmar från klockan $00.00$00.00.

a) Bestäm den högsta vindhastigheten under dygnet. Endast svar krävs.

Vid vindhastigheter över $36$36 km/h vinklas rotorbladen för att minska slitage.

b) Bestäm hur lång tid som vindhastigheten är över $36$36 km/h under det aktuella dygnet.

Vid vindhastigheter mellan $0$0 och $36$36 km/h kan mängden elenergi som produceras beräknas med hjälp av sambandet  $P\left(v\right)=0,42\cdot v^3$P(v)=0,42·v³  där $P\left(v\right)$P(v) är mängden producerad elenergi per timme i MJ/h och där $v$v är vindhastigheten i km/h.

Vid vindhastigheter över $36$36 km/h är produktionen av elenergi per timme lika stor som för vindhastigheten $36$36 km/h.

c) Bestäm den totala mängden elenergi som vindkraftverket producerar under dygnet.

Temperaturen i ett kylrum varierar periodiskt med perioden $4,0$4,0 h, vilket beror på ett krånglande kylaggregat. Temperaturdifferensen mellan den högsta och den lägsta temperaturen är $5,2$5,2°C. Se figur.

Klockan $08.30$08.30 är temperaturen maximal och en timme senare har den sjunkit till $3,9$3,9°C.

Temperaturen i kylrummet kan beskrivas med modellen  $T\left(t\right)=A\cdot\cos\left(Bt+C\right)+D$T(t)=A·cos(Bt+C)+D  där $T\left(t\right)$T(t) är temperaturen i °C och $t$t är tiden i timmar från klockan $00.00$00.00.

Bestäm konstanterna $A$A, $B$B, $C$C och $D$D. Endast svar krävs.

Låt  $C=\int_a^b\left(7x-x^2-10\right)dx$C=∫_a^b(7x−x²−10)dx  där $a<$a<$b$b.

a) Bestäm värdet av  $b-a$b−a  då $C$C antar sitt största värde. Endast svar krävs.

b) Bestäm vilket värde  $b-a$b−a  maximalt kan anta då $C=0$C=0. Svara med minst en decimal.