Potenser och Potenslagar - Högstadiet

Potenser används för att förenkla beräkningar där man multiplicerar samma tal, eller variabel, med sig själv två eller flera gånger. En potens består av en bas och en exponent.

Potenser och potenslagar är något som återkommer om och om igen i kurserna i matematik. Därför är det bra om du lär dig förstå vad en potens är och hur du använder potensreglerna så effektivt som möjligt.

Vi använder multiplikation för att effektivisera skrivsättet för ett antal lika termer som summeras, så här:

$2+2+2+2+2+2+2+2=8\cdot2$2+2+2+2+2+2+2+2=8·2

Om vi använder potensform så kan vi effektivisera skrivsättet för en produkt med ett antal likadana faktorer, så här:

$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^8$2·2·2·2·2·2·2·2=2⁸

Skrivsättet innebär att vi multiplicerar $a$a med sig själv $x$x gånger. Man utläser skrivsättet potensen $a^x$a^x som ”a upphöjt till x”. Till exempel utläser vi  $4^6$4⁶  som ” fyra upphöjt till sex”.

Nedan följer två exempel där vi räknar med potenser.

Nästan alla digitala hjälpmedel kan beräkna potenser åt dig. Oftast används symbolerna ^ eller xⁿ som ikon på knappen som används för att räkna ut potenser.

Vill du skriva potenser i Eddler i kortsvaren eller på GeoGebra skriver du på följande vis.

Upphöjt till kan skrivas genom att hålla nere shift och samtidigt trycka på knappen med symbolen ^

Ofta hittar du den knappen precis till höger om Å.

I vissa digitala hjälpmedel visas exponenttecknet (^) direkt när du trycker på tangenten, medan det i andra program först dyker upp när du skrivit in exponenten, till exempel 7^3.

För att förenkla och effektivisera beräkningar med potenser används potenslagarna, även kallade potensreglerna. Dessa kan endast användas när potenserna i uttrycket är skrivna på samma bas.  Alltså för exempelvis uttrycken  $2^3\cdot2^5$2³·2⁵   eller  $\frac{6^4}{6^2}$6⁴6²  , men inte för  $2^3\cdot6^5$2³·6⁵   och  $\frac{8^4}{6^2}$8⁴6² .

Vi påminner om att baserna måste vara desamma för att potenslagarna ska kunna användas. Om potenserna inte har samma bas kan man försöka skriva om dem till samma bas med bibehållet värde. I exempel  $10$10 visar vi detta. Men det är inte alltid möjligt. I dessa fall får man beräkna uttrycken utan potensregler.

Reglerna här ovan är mycket viktiga att känna till då de återkommer om och om igen i matematikens olika delar. Ofta finns de med i formelsamlingar.

Nedan följer ett exempel på varje potenslag där du kan se hur dessa lagar används.

Regeln för multiplikation mellan potenser ger att  $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$a^m·aⁿ=a^m+n

Regeln för division mellan potenser ger att  $\frac{a^m}{a^n}$a^maⁿ  $=a^{m-n}$=a^m−n

Regeln för en potens där potensen är en bas ger att $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$(a^m)ⁿ=a^m·n

Regeln för en potens där basen är en produkt ger att $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$(a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ

Utifrån detta gäller att

 $256=16^2=\left(2\cdot8\right)^2=2^2\cdot8^2=4\cdot64=256$256=16²=(2·8)²=2²·8²=4·64=256 

vilket kan vara användbart vid omskrivning för beräkning utan digitala hjälpmedel av potenser med stora baser.

Regeln för potenser med negativ exponent ger att $a^{-n}=$a⁻ⁿ= $\frac{1}{a^n}$1aⁿ    där  $a\ne0$a≠0

Regeln för potenser med exponenten noll ger att $a^0=1$a⁰=1

Regeln för potenser med rationella exponenter ger att  $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$a¹ⁿ =ⁿ√a

Här nere härleder vi några av reglerna som används ovan.

Som sagt gäller potensreglerna bara när potenserna har samma bas. Om de inte har samma bas försöker vi skriva om dem till det.

Vi har inte räkneregler för addition och subtraktion med potenser. Men det finns vissa specialfall där man ändå kan utnyttja potensreglerna genom att först skriva om dem till en produkt eller kvot.

1.  $2^3$2³
2.  $\left(-3\right)^4$(−3)⁴ och $-3^4$−3⁴
3.  $2^3\cdot2^4$2³·2⁴
4.  $5^5\cdot5^{-2}$5⁵·5⁻²
5.  $\frac{5^5}{5^2}$5⁵5² 
6.  $5^{-2}$5⁻²
7.  $\left(2^3\right)^4$(2³)⁴
8.  $1001^0$1001⁰
9.  $5^3m^3$5³m³
10.  $3^{\frac{1}{5}}$3¹⁵